王珺+賀莉

摘要：本文探討了微分方程在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中所面臨前后銜接的問(wèn)題，分析了微分方程教學(xué)過(guò)程中與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課和專業(yè)課之間銜接的諸多問(wèn)題，進(jìn)而給出在教學(xué)上的應(yīng)對(duì)措施和建議。

關(guān)鍵詞：微分方程；數(shù)學(xué)模型；Matlab

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）33-0155-02

一、引言

微分方程是一門(mén)古老又重要的數(shù)學(xué)分支，它用來(lái)描述各種實(shí)際現(xiàn)象，對(duì)處理動(dòng)態(tài)時(shí)間問(wèn)題起到至關(guān)重要的作用。微分方程作為理工科必修課程，是本科階段數(shù)學(xué)模型中最常用的建模方法，在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中起到承上啟下的關(guān)鍵作用。在微分方程的教學(xué)中，首先需要同學(xué)們掌握微積分的相關(guān)知識(shí)，熟練運(yùn)用初等函數(shù)的微分、積分技巧解決一維常微分方程。而在處理多維微分方程組及高階方程時(shí)，大量線性代數(shù)和矩陣知識(shí)是主要工具。這就要求學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課上打好基礎(chǔ)，這樣微分方程課程才能順利進(jìn)行。而將掌握的所有數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到各自專業(yè)學(xué)習(xí)上，正是通過(guò)微分方程課程作為銜接。如醫(yī)學(xué)影像工程學(xué)、地震偵測(cè)與預(yù)測(cè)、電磁場(chǎng)方程、熱傳導(dǎo)方程、生物種群演化、金融衍生品價(jià)格的確定等都是微分方程，涵蓋了理工學(xué)科的方方面面，甚至包括管理、經(jīng)濟(jì)、金融等文理兼修的學(xué)科?？梢哉f(shuō)沒(méi)有微分方程就沒(méi)有現(xiàn)代的信息社會(huì)。但目前，微分方程教學(xué)上還存在諸多問(wèn)題。例如，本科數(shù)學(xué)教學(xué)往往注重高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論三大考研內(nèi)容的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課。對(duì)微分方程重要性的認(rèn)識(shí)不夠，壓縮微分方程教學(xué)課時(shí)。其次，微分方程分為理論與計(jì)算兩部分。計(jì)算部分有數(shù)值計(jì)算方法等需要運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，而微分方程課程只有理論課時(shí)，國(guó)內(nèi)基本沒(méi)有配套的實(shí)驗(yàn)課程。本文將重點(diǎn)關(guān)注微分方程在教學(xué)過(guò)程最為關(guān)鍵的一環(huán)——基礎(chǔ)課與專業(yè)課教學(xué)前后銜接性問(wèn)題。

二、微分方程在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的銜接問(wèn)題

為了更好地闡述問(wèn)題，我們首先來(lái)看一下微分方程主要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容及其學(xué)習(xí)的目的。

1.求解一階方程、二維一階方程組、二階線性方程、一階線性方程組等常用微分方程的常規(guī)解法。

2.上述微分方程的數(shù)值解法。

3.Laplace變換求解微分方程組。

4.非線性微分方程及其穩(wěn)定性。

5.數(shù)學(xué)建模。

前三項(xiàng)內(nèi)容可以歸為一類——學(xué)習(xí)用不同的方法求解各類微分方程。該內(nèi)容是學(xué)習(xí)微分方程的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)重點(diǎn)。因?yàn)槊鎸?duì)不同的方程采取的方法都不一樣。首先應(yīng)學(xué)會(huì)判斷方程類型，采取對(duì)應(yīng)的求解方法。內(nèi)容多，記憶量大，求解步驟復(fù)雜，后期計(jì)算量頗大。其中Laplace變換是區(qū)別于微積分求解的另一套求解微分方程的方法。好處是求解各類方程采取的方法統(tǒng)一，缺點(diǎn)也很明顯，學(xué)生需要重新學(xué)習(xí)一套求解系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)于微分和積分，Laplace變換也大量變換與逆變換公式，這恰恰是學(xué)生們從未接觸過(guò)的。

第四項(xiàng)非線性方程穩(wěn)定性問(wèn)題，是微分方程的難點(diǎn)。學(xué)習(xí)如何通過(guò)不求解方程，判斷解得性質(zhì)和趨勢(shì)。

最后一項(xiàng)，數(shù)學(xué)建模，是微分方程區(qū)別其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的關(guān)鍵點(diǎn)。所有的前期學(xué)習(xí)內(nèi)容都是為了解決實(shí)際問(wèn)題而服務(wù)的。根據(jù)問(wèn)題背景，通過(guò)分析變量之間的關(guān)系，列出相應(yīng)的微分方程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求解。

