徐曉偉

摘要：本文討論了抽象代數(shù)課程中等價關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容，對其教學(xué)方法予以研究。

關(guān)鍵詞：等價關(guān)系；等價類；商集

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）32-0167-02

等價關(guān)系是集合分劃的另一種表述方式，是抽象代數(shù)學(xué)基本而重要的概念。在此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，等價關(guān)系對子集的影響經(jīng)常會成為困擾學(xué)生的潛在因素，本文對此教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法予以研究。因?yàn)樯倘?、商環(huán)、商模、拓?fù)渖炭臻g等結(jié)構(gòu)都是等價關(guān)系產(chǎn)生的商集，所以等價關(guān)系一般作為預(yù)備知識出現(xiàn)在高等代數(shù)、抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、離散數(shù)學(xué)等課程中（參見[1-8]）。教材主要是通過等價關(guān)系引出分劃和商集的概念。但在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生對商集的子集及相關(guān)性質(zhì)認(rèn)識是比較模糊的，從而妨礙對商群、商環(huán)、商模、拓?fù)渖炭臻g等結(jié)構(gòu)的理解。本文將針對這一教學(xué)內(nèi)容予以研究。

我們先回顧一下等價關(guān)系的基本概念和性質(zhì)。等價關(guān)系即滿足自身性、對稱性和傳遞性的關(guān)系。設(shè)～是非空集合A上的等價關(guān)系，對于a∈A，稱

S■=b∈A|b～a

為a的等價類。那么，對于a∈A，有a∈S■；對于a，b∈A，或者S■=S■，或者S■∩S■=φ。從而

A=■S■，

進(jìn)而存在A的子集T，使得

A=■S■ （*）

是無交并，即對任意t■≠t■∈T，有S■∩S■=φ。（*）稱為A的一個分劃，稱

A/～={S■|t∈T}

為A的一個商集。

既然等價關(guān)系可產(chǎn)生集合的分劃，那么為什么不直接用分劃來表述，而是用等價關(guān)系的語言呢？為此，我們需要先理清等價關(guān)系與分劃的關(guān)系——等價關(guān)系與分劃是等同的。

定理1 非空集合的等價關(guān)系與分劃一一對應(yīng)。

這個定理可解釋為：每個等價關(guān)系都產(chǎn)生一個分劃；不同的等價關(guān)系產(chǎn)生不同的分劃；每個分劃都是由某個等價關(guān)系產(chǎn)生的。這個定理雖然在有些教材中未被提及，但教師會在講授時予以說明，并引導(dǎo)學(xué)生自己完成證明。這樣分劃和等價關(guān)系本質(zhì)上是同一個數(shù)學(xué)過程的不同表述。貌似等價關(guān)系把簡單問題復(fù)雜化了，但隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)等價關(guān)系語言的方便之處。

等價關(guān)系對子集的影響是很多學(xué)生困惑的地方，為了將問題說清楚，我們需要引入新的概念。

定義1 設(shè)～是非空集合A上的等價關(guān)系，任給A的非空子集B，～誘導(dǎo)出B上的關(guān)系：對于b■，b■∈B，定義關(guān)系■如下

b■■b■？圳b■～b■.

易見■是B上的等價關(guān)系，在不致引起混淆的情況下，也用～表示■。對于b∈B，記

■■=c∈B|c■b。

稱b∈B是B的～閉元，如果S■？哿B。稱B是～閉子集，如果B中每個元素都是～閉元.

注記2 上述定義1中的概念滿足如下性質(zhì)：

（1）■■=S■∩B；

（2）b∈B是B的～閉元？圳當(dāng)且僅當(dāng)■■=S■.

命題3 若干～閉子集的交和并都是～閉子集；兩個～閉子集的差是～閉子集，特別地，～閉子集的補(bǔ)集是～閉子集。

定義4 設(shè)～是非空集合A上的等價關(guān)系，任給A的非空子集B，稱A的含B的所有～閉子集的交為B的 ～閉包，記為■.

