焦尚彬 孫迪 劉丁 謝國(guó) 吳亞麗 張青

1)(西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

2)(陜西省復(fù)雜系統(tǒng)控制與智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710048)

α穩(wěn)定噪聲下一類周期勢(shì)系統(tǒng)的振動(dòng)共振?

焦尚彬1)2)?孫迪2)劉丁1)謝國(guó)1)吳亞麗1)張青1)

1)(西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

2)(陜西省復(fù)雜系統(tǒng)控制與智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710048)

(2017年1月14日收到;2017年3月18日收到修改稿)

將多個(gè)低頻微弱信號(hào)、高頻信號(hào)和加性α穩(wěn)定噪聲共同激勵(lì)的一類周期勢(shì)系統(tǒng)作為研究模型,以平均信噪比增益(MSNRI)為性能指標(biāo),對(duì)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下周期勢(shì)系統(tǒng)中的振動(dòng)共振現(xiàn)象進(jìn)行了研究,分別探究了α穩(wěn)定噪聲的特征參數(shù)α、對(duì)稱參數(shù)β、加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D、高頻信號(hào)幅值B以及頻率?對(duì)振動(dòng)共振輸出效應(yīng)的影響.研究結(jié)果表明∶1)在不同分布的α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下,固定頻率?(或幅值B),當(dāng)幅值B(或頻率?)逐漸增大時(shí),MSNRI-B(或MSNRI-?)曲線出現(xiàn)多個(gè)峰值,即存在多個(gè)B區(qū)間(或? 區(qū)間)可誘導(dǎo)振動(dòng)共振,并且這些區(qū)間不會(huì)隨噪聲分布參數(shù)α或β的變化而變化;2)當(dāng)加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D發(fā)生變化時(shí),幅值B和頻率?的共振區(qū)間沒(méi)有隨著D的變化而變化,表明只有高頻信號(hào)能量向待測(cè)低頻信號(hào)轉(zhuǎn)移,噪聲能量并沒(méi)有向待測(cè)低頻信號(hào)轉(zhuǎn)移.另外當(dāng)幅值B、頻率?固定時(shí),隨著D的逐漸增大,依然可以實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)的檢測(cè),表明振動(dòng)共振可以克服工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)噪聲強(qiáng)度不可調(diào)控的缺點(diǎn).本文研究結(jié)果提供了一種新的微弱信號(hào)檢測(cè)方法,在信號(hào)處理領(lǐng)域有著潛在的應(yīng)用價(jià)值.

∶振動(dòng)共振,周期勢(shì)系統(tǒng),多頻微弱信號(hào)檢測(cè),平均信噪比增益

PACS∶05.45.—a,05.90.+m,05.40.—a,02.60.cbDOI∶10.7498/aps.66.100501

1 引 言

近十幾年來(lái),非線性系統(tǒng)中一種與隨機(jī)共振[1]相關(guān)的現(xiàn)象——振動(dòng)共振引起了人們的廣泛關(guān)注.它是指非線性系統(tǒng)在高頻信號(hào)與低頻信號(hào)的激勵(lì)下,其響應(yīng)在低頻信號(hào)頻率處的幅值隨著加入的高頻信號(hào)幅值或者頻率的變化呈現(xiàn)非線性關(guān)系,這是一種利用外加高頻信號(hào)的能量來(lái)增強(qiáng)低頻有用信號(hào)能量的新型非線性信號(hào)處理方法.與隨機(jī)共振方法相比,振動(dòng)共振具有快速、實(shí)時(shí)處理信號(hào)的能力,能夠克服隨機(jī)共振中噪聲強(qiáng)度不可任意控制的缺點(diǎn),并且基于振動(dòng)共振原理的信號(hào)傳播效率要高于基于隨機(jī)共振原理的信號(hào)傳播效率[2,3].

