張海龍,馬 斌,梁亞平

(西京學院土木工程學院,陜西西安710123)

基于廣義Pareto分布的大壩預警指標擬定方法

張海龍,馬 斌,梁亞平

(西京學院土木工程學院,陜西西安710123)

將極值理論中的廣義Pareto分布模型用于大壩預警指標擬定中是一個行之有效的方法,該方法通過設定某一閾值,以監(jiān)測序列超過該閾值的實測值為分析樣本,并認為該樣本服從廣義Pareto分布。由于閾值的選取關(guān)系到廣義Pareto分布參數(shù)估計的精度,而用超限期望圖法確定的閾值具有較大的主觀性誤差,因此,從定義出發(fā),通過數(shù)學推導,建立了自動選取閾值的方法。通過實例分析表明,采用自動選取法確定閾值的廣義Pareto分布擬定的大壩預警指標更加合理。

大壩預警指標；廣義Pareto分布；自動選取法；閾值

0 引 言

借助各種數(shù)學和力學方法擬定大壩安全預警指標是評判大壩安全運行狀態(tài)的重要手段之一,其主要任務是根據(jù)大壩對歷史荷載的抵御能力來評估和預測大壩對未來不利荷載工況下的抵御能力,從而確定不利荷載工況下各效應量的警戒值或極值[1-3]。目前,大壩安全預警指標擬定的方法大致可分為兩種：一種是根據(jù)原型監(jiān)測數(shù)據(jù)序列資料,采用小概率法進行統(tǒng)計分析,是一種純粹的數(shù)學分析法；另一種是通過建立壩體壩基有限元模型,計算不利荷載工況下的效應量警戒值,屬于結(jié)構(gòu)計算法。數(shù)理統(tǒng)計法應用范圍廣,可操作性強,是最常用的擬定方法,但是要求較長的監(jiān)測序列資料,且需要事先假定樣本的分布概率函數(shù)；結(jié)構(gòu)計算法力學概念明確,計算結(jié)果可靠,但對于復雜的壩體壩基建模難度大,且通常需要對壩體壩基物理力學參數(shù)進行反演分析,計算工作量大。

為了克服上述大壩安全預警指標擬定方法的局限性,蘇懷智[4]、聶兵兵[5]等將極值理論(Extreme Value Theory,EVT)中的廣義Pareto分布模型(Generalized Pareto Distribution,GPD)用于大壩安全預警指標擬定中,該模型以監(jiān)測數(shù)據(jù)序列中所有超過某一閾值的監(jiān)測值為分析樣本,較小概率法擴大了樣本容量,保留了更多的極值信息,適用于監(jiān)測序列較短的大壩安全預警指標擬定。廣義Pareto分布模型最主要的問題是對模型參數(shù)進行估計,常用的方法有極大似然法[6]、Bayes估計法[7]、罰函數(shù)法[8]等,其中,極大似然函數(shù)法最為常用。在估計模型參數(shù)前,需要事先根據(jù)某一方法確定閾值u,如果閾值u取得太大,則超限樣本數(shù)量較少,模型參數(shù)估計偏差較小,但模型參數(shù)估計方差增大；如果閾值u取得過小,則超限樣本數(shù)量太多,模型參數(shù)估計偏差較大。因此,合理選取閾值u至關(guān)重要。文獻[4-5]采用超限期望圖法確定閾值u,該方法建立閾值u與超限期望函數(shù)估計值的曲線圖,選取足夠大的臨界閾值u0,使得當x≥u0時超限期望函數(shù)估計值為近似線性變化作為確定閾值的依據(jù),該方法為人為選取,具有較大的主觀性,且有時候構(gòu)造的曲線圖不止只有一段呈近似線性變化,因此,為消除人為選取帶來主觀誤差,本文根據(jù)數(shù)學推導,采用自動選取法確定閾值u。

1 自動選取法的基本原理

廣義Pareto分布基本理論見文獻[4]。對于給定的一個大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)序列{x1,x2…xn},假定閾值為u,超過閾值u的監(jiān)測數(shù)據(jù)個數(shù)為nu,yi=xi-u(i=1,2,…,nu)，由廣義Pareto分布概率密度函數(shù)根據(jù)極大似然法可得廣義Pareto分布函數(shù)參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)

(1)

式中,ξ為廣義Pareto分布函數(shù)的形狀參數(shù)；σ為廣義Pareto分布函數(shù)的尺度參數(shù)；n為監(jiān)測數(shù)據(jù)序列的總個數(shù)；y={y1,y2,…,ynu}。閾值u選取是否合理關(guān)系到參數(shù)ξ和σ的精度。下面介紹自動選取法確定閾值u的基本原理。

設閾值為u0時的超限樣本近似服從廣義Pareto分布,則對于任意u>u0確定的超限樣本也近似服從廣義Pareto分布,且兩者形狀參數(shù)ξ相同,尺度參數(shù)σ關(guān)系如下[9]

σu=σu0+ξ(u-u0)

(2)

(3)

可得

σuj-σuj-1=ξ(uj-uj-1)

(4)

令

(5)

由極大似然估計可得

(6)

則

(7)

由式(7)可以看出,Nuj-Nuj-1在閾值u選取合適的情況下近似服從均值為0的正態(tài)分布。因此,可選取均值最接近0對應的閾值為合理的閾值u。

2 大壩安全預警指標擬定

根據(jù)自動選取法確定了閾值u,則可根據(jù)式(1)確定參數(shù)ξ和σ,由廣義Pareto分布概率密度函數(shù)可求出超限樣本的分布函數(shù)F(x)為

