楊小娟+田萬鵬+熊勇剛

摘 要 為有效確定二維各向異性材料的材料參數(shù)，提出一種基于無網(wǎng)格局部自然鄰近插值法（MLNNI）的識(shí)別方法.該方法只需在目標(biāo)域上構(gòu)建節(jié)點(diǎn)數(shù)組.而其逆問題即求解以模擬數(shù)值和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間偏差為目標(biāo)函數(shù)的最小值，并采用復(fù)變函數(shù)微分法（CVDM）計(jì)算用于獲取新的參數(shù)的靈敏度系數(shù).區(qū)別于有限差分法，復(fù)變函數(shù)微分法對(duì)步長(zhǎng)大小不敏感，而且若步長(zhǎng)足夠小，靈敏度系數(shù)的精度可以非常精確.數(shù)值算例表明所提出的方法有效.

關(guān)鍵詞 無網(wǎng)格法；參數(shù)識(shí)別；各向異性；復(fù)變函數(shù)微分法

中圖分類號(hào) TU313.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A文章編號(hào) 1000-2537（2017）04-0062-06

Abstract To determine material parameters of two-dimensional orthotropic materials， a new identification approach is proposed in this work based on the meshless local natural neighbor interpolation （MLNNI） method. It is only necessary to construct an array of nodes in the targeted domain. The identification inverse problem is formulated as the minimization of an objective function representing the difference between numerical simulation displacements and measured data. Sensitivity coefficients used to obtain parameter updates are calculated by the complex variable differentiation method （CVDM）. Unlike the finite difference method， CVDM has the advantage of step size insensitivity and sufficiently small steps. The accuracy of the sensitivity coefficients can approach the computer precision. Based on the investigation of numerical example， high accuracy results have been obtained， which demonstrates the potential of our proposed approach.

Key words meshless method； parameter identification； orthotropic； complex variable differentiation method

由于強(qiáng)度和剛度的特性，正交各向異性復(fù)合材料在工程結(jié)構(gòu)中得到了廣泛應(yīng)用.對(duì)于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和維護(hù)，其材料參數(shù)非常重要[1-3].然而，從實(shí)驗(yàn)室里試驗(yàn)樣品得到的數(shù)據(jù)與從工程實(shí)際結(jié)構(gòu)元件上得到的數(shù)據(jù)有很大區(qū)別[2].而且，在某些情況下從一個(gè)更大的結(jié)構(gòu)中取出一個(gè)測(cè)試樣本非常困難，因?yàn)檫@會(huì)破壞材料的內(nèi)部一致性[4].因此，尋求材料參數(shù)的識(shí)別方法[1-6]，可以得到可靠的正交各向異性介質(zhì)的材料參數(shù).但是，到目前為止，大部分的材料參數(shù)識(shí)別方法基于網(wǎng)格數(shù)值方法得到的，如有限元法和邊界元法.

本文基于無網(wǎng)格局部自然鄰近插值法提出了一種新的逆算法來確定二維各向異性材料的彈性本構(gòu)參數(shù).廣義局部彼得洛夫-伽遼金無網(wǎng)格法是該方法的一種特殊情況.近年來無網(wǎng)格方法[7-12]的發(fā)展和應(yīng)用受到越來越多的關(guān)注.這些方法的主要特點(diǎn)是，變量是在一個(gè)集群的分散節(jié)點(diǎn)上構(gòu)建的，這不僅可以為生成網(wǎng)格減輕負(fù)擔(dān)，還可以更準(zhǔn)確地描述不規(guī)則的幾何形狀.局部彼得洛夫-伽遼金無網(wǎng)格法由Atluri和Zhu創(chuàng)立，它是一種真正意義上的無網(wǎng)格法，因?yàn)樗恍枰魏卧鼗虮尘熬W(wǎng)格用作插值或整合.這種方法不同于其他無網(wǎng)格方法，區(qū)別在于它的控制方程滿足局部子域逐點(diǎn)使加權(quán)殘值為零.其弱形式主要適合于幾何形狀簡(jiǎn)單的局部區(qū)域，因此，它被成功地廣泛應(yīng)用于工程問題，如彈性靜力學(xué)問題[7-8]、斷裂力學(xué)問題[9]和不可壓縮流體流動(dòng)問題[10].但是，彼得洛夫-伽遼金法本身不滿足位移邊界條件的移動(dòng)最小二乘法（MLS）.為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，基于自然鄰點(diǎn)插值（NNI）[11]和當(dāng)?shù)厝跣问降木植縋etrov-Galerkin方法（稱為無網(wǎng)格局部自然鄰近插值（MLNNI）方法 [12]） 被用來分析固體的壓力.這種方法顯示了巨大的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗粌H可以保持彼得洛夫-伽遼金無網(wǎng)格法的突出特點(diǎn)，還具有易于收斂的自然鄰近插值的本質(zhì)邊界條件的優(yōu)點(diǎn) [11-12].

對(duì)于本文所考慮的逆問題，采用Levenberg-Marquardt（LM）方法來迭代求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，并確定二維正交各向異性介質(zhì)中的未知材料參數(shù).作為一種基于梯度的方法，LM方法需要計(jì)算靈敏度系數(shù)，例如，參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).雖然有限差分法（FDM）是計(jì)算靈敏度系數(shù)的最簡(jiǎn)單方法，但它的擾動(dòng)步長(zhǎng)的選擇必須有實(shí)驗(yàn)依據(jù).目前，復(fù)變函數(shù)微分法（CVDM），作為一種數(shù)值微分法吸引了更多研究者[6，13-14]的關(guān)注.該復(fù)變函數(shù)微分法的主要優(yōu)點(diǎn)在于，它避免了相近數(shù)值之間的減法，因此不涉及與小步長(zhǎng)相關(guān)聯(lián)的精度問題.本文中，用復(fù)變函數(shù)微分法結(jié)合上述LM方法精確計(jì)算靈敏度系數(shù).兩個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證了該方法的有效性和準(zhǔn)確性.

1 無網(wǎng)格局部自然鄰近插值方法

如上所述，無網(wǎng)格局部自然鄰近插值是用來分析工程問題.Cai和Zhu[12]首次提出了線性彈性分析方法，以減少計(jì)算成本，簡(jiǎn)化了基本邊界條件的施加.

1.1 自然鄰近插值

自然鄰近插值是基于著名的Voronoi圖和Delaunay三角剖分建立起來的.在二維歐氏空間R2考慮一組節(jié)點(diǎn)N={x1，x2，x3，…，xM}，Voronoi圖是一個(gè)分區(qū)的空間被分解成子區(qū)域TI，在每個(gè)區(qū)域TI與節(jié)點(diǎn)xI相關(guān)聯(lián).用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表示，Voronoi多邊形TI被定義為[11]：

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