振動(dòng)共振最早是由Landa和McClintock[4]提出的,他們?cè)谘芯侩S機(jī)共振時(shí),將噪聲替換為高頻率的簡(jiǎn)諧信號(hào),進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了另一種奇特的非線性動(dòng)力學(xué)特性,即振動(dòng)共振.此后,許多學(xué)者給出了振動(dòng)共振相關(guān)原理的證明,并不斷提出新的振動(dòng)共振理論,同時(shí)也針對(duì)這些理論方法展開(kāi)了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究[2,5?8],并將其應(yīng)用到涉及微弱信號(hào)處理的諸多領(lǐng)域中.微弱信號(hào)和高頻信號(hào)共同作用的一維Langevin方程模型是最經(jīng)典的振動(dòng)共振模型,而近十幾年的研究中,人們不斷提出新的振動(dòng)共振模型,如雙穩(wěn)系統(tǒng)[4,5,9]、時(shí)滯系統(tǒng)[10?12]、Duffing系統(tǒng)[11,13]、神經(jīng)動(dòng)力系統(tǒng)[14?16]、五次方振子系統(tǒng)[17?20]等,并研究了雙穩(wěn)系統(tǒng)中發(fā)生在高階頻率處的振動(dòng)共振現(xiàn)象[2,21,22].這些模型的提出極大地豐富了振動(dòng)共振理論,擴(kuò)展了振動(dòng)共振的應(yīng)用范圍.隨后,許多學(xué)者針對(duì)工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)中無(wú)法獲知背景噪聲的有用信息以及噪聲強(qiáng)度不可控等特征,在這些振動(dòng)共振模型上展開(kāi)了大量研究.如Zaikin等[23]研究了一個(gè)受到兩種高低頻周期信號(hào)驅(qū)動(dòng)并耦合噪聲的空間擴(kuò)展系統(tǒng)的振動(dòng)共振現(xiàn)象,表明當(dāng)高頻信號(hào)幅值取得某一最佳值時(shí),系統(tǒng)對(duì)低頻信號(hào)的響應(yīng)達(dá)到最佳,一方面是由于在共振輸出中噪聲作用使得雙穩(wěn)系統(tǒng)的相位發(fā)生變化,另一方面是由于在高頻信號(hào)驅(qū)動(dòng)作用下振動(dòng)共振增強(qiáng)了系統(tǒng)對(duì)低頻信號(hào)的響應(yīng)特性.Casado-Pascual和Baltanas[24]研究了粒子在受到雙色力和附加噪聲激勵(lì)的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的振動(dòng)共振現(xiàn)象,并在適當(dāng)條件下給出了量化這一現(xiàn)象的表達(dá)式.Chizhevsky和Giacomelli[25]解析和數(shù)值分析了具有一定噪聲等級(jí)的非周期二進(jìn)制信號(hào)的振動(dòng)共振現(xiàn)象,表明在隨機(jī)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中,振動(dòng)共振是一種提高檢測(cè)和恢復(fù)非周期二進(jìn)制信號(hào)的有效方法.上述文獻(xiàn)中研究的基于雙穩(wěn)或者單穩(wěn)系統(tǒng)的振動(dòng)共振微弱信號(hào)檢測(cè)方法,雖然能使信號(hào)得到顯著增強(qiáng),但當(dāng)輸入信噪比較低時(shí),其檢測(cè)能力會(huì)受到很大限制.

近幾年來(lái),多穩(wěn)系統(tǒng)的研究逐漸興起,人們提出不同的多穩(wěn)振動(dòng)共振模型.如Yang和Liu[26]研究了具有時(shí)滯的二維系統(tǒng)中的振動(dòng)共振現(xiàn)象,通過(guò)調(diào)節(jié)時(shí)滯參數(shù)來(lái)控制振動(dòng)共振的發(fā)生,另外還研究了二維系統(tǒng)中的多重振動(dòng)現(xiàn)象及其產(chǎn)生機(jī)理;Jeyakumari等[18]研究了三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的振動(dòng)共振現(xiàn)象,討論了三個(gè)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)勢(shì)阱個(gè)數(shù)和振動(dòng)共振檢測(cè)效果的影響;楊建華[3]提出了一種不同于三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的新型振動(dòng)共振模型,即一維多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),并在欠阻尼和過(guò)阻尼情形下研究了受雙頻信號(hào)激勵(lì)的一維多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)了一種新型的多重振動(dòng)共振現(xiàn)象.但是,這些研究成果基本上都是沒(méi)有考慮噪聲或是在高斯噪聲的條件下取得的,由于高斯分布所描述的只是正常擴(kuò)散,即只能模擬在均值小范圍內(nèi)的起伏,而在實(shí)際應(yīng)用中遇到得很多隨機(jī)信號(hào)都具有顯著的脈沖特性和拖尾特性,這時(shí)就需要一種更加廣義的高斯分布即α穩(wěn)定分布來(lái)描述這些信號(hào).α穩(wěn)定分布是一種能夠保持自然噪聲過(guò)程的產(chǎn)生機(jī)制和傳播條件的極限分布,高斯分布只是它的一個(gè)特例[27].到目前為止,α穩(wěn)定噪聲下周期勢(shì)系統(tǒng)的振動(dòng)共振現(xiàn)象尚未見(jiàn)相關(guān)報(bào)道.本文以文獻(xiàn)[3]中的模型為基礎(chǔ),引入具有代表性的α穩(wěn)定噪聲,對(duì)α穩(wěn)定噪聲背景下周期勢(shì)系統(tǒng)中多個(gè)低頻微弱信號(hào)的振動(dòng)共振現(xiàn)象進(jìn)行研究,并針對(duì)不同α穩(wěn)定噪聲分布參數(shù)以及不同噪聲放大系數(shù),探討外加高頻信號(hào)參數(shù)對(duì)平均信噪比增益的作用規(guī)律,以進(jìn)一步提高基于振動(dòng)共振的微弱信號(hào)檢測(cè)能力.

