郭吉豐，易 琳，王 班,2，周衛(wèi)華

(1. 浙江大學電氣工程學院，杭州 310027；2. 杭州電子科技大學機械工程學院，杭州 310018)

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空間繩網多收口質量塊收口過程動力學分析

郭吉豐1，易 琳1，王 班1,2，周衛(wèi)華1

(1. 浙江大學電氣工程學院，杭州 310027；2. 杭州電子科技大學機械工程學院，杭州 310018)

針對空間繩網捕獲應用，進行了多收口質量塊收口過程的動力學分析。以一種自適應雙卷筒卷取機構為研究對象，考慮包含有三個質量塊的收口系統(tǒng)，通過建立收口質量塊質點運動微分方程、收口繩長約束方程并利用非正交變換方法，給出了各收口質量塊質心運動與纜繩卷取運動耦合的動力學模型，仿真分析了質量塊平動發(fā)射和系統(tǒng)自旋發(fā)射等典型收口過程的運動特點，給出了一些收口過程的驅動控制策略，同時也說明此類自適應收口質量塊具有較強的自適應性和容錯性，適用于空間繩網捕獲系統(tǒng)。另外，以上分析也適用于采用纜繩控制的繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)。

空間繩網；收口質量塊；收口過程；動力學；自適應

0 引 言

相比于空間剛性捕獲，空間柔性捕獲具有捕獲距離遠、容錯性強、安全性高等優(yōu)點。作為柔性捕獲的典型代表，空間繩網捕獲系統(tǒng)成為近年來的研究熱點之一?？臻g繩網捕獲系統(tǒng)中的收口質量塊既要牽引繩網正常張開飛行，又要在繩網包裹目標物后實現(xiàn)網口的收緊，鎖死目標物以防止其逃逸。

收口質量塊可分為由電機驅動的機電式收口質量塊以及由壓縮彈簧驅動的機械式收口質量塊[1-3]。收口過程中收口質量塊兩端纜繩的負載因各種情況會產生不均衡，須要有自適應能力，例如采用雙轉子的自適應收口質量塊[4-5]?？臻g繩網捕獲系統(tǒng)的收口過程是一個復雜過程，既要考慮收口質量塊在纜繩約束下的相對運動，又要考慮收口質量塊自身的剛體運動，避免纜繩與質量塊之間的纏繞。文獻[6-10]在空間繩網收口動力學分析中，將質量塊作為質點處理，而忽略了質量塊的自身運動并掩蓋了質量塊翻滾與纏繞問題。文獻[11]建立了自適應雙卷取機構單收口質量塊的卷取理論，但未考慮在繩網收口過程中出現(xiàn)的多個收口質量塊通過柔性纜繩相互耦合的卷取過程。事實上，當收口質量塊驅動電機啟動開始卷取網口纜繩時，纜繩上的拉力會對收口質量塊質心運動產生影響，同時收口質量塊對纜繩的卷繞又改變了各機構間的位置約束反過來又影響了纜繩的張力。因此，有必要對多個通過纜繩相互連接的收口質量塊收口動力學進行研究，探索空間多收口質量塊協(xié)同卷取纜繩的驅動控制策略。從這個意義上說，空間繩網多質量塊收口問題類似于繩系衛(wèi)星編隊飛行構形控制問題[12-14]。

針對空間繩網捕獲系統(tǒng)應用，根據課題組前期研制的雙轉子收口質量塊及單個收口質量塊收口過程的動力學模型[11]，本文建立了空間繩網多收口質量塊收口過程的動力學模型，并對幾種典型的收口過程進行了仿真，分析系統(tǒng)初始條件對收口構形的影響。

1 收口過程系統(tǒng)動力學模型

1.1 模型描述及系統(tǒng)設定

自適應雙卷筒收口質量塊如圖1所示，電機內轉子通過減速器帶動卷筒1，外轉子(即電機本體)帶動卷筒2，電機伺服驅動控制器及供電電池也可固定在卷筒2內。兩個卷筒外通過軸承固定支撐一個能自由滾動的導繩套筒，兩個導繩入口基本相對，在軸向略微錯位，在周向相差180°。電機工作時，兩卷筒相向旋轉，分別卷取收口纜繩1和收口纜繩2。自由導繩套筒的作用是克服電機啟動階段因慣性力矩產生的旋轉，使得收口纜繩入口位置基本不變，特別是一個卷筒收完收口纜繩后堵轉，而另一收口纜繩仍需卷取的場合，自由的導繩套筒可防止收口纜繩纏繞，其自適應的機理和效果已得到證實[11]。

