陳宥伊

摘要：眾所周知，當(dāng)我們求解與圓錐曲線相關(guān)的題目時(shí)，常需要求解判別式，而聯(lián)立方程中又有一個(gè)或多個(gè)參數(shù)，故而判別式的求解較為復(fù)雜。因此筆者在此介紹一種判別式的簡易解法，并擬用接下來的例題講述此方法。

關(guān)鍵詞：判別式；求解；延伸應(yīng)用

例1，已知與相交于兩點(diǎn)，試求聯(lián)立后的判別式。

解析，聯(lián)立得到聯(lián)立方程 ，化簡后得，再根據(jù)判別式的一般解法，可得

評(píng)注 通過此題，我們可以驚奇的發(fā)現(xiàn)，而其中的即為聯(lián)立方程中的二次項(xiàng)系數(shù)，即為聯(lián)立時(shí)一次函數(shù)截距的平方。因此便推出判別式的簡易求法，當(dāng)然在使用該方法時(shí)，也有兩點(diǎn)注意事項(xiàng)，第一，橢圓聯(lián)立時(shí)需要消去分母。即將化為。第二，當(dāng)不互質(zhì)時(shí)不可化簡，約分。例如僅可化為，不可化為

在推導(dǎo)出判別式的簡易算法后，便可對(duì)其加以應(yīng)用，下面是幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例

1.橢圓的面積最大值問題

例2，已知，兩點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。

解析 設(shè)的解析式為，則聯(lián)立，得到聯(lián)立方程

化簡后可得，故而因此可以將表示為，而到的距離，所以面積即可表示為，在使用均值不等式，即當(dāng)時(shí)，

評(píng)注 利用判別式的簡便算法竟成功推出橢圓中特殊三角形的最大值等于（在時(shí)）有了這一結(jié)論，就可以“秒殺”出部分題目。

例3.（2014年濰坊二模）橢圓的短軸長為2，點(diǎn)為上頂點(diǎn)，圓，將橢圓的長軸三等分，直線與橢圓交于兩點(diǎn)

（I）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求證△APB為直角三角形；

并求出該三解形面積的最大值.

（1）易得

（2）證明過程略

當(dāng)時(shí)，即

易知

評(píng)注 利用推論可以輕易求解此題，注意前提條件是，若無法滿足此條件，則不可使用此推論，而應(yīng)用普通方法求解。

2、橢圓的面積定值問題

例4：已知橢圓，橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)滿足，證明的面積為定值，并求出該定值。

解析 設(shè)直線解析式為，則聯(lián)立，得到聯(lián)立方程

化簡得

所以可以得到，因此可以將表示為

可以將由到的距離，最終表示出面積

評(píng)注：其實(shí)由此題我們可以發(fā)現(xiàn)即為，那么此時(shí)的面積即為最大值為，只要滿足或，就為的最大值。

3、橢圓中的軌跡問題

（上接第147頁）

例5：已知橢圓，動(dòng)點(diǎn)，作切橢圓于兩點(diǎn)，，求的運(yùn)動(dòng)軌跡。

解析 設(shè)過的直線解析式為，

聯(lián)立，得到聯(lián)立方程：

，

則判別式，

，即為的兩個(gè)根，

因?yàn)樗远越獾密壽E

評(píng)注 利用判別式方程，找到斜率之間的關(guān)系，最終求得軌跡。

綜上所述，熟練掌握判別式的簡易求法，不僅可以幫助學(xué)生在考試中節(jié)約大量時(shí)間，還可以再多類題型中加以應(yīng)用，使其更易求解。

鞏固練習(xí)，已知橢圓，若線段是曲線的一條動(dòng)弦，且，求坐標(biāo)原點(diǎn)到動(dòng)弦距離的最大值。

參考答案：

參考文獻(xiàn)：

[1]趙福民.判別式法的應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究[J]，2013，（20）

[2]王海波.判別式法在解析幾何中的應(yīng)用[J]中學(xué)生數(shù)理化：教與學(xué)，2011，（4）