2 模型與方法

2.1 周期勢(shì)系統(tǒng)模型

本文研究了一類周期勢(shì)系統(tǒng),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下∶

(1a)式中,V(x)為周期勢(shì)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù),V(x)=?cos(x).根據(jù)勢(shì)函數(shù)的特點(diǎn)我們可以看出,在不考慮外激時(shí),系統(tǒng)有多個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)x?=±2nπ,n為任意的整數(shù),(1a)式不僅可以描述粒子在一維多勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng),而且還可以作為物理擺、約瑟夫森結(jié)、鎖相循環(huán)振子等不同的物理模型.s(t)是待測(cè)信號(hào),k表示待測(cè)信號(hào)的數(shù)量,wi表示不同待測(cè)信號(hào)頻率.B cos(2π?t)是外加高頻信號(hào),并假設(shè)? ?wi.ηα(t)為加性α穩(wěn)定噪聲,是一個(gè)非高斯信號(hào),具有顯著的尖峰脈沖特性,其概率密度函數(shù)的衰減過(guò)程比高斯分布要慢,表現(xiàn)出顯著的拖尾.基于廣義中心極限定理的α穩(wěn)定分布描述了信號(hào)統(tǒng)計(jì)分布的非高斯性和重拖尾性,文獻(xiàn)[28—30]中對(duì)α穩(wěn)定分布和α穩(wěn)定噪聲產(chǎn)生方法已有解釋,本文不再贅述.由α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)可知,α穩(wěn)定噪聲的分布特征是由特征指數(shù)α∈(0,2]、對(duì)稱參數(shù)β∈[?1,1]、尺度參數(shù)σ∈[0,+∞)及位置參數(shù)μ∈(?∞,+∞)四個(gè)參數(shù)來(lái)決定的,通常記α穩(wěn)定分布為Sα(σ,β,μ).D為加性α穩(wěn)定噪聲的強(qiáng)度放大系數(shù),通過(guò)改變D可以間接地影響α穩(wěn)定噪聲的尺度參數(shù)σ,從而改變加性α穩(wěn)定噪聲的強(qiáng)度[31?33].

將(2)式代入(1a)式,對(duì)式中的各項(xiàng)在TH的較短時(shí)間內(nèi)求平均,假設(shè)X(t)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性不受短時(shí)求均值的影響,則有

其中U(x)=?J0(B/?)cos(x),表示有效勢(shì)函數(shù),J0(?)是零階的第一類貝塞爾函數(shù)[3].為了探究系統(tǒng)響應(yīng)中所含有的低頻成分,將等式Y(jié)=X?x?代入(3)式并在穩(wěn)定平衡點(diǎn)x?=±2nπ的鄰域內(nèi)將其進(jìn)行線性化處理,得到相應(yīng)的線性方程如下∶

由(4)式可以看出,隨著高頻信號(hào)參數(shù)的變化,多穩(wěn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性將隨之改變,必將影響系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動(dòng)共振效應(yīng).

取Ai=0,D=0時(shí),可得高頻信號(hào)幅值B、頻率?與多穩(wěn)系統(tǒng)的有效勢(shì)函數(shù)U(x)的曲線如圖1和圖2所示.