根據(jù)上述的內(nèi)容，我們可以得出微分方程課程是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課理論知識(shí)過(guò)渡到專業(yè)課的橋梁，起到承上啟下的關(guān)鍵作用。下面分別考慮銜接中出現(xiàn)的種種問(wèn)題。

（一）微分方程與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課的銜接問(wèn)題

大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課是大學(xué)生公共必修課，本身難懂難學(xué)。往往學(xué)生不知道為什么要學(xué)，學(xué)完微積分、線性代數(shù)都有什么用？而作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課的老師卻解答不了學(xué)生的疑問(wèn)。學(xué)生沒(méi)有帶著問(wèn)題去學(xué)，學(xué)習(xí)的積極性不高，僅僅把數(shù)學(xué)課當(dāng)作任務(wù)完成，學(xué)習(xí)效果自然不好。這就造成學(xué)生進(jìn)入后期微分方程學(xué)習(xí)時(shí)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，關(guān)鍵知識(shí)掌握不牢。等到學(xué)習(xí)微分方程的時(shí)候，知道要解決具體的問(wèn)題是什么，卻不知道如何解決，需要重新學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，悔不當(dāng)初。

另一方面，一門(mén)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課一個(gè)學(xué)校統(tǒng)一教學(xué)大綱，各個(gè)專業(yè)學(xué)習(xí)的內(nèi)容幾乎一致，完全沒(méi)有側(cè)重點(diǎn)。后續(xù)微分方程的教學(xué)上學(xué)生都會(huì)感慨需要用到的知識(shí)之前并沒(méi)有熟練掌握。這些知識(shí)在當(dāng)初學(xué)習(xí)中可能并不突出，也不作為考試的考察重點(diǎn)。例如，微分方程中不僅要求學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、兩個(gè)函數(shù)積的求導(dǎo)，還需要公式會(huì)逆向應(yīng)用。這樣，微分方程教學(xué)過(guò)程中需要重新講授微積分、線性代數(shù)甚至是復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容，造成了教師和學(xué)生大量重復(fù)性工作，也擠壓了正常微分方程教學(xué)的課時(shí)。

（二）微分方程與專業(yè)課的銜接問(wèn)題

微分方程作為數(shù)學(xué)建模的重要手段，就是用來(lái)解決生產(chǎn)生活中大量實(shí)際問(wèn)題的。到這個(gè)階段，各個(gè)專業(yè)的差異性才凸顯。而在具體操作上，微分方程課程往往安排在大二下學(xué)期或大三進(jìn)行，幾乎與專業(yè)課同時(shí)開(kāi)課。專業(yè)課老師講完本專業(yè)內(nèi)容時(shí)對(duì)模型的具體解法需要微分方程課程來(lái)解答。而顯然微分方程的學(xué)習(xí)需要循序漸進(jìn)，不可一蹴而就。學(xué)生同時(shí)學(xué)這幾門(mén)課往往一知半解，知識(shí)體系不完整，吸收沒(méi)有連貫性，教師和學(xué)生都感到無(wú)所適從。

微分方程作為一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支，內(nèi)容多而課時(shí)有限。若單純地教授計(jì)算方法與穩(wěn)定性理論，學(xué)生沒(méi)有解決實(shí)際問(wèn)題的需求，又會(huì)出現(xiàn)微積分教學(xué)上的問(wèn)題，不知道為什么學(xué)？生活中似乎見(jiàn)不到微分方程？有這樣的疑慮就不能使微分方程教學(xué)達(dá)到好的效果。而既介紹理論計(jì)算又教授如何建模，又會(huì)與部分專業(yè)課重疊，甚至由于教材不同，建模的思路也不同，造成學(xué)生的困惑。目前，大多數(shù)微分方程課由公共課教師講授，與專業(yè)課教師分屬不同部門(mén)。雙方交流的機(jī)會(huì)實(shí)在有限，所以微分方程與專業(yè)課如何銜接值得關(guān)注。

三、應(yīng)對(duì)微分方程教學(xué)上銜接性的改進(jìn)建議

（一）由成熟的數(shù)學(xué)教師講授微分方程課程

成熟，代表你對(duì)高等數(shù)學(xué)有充分的理解。沒(méi)有教授過(guò)幾輪微積分、幾輪線性代數(shù)的教師直接讓他們講微分方程是極其不合理的。微分方程的內(nèi)容是要求教師對(duì)之前基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課非常熟悉，在學(xué)生遇到對(duì)之前數(shù)學(xué)知識(shí)遺忘的時(shí)候，能簡(jiǎn)明扼要地講解相關(guān)內(nèi)容，做好承上的銜接。

