張久鵬

[摘 要] 從某種意義上講，類比推理法對于高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展以及解題能力的提高均具有相當(dāng)重要的意義，本文從高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比推理法的教學(xué)現(xiàn)狀入手，結(jié)合其意義與實踐應(yīng)用闡明了高中類比推理法的有效應(yīng)用策略.

[關(guān)鍵詞] 類比推理法；狀態(tài)；含義；有效應(yīng)用；注意事項

在運用高中數(shù)學(xué)類比推理進行解題時，結(jié)構(gòu)的相似性大多會在解題時展現(xiàn)其輔助作用，以這種結(jié)構(gòu)相似為基礎(chǔ)的類比教學(xué)在數(shù)學(xué)解題實踐過程中其靈活性的確是顯而易見的. 不過，高中數(shù)學(xué)體現(xiàn)出的抽象性和系統(tǒng)性大家有目共睹，因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生對教材中的知識點進行理解與再創(chuàng)造，將類比推理作為引領(lǐng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科抽象性和系統(tǒng)性建立深刻認知和理解的有效手段.

[?] “類比推理”在現(xiàn)今高中數(shù)學(xué)教學(xué)中呈現(xiàn)的狀態(tài)

類比推理教學(xué)雖已為廣大數(shù)學(xué)教師接納并運用，但其在數(shù)學(xué)教學(xué)中產(chǎn)生的作用仍沒有被深入挖掘，大致有如下表現(xiàn)：第一，大部分高中數(shù)學(xué)教師對于類比推理教學(xué)的意義及必要性認識不夠，因此，在具體教學(xué)實踐中教師運用得不多或者運用不夠恰當(dāng)；第二，因為類比推理教學(xué)的不夠系統(tǒng)使得教師在應(yīng)用時相對隨機、任意；第三，應(yīng)試教育使得教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時更加側(cè)重于解題，相對疏忽知識點的類比推理. 事實上，高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列、幾何等知識都需要類比推理來促使學(xué)生對抽象知識的認知與理解.

[?] “類比推理”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中所產(chǎn)生的積極意義

根據(jù)兩個事物之間某些相似的屬性進行分析、推理，繼而得出另一些相似的屬性，我們一般稱之為類比推理.從本質(zhì)上來說，其實類比推理就是找出小同事物之間的相似點或者相同點，并以此為基礎(chǔ)分析、推理得出相似或者相同的其他觀點，它對于新知識與新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和歸納具有積極的意義. 當(dāng)然，類比推理必須在原有知識這一基礎(chǔ)上并結(jié)合相關(guān)情境進行知識的遷移. 也就是說，類比推理從本質(zhì)上講包含了新舊知識之間的融會貫通與分類比較的含義，是尋找新舊知識之間相似與相同特性的過程.

高中數(shù)學(xué)是一門具備嚴格教學(xué)目標(biāo)的嚴謹學(xué)科，傳統(tǒng)的教學(xué)模式隨著新課改的不斷推進與深入已經(jīng)不能適應(yīng)現(xiàn)今教學(xué)的需求與學(xué)生的需求，諸如類比推理之類的新的教育理念應(yīng)該在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中大放異彩，這不僅能使學(xué)生的智力得到進一步的開發(fā)，還能使得學(xué)生分析、歸納等數(shù)學(xué)思考能力得到進一步的提升和發(fā)展.

[?] “類比推理”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐應(yīng)用案例分析

1. “類比推理”在函數(shù)與方程中的實踐應(yīng)用

對于高中學(xué)生來說，函數(shù)是需要學(xué)生具備較強抽象思維能力且難度較大的一部分內(nèi)容，學(xué)生對于函數(shù)知識內(nèi)涵的掌握往往都會覺得有難度，因此，教師應(yīng)該恰當(dāng)運用類比推理將高中函數(shù)知識科學(xué)地引導(dǎo)給學(xué)生以幫助學(xué)生深入全面地理解函數(shù)知識.

例1：已知兩個圓：x2+y2=1①與x2+（y-3）2=1②，則由①式減去②式可得上述兩個圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為__________.

解：根據(jù)對稱性這一性質(zhì)可以知道兩圓的半徑是相等的，而對稱軸必須在圓心處于不同位置時才會產(chǎn)生，因此，推廣的命題可以填為：設(shè)圓方程（x-a）2+（y-b）2=R2與（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），由①-②，得兩圓的對稱軸方程.

2. “類比推理”在等差與等比數(shù)列中的實踐應(yīng)用

等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段數(shù)列的兩大模型，教師在這兩個概念的教學(xué)中首先可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列的“差”與等比數(shù)列的“比”進行類比，然后再引導(dǎo)學(xué)生運用代數(shù)的運算將等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)與等差數(shù)列的不同之處進行研究類比得出.

通過類比可以發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的命題有其對應(yīng)性規(guī)律可循：等差數(shù)列各公式中的加、減、乘、除與等比數(shù)列中乘、除、乘方、開方存在著有趣的一一對應(yīng)的關(guān)系.

例2：有{an}這一等差數(shù)列，如果其中a10=0，那么a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n<19并且n∈N*）. 對以上性質(zhì)進行類比推理，在等比數(shù)列{bn}中，如果有b9=1，那么會有怎樣的等式存在呢？

解：等差數(shù)列{an}中，a10=0，所以a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=2a10=0，所以a1+a2+…+a19=19a10=0，即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1.