圖1 高頻信號(hào)幅值B對(duì)有效勢(shì)函數(shù)U(x)的影響(?=6)Fig.1.Potential U(x)for different B with ?=6.

由圖1和圖2可以看出,系統(tǒng)具有多個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)x?=±2nπ和多個(gè)勢(shì)阱,形成周期勢(shì)系統(tǒng).在圖1中,固定?=6,B分別取1,6,11時(shí),得到系統(tǒng)的有效勢(shì)函數(shù)曲線.從曲線可以看出,隨著B(niǎo)的變化,系統(tǒng)的勢(shì)壘高度也在變化,B越小,系統(tǒng)的勢(shì)壘越高,粒子越不易發(fā)生躍遷.因此,在檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí),可以適當(dāng)?shù)卦龃蟾哳l信號(hào)幅值B,使粒子在勢(shì)阱間躍遷,將高頻信號(hào)能量向待測(cè)信號(hào)轉(zhuǎn)移,增強(qiáng)待測(cè)信號(hào)能量,產(chǎn)生振動(dòng)共振現(xiàn)象.在圖2中,固定B=5,觀察高頻信號(hào)頻率?對(duì)有效勢(shì)函數(shù)的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)?越小時(shí),系統(tǒng)的勢(shì)壘高度越小,粒子越容易發(fā)生躍遷,發(fā)生振動(dòng)共振.同時(shí),從圖1和圖2中均可發(fā)現(xiàn),高頻信號(hào)參數(shù)B,?的變化不會(huì)影響系統(tǒng)的勢(shì)阱個(gè)數(shù),也就是說(shuō),無(wú)論B,?如何變化,本文所研究的非線性系統(tǒng)均為周期勢(shì)系統(tǒng).因此,可以通過(guò)調(diào)節(jié)高頻信號(hào)參數(shù)B和?,改變系統(tǒng)的勢(shì)壘高度,影響粒子的躍遷,進(jìn)而觀察系統(tǒng)是否發(fā)生振動(dòng)共振現(xiàn)象.

圖2 高頻信號(hào)頻率?對(duì)有效勢(shì)函數(shù)U(x)的影響(B=5)Fig.2.Potential U(x)for different ? with B=5.

本文采用數(shù)值仿真的方法研究周期勢(shì)系統(tǒng)中多個(gè)低頻微弱信號(hào)的振動(dòng)共振現(xiàn)象,即對(duì)(4)式利用四階龍格-庫(kù)塔(Runge-Kutta)算法進(jìn)行求解[28,34].具體解法如下∶

(5)式中,a=?J0(B/?);y(n)為系統(tǒng)輸出第n次采樣值;s(n)為輸入信號(hào)第n次采樣值;h為采樣步長(zhǎng),其取值實(shí)際上為采樣間隔.

由于α穩(wěn)定分布的特征指數(shù)α越小,α穩(wěn)定分布的脈沖性就越強(qiáng),這就導(dǎo)致粒子長(zhǎng)時(shí)間跳躍過(guò)程中路徑變化很快以至無(wú)限大,因此,在數(shù)值模擬中需要對(duì)輸出信號(hào)y(t)進(jìn)行人為的截?cái)郲33,35],來(lái)解決粒子跳躍軌跡無(wú)限大的問(wèn)題,文中所采取的截?cái)啻胧椤卯?dāng)|y(t)|＞3時(shí),令y(t)=sign(y(t))×3.

2.2 振動(dòng)共振性能指標(biāo)

振動(dòng)共振需要選擇合適的指標(biāo)來(lái)定量描述系統(tǒng)輸出共振效應(yīng).由于信噪比增益描述了輸出信號(hào)相對(duì)于輸入有用信號(hào)品質(zhì)的改善程度[36],因此本文采用信噪比增益這個(gè)特征量來(lái)反映振動(dòng)共振的檢測(cè)能力.假設(shè)輸入信號(hào)為(1b)式所示多頻信號(hào),第i個(gè)信號(hào)的信噪比增益記為SNRIi,則其定義為

式中,SP(ωi)in和SP(ωi)out分別表示振動(dòng)共振前后第i個(gè)信號(hào)的功率,NP(ωi)in和NP(ωi)out分別表示在第i個(gè)輸入信號(hào)頻率處系統(tǒng)的輸入輸出平均噪聲功率.