圖1 收口質量塊結構示意圖Fig.1 Structural diagram of the adaptive take-up mass block

圖2 三收口質量塊收口系統(tǒng)示意圖Fig.2 The diagram of take-up system with three mass blocks

三個收口質量塊之間通過收口纜繩首尾依次連接組合為一個閉合三角形，在懸浮失重環(huán)境下自由飛行，如圖2所示，其連接方式有4種，本文考慮11與22連接、12與23連接和13與21連接這種連接方式進行分析。三收口質量塊收口系統(tǒng)中，每一收口機構有三個剛體，系統(tǒng)共有9個剛體和3根纜繩，為分析簡化起見，作如下設定：

1) 收口質量塊收口過程中處于自由狀態(tài)，各收口質量塊尾部網角纜繩不對其產生拉力作用；

2)在微重力場下運動，收口空間范圍較小，忽略軌道運動產生的重力梯度力及Coriolis加速度；

3)收口纜繩為輕質材料，在繩長較短時，其質量忽略不計，同時纜繩彈性、阻尼以及橫向振動也可不予考慮，纜繩張力沿繩長方向且處于張緊狀態(tài)；

4)收口質量塊的直徑與纜繩的長度相比要小得多，收口質量塊導繩口的旋轉角度位置不會對纜繩的方向產生影響，在考慮收口隊形時可以將收口質量塊當作質點處理。

1.2 收口質量塊質心運動的動力學方程

收口質量塊1、2、3的質量分別為m1、m2和m3。根據由上述假設條件將收口質量塊當作質點處理，以空間中任意一點為原點，Oxy平面與三個收口質量塊質心平面重合，建立靜止的笛卡爾坐標系。描述空間繩系收口平面運動模型如圖3所示，坐標系的z軸在圖中未標出，方向垂直于紙面朝外，圖3對各個收口質量塊之間通過纜繩張力相互牽引力進行了分析。

圖3 收口系統(tǒng)面內受力分析Fig.3 Force analysis of take-up system

原點到收口質量塊1、2和3質心的矢徑分別為r1、r2和r3，質心坐標分別為(x1, y1)、(x2, y2)和(x3, y3)，OCM為多收口質量塊收口系統(tǒng)質心，其坐標為(x0, y0)。三根纜繩的張力大小分別為F1、F2和F3。u1、u2和u3為分別與三根張緊纜繩平行的單位向量，方向如圖所示，可稱之為纜繩方向矢量。Fij為第i個收口質量塊受到指向第j個收口質量塊纜繩的拉力(i=1,2,3；j=1,2,3且i≠j)。設慣性坐標系Oxyz的基矢量分別為ex，ey和ez。纜繩方向矢量為：

(1)

令u1、u2和u3與x軸正向的夾角分別為θ1、θ2和θ3，則式(1)可表示為：

ui=(cosθi,sinθi),i=1,2,3

(2)

不考慮纜繩的質量，纜繩對兩端的收口質量塊的拉力為一對作用力與反作用力。有：

(3)

收口質量塊是軸對稱的幾何結構，卷筒和導繩套筒的旋轉不會改變整個機構質心的位置，根據質心運動定理由兩個卷筒和一個導繩套筒組成的收口質量塊質點系質心運動滿足：

(4)

在平面內任意兩個不共線的向量都可以作為一組基底，因此只要編隊保持三角形構形，任意兩個纜繩方向向量u1、u2和u3都能作為基底來線性表示平面內的向量。由式(2)可以得到由纜繩方向向量組合的三組基底與坐標系基矢量的關系：

(5)

(6)

(7)

u1、u2和u3兩兩互不共線，式中變換矩陣Ai(i=1,2,3)是可逆的。由上面三式和質點加速度方程可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

1.3 收口質量塊卷取動力學方程

對于一般的質量均勻分布的軸對稱剛體，其繞對稱軸(對于收口質量塊而言即為圖1中的Oz軸)的轉動與其他兩個方向的轉動是解耦的[15]。因此，在分析收口質量塊的卷取動力學時，姿態(tài)是否翻滾不會影響其繞對稱軸旋轉的卷取動力學分析。圖2中三個收口質量塊的卷取動力學分析方法是相同的，以卷取機構1為例來說明[11]。收口質量塊卷取時受力情況如圖4所示。選取其質心C1為原點，建立原坐標系Oxyz的平動坐標系C1X1Y1Z1，其中C1Z1軸垂直紙面向外。

圖4 收口質量塊的受力分析Fig.4 Force analysis of single take-up mass block

纜繩1和3在導繩套筒外部對其產生的力矩為：

R01×(F12-F13)=R01×(F1u1+F3u3)