另一方面，這里說(shuō)的成熟不是單一的成熟。即使講過(guò)二十年微積分的教師也不能高質(zhì)量地講授微分方程。我們常說(shuō)對(duì)于一個(gè)教師而言，要有扎實(shí)的基本功，需要他能將整個(gè)高等數(shù)學(xué)體系融會(huì)貫通。優(yōu)秀的微分方程教師需要知道在學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)上，哪些數(shù)學(xué)知識(shí)是貫徹始終的，哪些部分是有專業(yè)側(cè)重點(diǎn)的。例如，面對(duì)電氣專業(yè)的學(xué)生，微分方程教材中很少有詳細(xì)介紹Laplace變換的，往往一兩頁(yè)簡(jiǎn)述一下。但該專業(yè)需要掌握電路設(shè)計(jì)等問(wèn)題，這些問(wèn)題可以由Laplace變換求解。作為教授該專業(yè)的微分方程教師就應(yīng)該將這部分內(nèi)容補(bǔ)充進(jìn)來(lái)，詳細(xì)講解Laplace變換，掃清學(xué)生在今后學(xué)習(xí)專業(yè)課的障礙。

（二）教材的選取至關(guān)重要

微分方程近年來(lái)發(fā)展迅速，分支眾多，出現(xiàn)大量的本科教材。按內(nèi)容可以將微分方程分為四個(gè)部分：解微分方程、穩(wěn)定性理論、數(shù)值方法求解方程和數(shù)學(xué)建模。目前的教材大多側(cè)重一兩個(gè)方面，這與國(guó)內(nèi)本科教學(xué)的課時(shí)有關(guān)。因此，這樣的教材往往對(duì)應(yīng)不上專業(yè)的需求。有的專業(yè)教材主要是數(shù)學(xué)建模，可是學(xué)生有自己的專業(yè)要求，卻不會(huì)解微分方程。還有的教材穩(wěn)定性理論講解得過(guò)于深入，而學(xué)生根本理解不了，也應(yīng)用不上。這就需要開(kāi)課的時(shí)候，詳細(xì)了解本專業(yè)的教學(xué)需要，選擇一本適合該專業(yè)學(xué)生的教材，保證與未來(lái)專業(yè)課的連續(xù)性教學(xué)。

（三）Matlab實(shí)驗(yàn)教學(xué)與理論教學(xué)結(jié)合

近十多年來(lái)，微分方程的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，由于所研究的實(shí)際問(wèn)題的規(guī)模越來(lái)越大，越來(lái)越復(fù)雜，涉及的變量越來(lái)越多，因此，大規(guī)模的微分方程計(jì)算方法就成為重要的數(shù)學(xué)工具。傳統(tǒng)的微分方程教學(xué)偏重自身的理論體系，重視理論和計(jì)算，因此授課方式多采用傳統(tǒng)的黑板板書(shū)和“概念—定理—解法—習(xí)題”的模式。傳統(tǒng)的黑板板書(shū)的教學(xué)方式，有利于理論內(nèi)容的講解，能夠讓學(xué)生了解每一步的理論依據(jù)、邏輯過(guò)程。但缺乏交互性和實(shí)用性，不利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性和學(xué)習(xí)興趣，解決不了具體的復(fù)雜問(wèn)題。我們?cè)诮虒W(xué)上，期望在以后實(shí)際應(yīng)用面對(duì)多變量復(fù)雜計(jì)算時(shí)，學(xué)生可以將所學(xué)的微分方程課程學(xué)以致用，而不僅僅是了解簡(jiǎn)單的理論知識(shí)卻不能解決實(shí)際問(wèn)題。

四、結(jié)語(yǔ)

本文主要關(guān)注了微分方程課程在整個(gè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中前后銜接的問(wèn)題。隨著基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科不斷融合發(fā)展，如何更有效地實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)連續(xù)性教學(xué)成為熱點(diǎn)問(wèn)題。長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)目前有一試點(diǎn)教學(xué)。由一成熟的數(shù)學(xué)教師負(fù)責(zé)某一專業(yè)全部數(shù)學(xué)課程：微積分、線性代數(shù)、概率論、微分方程等。該教師從大一教授至大三，與學(xué)生關(guān)系緊密，可自主安排課程，務(wù)必對(duì)應(yīng)專業(yè)學(xué)習(xí)有的放矢，最大程度地保證教學(xué)的連續(xù)性。該舉措我們將在教學(xué)實(shí)踐中不斷改進(jìn)，加以驗(yàn)證。

Analysis and Improvement of Coherence Teaching of Differential Equations

WANG Jun，HE Li

（School of Basic Science， Changchun University of Technology， Changchun，Jilin 130012， China）

Abstract： This paper discusses the problems in coherence teaching of Differential Equations in advanced mathematics teaching. We analyzes a lot of coherence problems of basic mathematics course and professional course with Differential Equations. Moreover， corresponding counter measures and suggestions are given.

Key words： differential equations；mathematical model；Matlab