而對(duì)于多頻疊加信號(hào),為了衡量周期勢(shì)系統(tǒng)對(duì)多個(gè)頻率信號(hào)的整體檢測(cè)效果,文中采用平均信噪比增益對(duì)振動(dòng)共振系統(tǒng)的輸出效應(yīng)進(jìn)行衡量,平均信噪比增益用MSNRI表示,表達(dá)為

其中SNRIi為第i路信號(hào)的信噪比增益,其余參數(shù)含義不變.

3 α穩(wěn)定噪聲下周期勢(shì)系統(tǒng)中的振動(dòng)共振現(xiàn)象

圖3(a)為待測(cè)信號(hào)和加性α穩(wěn)定噪聲的時(shí)域圖,相當(dāng)于在實(shí)際中采集到的含噪信號(hào),從圖中可以看出,信號(hào)完全被噪聲淹沒(méi).圖3(b)為對(duì)該含噪信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)得到的功率譜圖,同樣也無(wú)法觀察到待測(cè)信號(hào)的信息.為了快速實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)的檢測(cè),根據(jù)振動(dòng)共振原理,向含噪信號(hào)中外加一個(gè)高頻信號(hào),圖3(c)為待測(cè)信號(hào)、α穩(wěn)定噪聲和外加高頻信號(hào)的混合信號(hào)的時(shí)域圖,由圖中可以看出,待測(cè)信號(hào)完全被外加高頻信號(hào)和噪聲信號(hào)淹沒(méi),無(wú)法從時(shí)域圖中看到待測(cè)信號(hào)的時(shí)域信息.圖3(d)為相應(yīng)的功率譜圖(經(jīng)FFT變換),從該圖中也無(wú)法得到待測(cè)信號(hào)的頻率信息.然后將該混合信號(hào)作為周期勢(shì)系統(tǒng)的輸入信號(hào),并調(diào)節(jié)高頻信號(hào)參數(shù)B,?,當(dāng)B=29,?=5.6時(shí),周期勢(shì)系統(tǒng)輸出時(shí)域信息如圖3(e)所示,由于α穩(wěn)定分布具有顯著的尖峰脈沖特性,導(dǎo)致粒子長(zhǎng)時(shí)間跳躍過(guò)程中路徑變化很快以至無(wú)限大,所以在系統(tǒng)輸出時(shí)域圖中無(wú)法看到待測(cè)信號(hào)的時(shí)域信息.為了得到待測(cè)信號(hào)的頻率,對(duì)系統(tǒng)輸出信號(hào)進(jìn)行FFT變換,系統(tǒng)輸出頻域圖如圖3(f)所示,圖中可以清晰地觀察到在頻率0.03,0.05,0.08處出現(xiàn)了三個(gè)尖峰,這三個(gè)尖峰所對(duì)應(yīng)的頻率恰好是三個(gè)待測(cè)信號(hào)的頻率,并且待測(cè)信號(hào)的幅值均被放大.這是由于高頻信號(hào)參數(shù)的改變導(dǎo)致勢(shì)壘高度改變,粒子有足夠的能量越過(guò)勢(shì)壘,故出現(xiàn)了周期信號(hào)占主導(dǎo)的阱間躍遷.說(shuō)明在此參數(shù)下,輸入信號(hào)、高頻信號(hào)和周期勢(shì)系統(tǒng)三者達(dá)到最佳匹配關(guān)系,發(fā)生振動(dòng)共振,并且待測(cè)信號(hào)的幅值均被加強(qiáng),即存在著高頻信號(hào)能量向低頻信號(hào)能量轉(zhuǎn)移的機(jī)制.

為了進(jìn)一步明確高頻信號(hào)參數(shù)B,?,加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D以及α穩(wěn)定噪聲分布參數(shù)α,β對(duì)周期勢(shì)系統(tǒng)共振輸出效應(yīng)的影響,下面主要對(duì)不同的α穩(wěn)定噪聲分布,即參數(shù)α(特征指數(shù)0＜α≤2),β(對(duì)稱參數(shù)?1≤β≤1)不同以及D不同時(shí),高頻信號(hào)參數(shù)B,?與周期勢(shì)系統(tǒng)共振輸出效應(yīng)的作用規(guī)律展開(kāi)仿真研究.