(12)

其中,R01為導繩口A1到質心C1的矢徑

R01=(R01cosθ01,R01sinθ01)

(13)

將式(2)和式(13)代入式(12)可得：

R01×(F12-F13)=

R01[F1sin(θ1-θ01)+F3sin(θ3-θ01)]ez

(14)

對于收口質量塊2和3，同理可得：

R02×(F23-F21)=

R02[F2sin(θ2-θ02)+F1sin(θ1-θ02)]ez

(15)

R03×(F31-F32)=

R03[F3sin(θ3-θ03)+F2sin(θ2-θ03)]ez

(16)

將雙卷筒卷取機構系統(tǒng)狀態(tài)方程[11]中關于外部纜繩對導繩套筒力矩項用式(14)、(15)和(16)中基矢量ez前面的標量式替換，并更改相應下標可得：

(17)

式中：i=1,2,3分別代表第i個收口質量塊，F(xiàn)i和θi分別為第i根纜繩的張力和方向角，特別地，當i=1時i-1用3代替,其它符號含義參考文獻[11]。

1.4 繩長約束方程

三根纜繩保持張緊狀態(tài)，不考慮纜繩的彈性，每一根纜繩的總長度是不變的，根據這一繩長約束可得下列約束方程：

(18)

2 算例分析

空間繩網捕獲系統(tǒng)的各收口質量塊一般為同一規(guī)格，可假定收口質量塊各模型參數(shù)相同，均采用文獻[11]中的參數(shù)。由于系統(tǒng)模型具有較強的非線性，狀態(tài)變量和自由度較多，相同輸入條件下各收口機構的位姿狀態(tài)變量初始狀態(tài)不確定，而且變量之間存在較強的耦合，給系統(tǒng)分析帶來了很大困難。本節(jié)選取幾種典型的情況進行對比分析，得到收口質量塊幾種工況下會遇到的問題，以及如何建立一些驅動控制準則避免這些問題的方法，同時也可進一步驗證課題組前期提出的雙卷筒加自由導繩套筒的自適應收口質量塊的有效性。

2.1 收口質量塊平動發(fā)射工況分析

多收口質量塊收口系統(tǒng)t=0的初始時刻質心位置和速度如表1所示，且各收口質量塊卷筒和導繩套筒的初始角速度都為0，收口質量塊各卷筒的初始姿態(tài)角滿足式(18)的繩長約束方程。

表1 多收口質量塊收口系統(tǒng)的初始狀態(tài)(平動發(fā)射)

三個收口質量塊的電機驅動輸入電壓相同，均以0.5V/s的斜率線性增加直到額定電壓12V后保持恒定，仿真結果如圖5所示。質量塊的質心運動軌跡圖5(a)所示，圖中標記點代表每2s時間間隔記錄的各質量塊質心位置，軌跡1、軌跡2、軌跡3分別對應質量塊1、2、3的質心運動軌跡。從圖5(b)和(c)可以看出，三根纜繩一直處于張緊狀態(tài)，在t=1.5s時電機電壓增加使電磁轉矩足夠克服摩擦力矩驅動電機旋轉卷取纜繩，在纜繩上產生了約0.055N的張力。當t=24s時，電機驅動電壓到達額定值12V無法再往上升，電機停止了加速而維持勻速旋轉，此時纜繩上張力為零，質量塊質心運動也開始以與電機卷取速度相對應的速度做勻速運動。t=25s后收口質量塊間的纜繩長度接近于0，完成了收口過程。圖5(d)代表三個收口質量塊導繩套筒與相鄰兩根纜繩的夾角變化，Δθ1i=θi-θ0i，Δθ2i=θi-1-θ0i，從圖中可以看出，質量塊導繩套筒分別與相鄰的兩根纜繩間夾角在很小的范圍內變化，絕對值沒有超過90°，纜繩不會在導繩套筒外殼纏繞。

圖5 收口質量塊平動發(fā)射仿真結果(電壓上升率0.5 V/s)Fig.5 Simulation results under translational emission (rising rate of voltage 0.5 V/s)

為加快收口速度，采用2V/s的電壓上升率，仿真結果如圖6所示，由質量塊質心運動軌跡(見圖6(a))可知質量塊質心運動加速明顯，在t=5s時，纜繩長度已減少了5m左右，在t=16s左右時，纜繩長度接近于0，完成了收口過程。在t=6s后由于收口質量塊的導繩套筒受到內部兩個卷筒的摩擦力稍有不平衡，而維持平衡的纜繩張力作用消失，故導繩套筒以很小的轉速旋轉，但隨著時間的增加，套筒與纜繩的相對角度逐漸增大，導致了纜繩在外殼上發(fā)生輕微纏繞，在收口完成前已經顯現(xiàn)了纜繩纏繞的趨勢。