注記4 ■=■S■.

證明：設(shè)a∈■。斷言存在b∈B，使得a～b。否則S■∩B=φ，那么S■的補(bǔ)集是A的含B的～閉子集，從而a？埸■，矛盾。那么a∈S■，從而a∈■S■。反之，設(shè)a∈■S■，即存在b∈B，使得a∈S■，從而A的含B的每個～閉子集都含

S■，因而含a，即a∈■.

需要注意的是對于A的子集B，B/～未必是A/～的子集。

例5 設(shè)A= 是整數(shù)集，定義關(guān)系～如下：對于a，b∈A，a～b？圳3|（a-b）。那么～是等價關(guān)系，且A/～={A■，A■，A■}，其中A■是被3除余i的所有整數(shù)的集合。令B={1，2，3，4，5}，那么B/～={3}，{1，4}，{2，5}。從而B/～不是A/～的子集.

命題6 B/～是A/～的子集當(dāng)且僅當(dāng)B是～閉子集.

證明：設(shè)B/～是A/～的子集。對任意b∈B，往證b是 ～閉元。因■■是B/～中的一個元素，從而它是A/～中的一個元素，即存在a∈A，使得S■=■■=S■∩B。若S■∩S■=φ，則S■∩■■=φ，從而S■≠■■，矛盾.因此S■=S■=■■，即S■？哿B，b是～閉元.反之，設(shè)B是～閉子集.那么B/～中元素都形如■■（=S■∩B），其中b∈B.由于B/～是～閉子集，故■■=S■.因此B/～中的元素都是A/～中的元素.這就證明了B/～是A/～的子集.

推論7 A/～的子集與A的～閉子集一一對應(yīng).

命題8 商映射f：A→A/～把A的子集B映為■/～.特別地，f■f（B）=■.

例9 設(shè)H是G的子群，那么

（1）若～是H誘導(dǎo)的左關(guān)系，則對于x∈G，有S■=xH；對于B？哿G，有■=BH；

（2）若～是H誘導(dǎo)的右關(guān)系，則對于x∈G，有S■=Hx；對于B？哿G，有■=HB；

（3）若H是G的正規(guī)子群，則H誘導(dǎo)的左關(guān)系等同于它誘導(dǎo)的右關(guān)系，此時，對于x∈G，有S■=Hx=xH；對于B？哿G，有■=HB=BH；

（4）設(shè)K是G的子群，則K是～閉子集當(dāng)且僅當(dāng)K含H，這里～是H誘導(dǎo)的左關(guān)系或右關(guān)系.

上述結(jié)論為我們設(shè)計(jì)教學(xué)方法打下了理論基礎(chǔ)，我們僅選擇其中的幾個給出了證明，其余沒給出證明的都比較簡單，有興趣的讀者可自己完成.

在上述準(zhǔn)備工作的基礎(chǔ)上，我們可以對等價關(guān)系的教學(xué)做如下設(shè)計(jì)：（1）在講述等價關(guān)系時，將～閉子集的概念引入，并將其基本性質(zhì)講述清楚；（2）在講述商群時，主要利用～閉子集的概念和性質(zhì)將上述例9中的（4）講清楚，這樣學(xué)生就會把商群G/N的子群與G的子群建立起聯(lián)系，從而可以準(zhǔn)確地把握群同態(tài)基本定理。

現(xiàn)對此教學(xué)方法予以分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)商群時最大的疑惑是同態(tài)定理中為什么商群G/N的子群與G的含N的（不變）子群一一對應(yīng)，利用～閉子集的概念可以將這個內(nèi)容徹底講清楚。因此～閉子集的概念是有必要引入的。但該方法也有一些缺點(diǎn)，～閉子集的概念及性質(zhì)比較抽象，會使初學(xué)者難于理解，但可以通過一些例子來輔助理解，消除了抽象性的障礙，即可以作為備選的教學(xué)方法。

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