3.1 不同特征指數(shù)α下的周期勢(shì)系統(tǒng)中的振動(dòng)共振現(xiàn)象

待測(cè)信號(hào)和采樣信號(hào)頻率不變,令特征指數(shù)α分別為0.5,0.8,1,1.2,1.5,其余分布參數(shù)為β=0,σ=1,μ=0,根據(jù)上述仿真得到的參數(shù),固定?=5.6,仿真得到MSNRI隨高頻信號(hào)幅值B的變化規(guī)律曲線如圖4所示.

圖3 多個(gè)低頻微弱信號(hào)的檢測(cè)結(jié)果 (a)系統(tǒng)輸入信號(hào)時(shí)域圖;(b)系統(tǒng)輸入信號(hào)功率譜圖;(c)系統(tǒng)輸入疊加信號(hào)時(shí)域圖;(d)系統(tǒng)輸入疊加信號(hào)功率譜圖;(e)系統(tǒng)輸出時(shí)域圖;(f)系統(tǒng)輸出功率譜圖Fig.3.Detection results of multi-low frequency weak signals:(a)The time domain of input;(b)the power spectrum of input;(c)the time domain of measured signals;(d)the power spectrum of measured signals;(e)the time domain of output;(f)the power spectrum of output.

同理,固定B=29,仿真得到MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的演變規(guī)律曲線如圖5所示.為了更加清楚地觀察曲線的變化趨勢(shì),對(duì)圖5進(jìn)行了局部放大,如圖6所示.

圖4為不同α下MSNRI隨高頻信號(hào)幅值B的變化的整體圖,圖5是不同α下MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化的整體圖,圖6是圖5的局部放大圖.圖4表明,對(duì)同一頻率?,隨著高頻信號(hào)幅值B的增大,曲線出現(xiàn)多個(gè)峰值,且峰值對(duì)應(yīng)的平均信噪比增益MSNRI相同,系統(tǒng)產(chǎn)生多重振動(dòng)共振現(xiàn)象,并且這種共振現(xiàn)象具有明顯的規(guī)律性,即具有某種周期性,表現(xiàn)為多個(gè)共振區(qū)域的出現(xiàn),且共振區(qū)域的個(gè)數(shù)隨著B(niǎo)的增大而增加,導(dǎo)致了一系列振動(dòng)共振的發(fā)生,這是由零階貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)所決定的.由圖6(a)和圖6(b)中也可以看出,對(duì)同一幅值B,隨著高頻信號(hào)頻率?的增大,曲線也會(huì)出現(xiàn)多個(gè)峰值,發(fā)生多重振動(dòng)共振.但不同的是,這種多重振動(dòng)共振現(xiàn)象沒(méi)有規(guī)律性,共振區(qū)間也沒(méi)有隨著?的增大而增加,而是在?達(dá)到一定值時(shí),振動(dòng)共振消失,說(shuō)明當(dāng)B固定時(shí),只有當(dāng)頻率?處于一定區(qū)間范圍時(shí),輸入信號(hào)、高頻信號(hào)和周期勢(shì)系統(tǒng)達(dá)到最佳匹配,才可以發(fā)生振動(dòng)共振,并不是高頻信號(hào)頻率越大,檢測(cè)效果越好.另外,由圖6(a)中可以看到,曲線并非是從零點(diǎn)開(kāi)始,這是由于在四階龍格-庫(kù)塔算法計(jì)算中,a=?J0(B/?),根據(jù)數(shù)學(xué)計(jì)算原理,?不能取0.

對(duì)于一個(gè)確定的高頻信號(hào)幅值B(或頻率?),同時(shí)存在多個(gè)共振效應(yīng)較好的高頻信號(hào)頻率?(或幅值B)區(qū)間與之對(duì)應(yīng).再進(jìn)一步觀察,發(fā)現(xiàn)共振效應(yīng)較好的高頻信號(hào)參數(shù)B,?區(qū)間不隨特征指數(shù)α的變化而變化;對(duì)于同一個(gè)共振效應(yīng)較好的高頻信號(hào)參數(shù)B(或?)區(qū)間,α=0.5時(shí)系統(tǒng)的平均信噪比增益最大,即振動(dòng)共振輸出效應(yīng)最好.

圖4 不同α下MSNRI隨高頻信號(hào)幅值B的變化Fig.4.MSNRI versus B with different α.

圖5 不同α下MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化Fig.5.MSNRI versus ? with different α.

圖6 不同α作用下MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?變化的局部放大Fig.6.Partially enlarged of MSNRI versus ? with different α.