又a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1，

所以a1+a2+…+an=-a1+a2+…+a19-n（n<19且n∈N*）.

同理，等比數(shù)列{bn}中，因為b9=1，

所以b1·b17=b2·b16=…=bn·b18-n=bn+1·b17-n=b=1，所以b1·b2·…·b17=b=1. 與等差數(shù)列進行類比可得b1·b2·…·bn=··…·=b1·b2·…·b17-n（n<17且n∈N*）.

3. “類比推理”在立體幾何中的實踐應(yīng)用

高中的立體幾何對學(xué)生的空間想象能力與思維能力均提出了極高的要求，因此，教師在立體幾何內(nèi)容的教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生對立體幾何與學(xué)生已經(jīng)掌握的平面幾何的知識進行類比分析，使得學(xué)生能夠盡快掌握并靈活應(yīng)用新的立體幾何的知識. 比如，將平面幾何中的“點”“線”與立體幾何中的“線”“面”進行類比，將“平面角”與“二面角”進行類比，使學(xué)生在諸如此類的類比教學(xué)中由二維順利向三維過渡，使得學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的畏難情緒逐步消失，使得學(xué)生的空間想象能力與數(shù)學(xué)思維力得到培養(yǎng)和發(fā)展.

例3：勾股定理是平面幾何這一知識體系中一個重要且常用的定理：如果△ABC的兩條邊AB，AC之間互相垂直，那么AB2+AC2=BC2. 由平面向空間進行拓展，通過勾股定理的類比推理，對三棱錐的側(cè)面積與底面積之間的關(guān)系進行探究可得：若三棱錐A-BCD的ABC，ACD，ABD這三個側(cè)面中每兩個側(cè)面都互相垂直，那么___________.

解：教師引導(dǎo)學(xué)生由“用直線截正方形”得直角三角形這一行為進行引申，繼而將其與“用平面截正方體”建立類比關(guān)系這一行為完全是情理之中的，那么，勾股定理中邊的平方在類比關(guān)系中與三棱錐的各個面的面積又存在哪些關(guān)系呢？

（a）2=a2，所以x2+y2+z2=α2成立，因此，是我們所求答案.

4. “類比推理”在平面向量和解析幾何中的實踐應(yīng)用

具備數(shù)形結(jié)合特征的向量與解析幾何在位置與數(shù)量關(guān)系上均有較多相似的地方，解析幾何中的很多問題都可以從向量中得到啟發(fā)并與之進行類比，從而使得幾何問題由推理轉(zhuǎn)化成了數(shù)量化的運算問題.

例4：有+=1這樣一個橢圓，其焦點記作F1，F(xiàn)2，該橢圓上有一動點，記作P，試討論∠F1PF2為鈍角時點P橫坐標(biāo)的取值情況.

分析：教師首先可以引導(dǎo)學(xué)生從“∠F1PF2為鈍角”來進行思考，∠F1PF2是零角、銳角、直角、鈍角、平角的情況都有可能存在，此特征與向量夾角很相似，所以，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將∠F1PF2類比為，兩向量的夾角，而題中所給的已知條件“∠F1PF2為鈍角”可以類比為，兩向量夾角為鈍角這一情況，最終使得點P橫坐標(biāo)取值范圍轉(zhuǎn)化成向量，的數(shù)量積為負值這一問題（向量反向平行除外）.

[?] 高中數(shù)學(xué)運用“類比推理”教學(xué)的注意事項

類比推理在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中雖然十分重要，但教師在運用類比推理進行教學(xué)充分發(fā)揮其積極作用的同時還是需要注意一些問題的：第一，教師始終應(yīng)該注重以學(xué)生為起點并結(jié)合事物的相似性抓住類比推理的精髓組織教學(xué)；第二，為了更加準確地把握事物之間的共同之處，教師應(yīng)該隨時提升自身的知識儲備以達到有效利用類比推理提升教學(xué)效率的目的；第三，始終落實以學(xué)生為主體的教學(xué)理念并巧妙運用類比推理引導(dǎo)學(xué)生進行難題的解決，使得學(xué)生產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)興趣和導(dǎo)向并真正掌握類比推理運用的方法和技巧，不斷地提升學(xué)習(xí)的熱情和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.

從數(shù)學(xué)教學(xué)這個角度出發(fā)，類比推理在解題技巧的豐富以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展上均具備無比重要的意義，但是不管它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用如何，教師都應(yīng)該理性地面對類比推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的實踐應(yīng)用，理性面對其自身存在的局限性，理性面對類比推理適用的知識和層面，在不斷實踐中檢驗類比推理的實效性，引導(dǎo)學(xué)生解題中不生搬硬套，使學(xué)生學(xué)會靈活運用這一方法有針對性地解決問題，堅持具體問題具體分析的針對性原則，從而長期培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣以及解題的技巧與方法.

[?] 結(jié)束語

類比推理在很大程度上是借助原有的知識體系與規(guī)律為未知難題的解決尋求突破口的，而且，從某種意義上來講，類比推理在解題中取得的效果是一般方法無法比擬的，對于學(xué)生發(fā)散性思維的鍛煉以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)作用巨大. 因此，教師始終應(yīng)該貫徹學(xué)生為學(xué)習(xí)主體的教育理念并勇于開拓，將類比推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用充分發(fā)揮出來，使得學(xué)生形成規(guī)范、科學(xué)的類比推理的解題方法與技巧.