(8)

對式(8)進行求導,可得超限樣本的概率密度函數(shù)f(x)=F-1(x),令xm為大壩監(jiān)測效應量的警戒值,當x>xm時,大壩運行可能發(fā)生失事,其失事概率為

(9)

根據(jù)大壩的等級和失事后果可以確定大壩的失事概率Pa,則xm的估計值為

(10)

3 基于廣義Pareto分布的大壩安全預警指標擬定步驟

基于廣義Pareto分布的大壩安全預警指標擬定步驟如下：

(1)根據(jù)實測資料序列,對數(shù)據(jù)進行升序排列。

(2)根據(jù)自動選取法確定閾值u。①構(gòu)造等值遞增的閾值序列u1,…,um,u1可取為0,um可取為90%監(jiān)測序列總樣本對應的測值；②得到ui(i=1,2,…,m-2)對應的超限樣本,由此計算廣義Pareto分布參數(shù)ξi和σi；③對于所有ui≤uj-1≤uj(j=i+1,i+2,…,m),計算Nuj-Nuj-1(j=i+1,i+2,…,m),并計算該正態(tài)分布序列的均值和方差；④取均值最接近0對應的閾值ui為合理的閾值。

(3)根據(jù)極大似然法估計廣義Pareto分布參數(shù)。

(4)根據(jù)大壩等級和失事后果確定大壩運行允許失事概率。

(5)擬定大壩預警指標。

4 實例分析

某多年調(diào)節(jié)水庫大壩位于安徽省長江支流青弋江上,主體為混凝土重力壩,由28個壩段組成,最大壩高76.3 m,壩頂長419 m?，F(xiàn)以該大壩8號壩段壩頂徑向水平位移監(jiān)測數(shù)據(jù)為例,采用本文方法和小概率法擬定該壩段的預警指標。其中,監(jiān)測序列從2000年1月1日～2012年12月31日,共657組數(shù)據(jù)。符號規(guī)定向下游變形為正,向上游變形為負。

為了突出對比,采用超限期望圖法和自動選取法確定閾值u。超限期望圖見圖1。根據(jù)圖1a,按照選取規(guī)則,大致可確定求位移上限值的閾值u=2 mm 或u=4 mm,超限樣本數(shù)為662個或173個,超限樣本數(shù)不能太多,因此u=4 mm較為合理；根據(jù)圖1b,取求位移下限值的閾值u=3.5 mm,超限樣本數(shù)為94個。

圖1 超限期望圖

根據(jù)不同方法確定的廣義Pareto參數(shù)估計見表1。

表1 廣義Pareto參數(shù)估計

根據(jù)該大壩等級與失事后果,設大壩允許失事概率為1%,則根據(jù)不同方法擬定的該大壩8號壩段壩頂徑向水平位移預警指標見表2。

表2 不同方法擬定的大壩變形預警指標

由表2可以看出,閾值采用自動選取法確定的廣義Pareto分布模型擬定的大壩變形預警指標與小概率法擬定的預警指標較為接近,但自動選取法擬定的預警指標較為安全。閾值采用超限期望圖法確定的廣義Pareto分布模型擬定的大壩變形預警指標因受人為主觀性影響,擬定的預警指標較為保守。因此,將自動選取法用于閾值確定的廣義Pareto分布模型用于大壩預警指標擬定中是合理的,同時還可以克服人為帶來的主觀性誤差。

5 結(jié) 論

本文借助廣義Pareto分布函數(shù)研究了大壩安全預警指標擬定實現(xiàn)方法,并結(jié)合具體工程實例進行了驗證,可得到如下結(jié)論：

(1)基于廣義Pareto分布擬定大壩預警指標選用的樣本為超過某一閾值的所有監(jiān)測序列組成,較小概率法擴大了樣本容量,保留了更多的極值信息,對于監(jiān)測序列短的情況也同樣適用。

(2)采用自動選取法確定閾值能夠避免因人為選取帶來的主觀誤差,能夠保證廣義Pareto分布函數(shù)的參數(shù)估計精度。

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[9]殷英. 基于廣義Pareto分布理論下的高溫閾值選取[D]. 揚州： 揚州大學, 2011．

(責任編輯焦雪梅)

WarningIndexDevelopmentofDamMonitoringBasedonGeneralizedParetoDistribution

ZHANG Hailong, MA Bin, LIANG Yaping
(School of Civil Engineering, Xijing University, Xi’an 710123, Shaanxi, China)

It’s an effective method to develop warning index of dam monitoring by using generalized Pareto distribution of extreme value theory. By setting a threshold value, the overrun samples are selected from monitoring data which exceed the threshold value and the samples are considered to obey generalized Pareto distribution. Since the accuracy of parameters of generalized Pareto distribution is affected by the selection of threshold value and the threshold value which is computed by exceeded expectation diagram method has a large subjective error, therefore, the auto select method of threshold value is established through mathematical derivation from the definition. The result of case study indicates that the warning index of dam monitoring which are developed by using generalized Pareto distribution are more reasonable．

warning index of dam monitoring; generalized Pareto distribution; auto select method; threshold value

2016- 09- 26

陜西省教育廳科學研究項目(15JK2171)

張海龍(1982—),男,陜西寶雞人,講師,工程師,碩士,主要從事水工結(jié)構(gòu)工程數(shù)值計算方面工作．

TV698.1

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：0559- 9342(2017)06- 0097- 03