不難預見，電壓上升率增加，電機的加速時間將更加縮短，纜繩張力維持時間也更短，當給系統(tǒng)施加12V階躍電壓時，三個收口質量塊加速運動過程非常短(在1s以內)，結果發(fā)生了纏繞，限于篇幅這里沒有給出仿真結果。此外，在收口質量塊質心初始位置不對稱分布時，也能有效完成收口過程。

圖6 收口質量塊平動發(fā)射仿真結果(電壓上升率2 V/s)Fig.6 Simulation results under translational emission (rising rate of voltage 2 V/s)

2.2 收口質量塊系統(tǒng)自旋發(fā)射工況分析

當t=0，質心位置和速度如表2所示，各收口質量塊卷筒和導繩套筒的初始角速度都為0，收口質量塊各卷筒的初始姿態(tài)角滿足繩長約束方程。表2狀態(tài)與表1狀態(tài)相比，表明收口質量塊質心有初始運動速度，且速度方向垂直于收口質量塊質心到整個編隊系統(tǒng)質心的矢徑，系統(tǒng)質心位置與坐標原點重合。由于沒有外力矩作用，系統(tǒng)符合動量矩守恒條件。即對三個質量塊的質心而言是旋轉的初速度，稱之為收口系統(tǒng)自旋發(fā)射。

三個收口質量塊的電機驅動輸入電壓相同，均以2V/s的斜率線性增加直到額定電壓12V后保持恒定，仿真結果如圖7所示。由圖7(a)可知,在整個收口過程中系統(tǒng)保持了等邊三角形的構形旋轉，初始時刻收口質量塊質心的運動速度是切向的，方向垂直于收口質量塊質心到原點的矢徑，但收口質量塊對纜繩的卷取作用改變了這種圓周運動趨勢，在t=0.7～6s間收口質量塊質心做變加速曲線運動，加速度方向隨質心位置變化時刻在變化，加速度大小基本不變。在t=6～12s內，電機輸入電壓保持在12V不變，纜繩張力也下降較多，收口質量塊質心運動與勻速直線運動接近。當t=12s后，隨著纜繩長度縮短，收口質量塊之間越來越靠近，編隊三角形也在旋轉，纜繩方向不斷發(fā)生改變，當收口質量塊受到纜繩拉力合力方向旋轉到與收口質量塊質心速度方向夾角足夠大時，拉力開始改變收口質量塊質心速度方向，收口質量塊運動方向的改變反過來又增加了收口質量塊質心速度和纜繩拉力合力方向的夾角。另一方面，編隊三角形的邊長減小會使收口質量塊質心曲線運動的曲率半徑變小，產生的離心力增大，從圖7(b)可以看出，纜繩的張力在t=12s后急劇增加。從圖7(c)可以看出，收口質量塊的電機轉速隨纜繩張力增大而快速降低，直到電機對卷取運動的驅動力和收口質量塊質心運動離心力達到平衡，收口質量塊電機在t=17s左右停止了旋轉，之后收口質量塊不再卷取纜繩，纜繩長度也不發(fā)生改變，整個三角形編隊繞著系統(tǒng)質心做勻速圓周運動，即產生了一個直徑2米多的小網口。若將收口質量塊繞自身軸旋轉運動當作自轉，收口質量塊軸繞編隊系統(tǒng)質心的旋轉當作公轉，從圖7(c)可知，在t=17s后自轉轉速等于公轉轉速。由動量矩守恒可知矢徑旋轉速度與其大小的平方成反比關系，而產生的離心力FCi= M0i/(mri3)，離心力與矢徑大小三次方成反比。因此，隨著收口質量塊之間距離的靠近，三角形編隊自旋的角速度迅速增大，離心力則增加得更快，導致纜繩張力急劇增大現(xiàn)象。由圖7(d)可知,在收口質量塊做曲線運動時，纜繩受離心力作用會產生持續(xù)的張力，不會在導繩套筒外纏繞。由此可見，因收口質量塊電機最大輸出力矩的限制，必須控制收口質量塊編隊自旋的初始角速度，使最后收口口徑盡量小，以防止目標物從小網口掙脫。

表2 收口質量塊編隊系統(tǒng)的初始狀態(tài)(系統(tǒng)自旋發(fā)射)