3.2 不同對(duì)稱參數(shù)β下的周期勢(shì)系統(tǒng)中的振動(dòng)共振現(xiàn)象

與3.1節(jié)相同,令待測(cè)信號(hào)和采樣信號(hào)頻率不變,對(duì)稱參數(shù)β分別為?1,0和1,其余α=1.2,β=0,σ=1,μ=0,根據(jù)上述仿真得到的參數(shù),固定?=5.6,仿真得到MSNRI隨高頻信號(hào)幅值B的變化規(guī)律曲線如圖7所示;固定B=29,仿真得到MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化規(guī)律曲線如圖8所示,局部放大如圖9所示.

與不同α作用下平均信噪比增益隨高頻信號(hào)參數(shù)的變化規(guī)律一樣,不同β作用下平均信噪比增益隨高頻信號(hào)幅值B和頻率?的變化也呈現(xiàn)多個(gè)峰值,出現(xiàn)多個(gè)共振區(qū)間,產(chǎn)生多重振動(dòng)共振現(xiàn)象,并且共振效應(yīng)較好的高頻信號(hào)參數(shù)B,?區(qū)間不隨特征指數(shù)β的變化而變化;進(jìn)一步觀察到,對(duì)于同一個(gè)共振效應(yīng)較好的高頻信號(hào)參數(shù)B(或?)區(qū)間,β=0時(shí)系統(tǒng)的平均信噪比增益遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于β0時(shí)的平均信噪比增益,即β=0時(shí)振動(dòng)共振輸出效應(yīng)最好.由此表明α穩(wěn)定噪聲呈現(xiàn)對(duì)稱分布時(shí)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)要好于非對(duì)稱分布時(shí)的情形.

圖7 不同β下MSNRI隨高頻信號(hào)幅值B的變化Fig.7.MSNRI versus B with different β.

圖8 不同β下MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化Fig.8.MSNRI versus ? with different β.

圖9 不同β作用下MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化的局部放大Fig.9.Partially enlarged of MSNRI versus ? with different β.

3.3 不同加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D下的周期勢(shì)系統(tǒng)中的振動(dòng)共振現(xiàn)象

待測(cè)信號(hào)、采樣頻率與3.1節(jié)中參數(shù)相同,α穩(wěn)定噪聲分布特征參數(shù)分別為α=0.5,β=0,σ=1,μ=0,加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D分別為0.8,1.5,2,5,10,固定?=5.6,進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),得到MSNRI隨高頻信號(hào)幅值B的變化規(guī)律曲線如圖10所示;同理,固定B=29,仿真得到MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化規(guī)律曲線如圖11所示,局部放大如圖12所示.

圖10為不同D作用下MSNRI隨高頻信號(hào)幅值B的變化曲線的整體圖.從圖10中觀察到,隨著高頻信號(hào)幅值B的逐漸增大,曲線有多個(gè)峰值,出現(xiàn)多個(gè)共振區(qū)間,并且共振區(qū)間不隨著加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D的變化而變化,由此可以看出在這種情況下,只有高頻信號(hào)能量向待測(cè)信號(hào)轉(zhuǎn)移,噪聲能量并沒(méi)有向有用信號(hào)轉(zhuǎn)移;縱向觀察曲線圖,隨著D的逐漸增大,系統(tǒng)的平均信噪比增益逐漸減小,直至消失,說(shuō)明當(dāng)D到達(dá)一定值時(shí),振動(dòng)共振效應(yīng)消失;圖12為不同D作用下MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化曲線的局部放大圖,由圖12(a)和圖12(b)也可以得到與幅值B類似的結(jié)論∶當(dāng)幅值B固定時(shí),系統(tǒng)的共振區(qū)間不隨加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D的變化而變化,并且當(dāng)頻率?逐漸增大,平均信噪比增益曲線會(huì)出現(xiàn)多個(gè)峰值,產(chǎn)生多次振動(dòng)共振,同樣地,系統(tǒng)的平均信噪比增益隨著D的增大而逐漸減小,直到消失.綜合可以得到,當(dāng)高頻信號(hào)幅值B和頻率?一定時(shí),且噪聲強(qiáng)度在一定范圍內(nèi)變化,雖然系統(tǒng)平均信噪比增益降低,振動(dòng)共振檢測(cè)效果被削弱,但周期勢(shì)系統(tǒng)仍舊可以發(fā)生振動(dòng)共振,從而克服了隨機(jī)共振中噪聲強(qiáng)度不可任意控制的缺點(diǎn).