圖7 收口系統(tǒng)自旋發(fā)射仿真結果(對稱)Fig.7 Simulation results under spin emission (symmetrical)

前面對編隊系統(tǒng)的收口質量塊初始速度為零的情況，分析過輸入階躍電壓會導致纜繩張力持續(xù)時間很短容易造成纏繞。同樣，當系統(tǒng)初始狀態(tài)自旋時，輸入階躍電壓后，因系統(tǒng)有離心力的作用張緊纜繩產生張力，故此種狀態(tài)下纜繩也不容易發(fā)生纏繞，這里不再對其仿真結果進行展開。

上述初始狀態(tài)都是對稱的，當初始速度并不是嚴格地滿足勻速圓周運動初始條件時，如改變表2中vy1=0.5m/s，模擬收口質量塊1初始速度有y方向的偏差的情形(仿真結果如圖8所示)，收口系統(tǒng)也能順利地完成收口過程，纜繩也不會纏繞。

圖8 收口系統(tǒng)自旋發(fā)射仿真結果(非對稱)Fig.8 Simulation results under curvilinear motion (unsymmetrical)

3 結 論

針對空間繩網三收口質量塊在收口過程中防纏繞與可靠收口問題，本文采用牛頓-歐拉法對收口系統(tǒng)進行了動力學分析與建模，通過使用非正交變換方法，將收口質量塊質心運動加速度分解到纜繩方向，給出了質心加速度和纜繩張力關系，結合自適應雙卷筒卷取機構的纜繩卷取理論和纜繩繩長約束方程，得到了系統(tǒng)動力學方程，仿真分析表明：

1) 初始狀態(tài)決定了整個收口質量塊收口系統(tǒng)的構形，當收口質量塊質心系統(tǒng)平動和旋轉兩種情形時，當電機驅動電壓逐漸增加時，都能順利完成收口過程，收口質量塊存在自適應性能夠讓不同纜繩張力保持一致，使得纜繩拉力對收口質量塊的合力總是指向三角形編隊中心。初始狀態(tài)非對稱時，收口質量塊也能順利地完成收口過程，具有較強的容錯性和自適應性。

2)收口質量塊系統(tǒng)有自旋發(fā)射時，收口質量塊的離心力能夠使纜繩產生張力作用，離心力的大小與編隊構形半徑的三次方成反比，隨著收口質量塊相互接近時，離心力加速增大，最終會與收口質量塊驅動電機驅動力平衡，收口質量塊系統(tǒng)做勻速圓周運動。自旋發(fā)射有助于防纏繞，穩(wěn)定收口，但會出現(xiàn)一個無法收完的小網口，其大小取決自旋速度和電機最大驅動力。

本文方法可以推廣到任意數(shù)量的收口質量塊繩系編隊動力學建模，對于采用纜繩控制的繩系衛(wèi)星編隊系統(tǒng)飛行建模也有參考意義。

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通信地址：浙江省杭州市浙大路38號教二樓319室(310027)

電話：15168205572

E-mail:gjf@zju.edu.cn

王 班(1988-)，男，博士后，講師，主要從事空間機器人及空間結構設計等研究。本文通信作者。

通信地址：浙江省杭州市浙大路38號教二樓114室(310027)

E-mail:bigban@zju.edu.cn

Dynamic Analysis of Take-Up Process for Space Tethered-Net

GUO Ji-feng1, YI Lin1, WANG Ban1,2, ZHOU Wei-hua1

(1. College of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China; 2.School of Mechanical Engineering, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310018, China)

Dynamics of the take-up process is analyzed in the application of take-up system into space tethered-net capture. Dynamic model of the coupling between the motion of the mass center of mass blocks and the coiling motion of tether for a take-up system with three mass blocks is developed with the help of non-orthogonal transformation, considering the differential equations of the mass block and the constraint of tether length. Motion characteristics of several typical take-up processes, such as translational emission of the mass blocks and spin emission of the system, are simulated and some drive strategies for the take-up process are thus proposed and validated. It is shown that this kind of adaptive take-up mass blocks is strongly self-adaptive and fault tolerant and thus appropriate for space tethered-net capture system. Besides, above analysis is also applicable to the tether-controlled space tethered satellite formation system.

Space tethered-net; Take-up mass block; Take-up process; Dynamics; Self-adaptive

2017-03-27;

2017-05-11

國家自然科學基金(51475411)；浙江省自然科學基金(LQ17E050011)

V526

A

1000-1328(2017)07-0669-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.07.000

郭吉豐(1964-)，男，博士，教授，博士生導師,主要從事機器人及壓電驅動技術等研究。