圖10 不同D作用下MSNRI隨高頻信號(hào)幅值B的變化Fig.10.MSNRI versus B with different D.

圖11 不同D作用下MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化Fig.11.MSNRI versus ? with different D.

圖12 不同D作用下MSNRI隨高頻信號(hào)頻率?的變化的局部放大Fig.12.Partially enlarged of MSNRI versus ? with different D.

其他參數(shù)不變,加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D=1.5時(shí),仿真結(jié)果如圖14所示.

在圖13和圖14中,(a)為待測(cè)信號(hào),α穩(wěn)定噪聲和高頻信號(hào)三者疊加信號(hào)的時(shí)域圖;(b)是該疊加信號(hào)的頻譜圖,在時(shí)域圖和頻譜圖均無(wú)法觀察到輸入信號(hào)的有用信息,有用信息完全被高頻信號(hào)和α穩(wěn)定噪聲淹沒(méi);(c)為系統(tǒng)輸出頻域圖.對(duì)比圖3(f)、圖13(c)和圖14(c)可以看出,三幅圖都在頻率0.03,0.05,0.08處出現(xiàn)了三個(gè)尖峰,這三個(gè)尖峰所對(duì)應(yīng)的頻率恰好是三個(gè)待測(cè)信號(hào)的頻率,并且輸入信號(hào)的幅值均被放大.不同的是,當(dāng)加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D增大時(shí),共振效應(yīng)減弱,輸入信號(hào)幅值被放大的程度降低,但仍舊可以實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)的檢測(cè),正好驗(yàn)證了上面得到的結(jié)論.

圖13 多個(gè)低頻微弱信號(hào)的檢測(cè)結(jié)果 (a)系統(tǒng)輸入疊加信號(hào)時(shí)域圖;(b)系統(tǒng)輸入疊加信號(hào)功率譜圖;(c)系統(tǒng)輸出功率譜圖Fig.13.Detection results of multi-low frequency weak signals:(a)The time domain of measured signals;(b)the power spectrum of measured signals;(c)the power spectrum of output.

圖14 多個(gè)低頻微弱信號(hào)的檢測(cè)結(jié)果 (a)系統(tǒng)輸入疊加信號(hào)時(shí)域圖;(b)系統(tǒng)輸入疊加信號(hào)功率譜圖;(c)系統(tǒng)輸出功率譜圖Fig.14.Detection results of multi-low frequency weak signals:(a)The time domain of measured signals;(b)the power spectrum of measured signals;(c)the power spectrum of output.

4 結(jié) 論

本文主要研究了α穩(wěn)定噪聲下周期勢(shì)系統(tǒng)中的多重振動(dòng)共振現(xiàn)象,并將其用于多頻微弱信號(hào)的檢測(cè).分別探究了不同特征參數(shù)α和對(duì)稱參數(shù)β下高頻信號(hào)幅值B和頻率?對(duì)周期勢(shì)系統(tǒng)共振輸出效應(yīng)的影響,并針對(duì)噪聲誘導(dǎo)隨機(jī)共振的局限性,探討了當(dāng)加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D不同時(shí),高頻信號(hào)參數(shù)B,?對(duì)振動(dòng)共振輸出效應(yīng)的影響.得到如下結(jié)論∶1)對(duì)于一個(gè)確定的頻率?,當(dāng)幅值B逐漸增大時(shí),MSNRI-B曲線出現(xiàn)多個(gè)峰值,即相應(yīng)的有多個(gè)幅值B區(qū)間可以誘導(dǎo)振動(dòng)共振,并且每個(gè)峰值所對(duì)應(yīng)的平均信噪比增益相等,產(chǎn)生多重振動(dòng)共振現(xiàn)象,這種現(xiàn)象具有一定的周期性,隨著B(niǎo)的增大而增加,另外這些幅值B區(qū)間不隨噪聲分布參數(shù)α或β的變化而變化;類似地,對(duì)于一個(gè)確定的幅值B,隨著頻率?的增大,MSNRI-?曲線也會(huì)出現(xiàn)多個(gè)峰值,產(chǎn)生多個(gè)共振區(qū)間,發(fā)生多重振動(dòng)共振,并且這些頻率?區(qū)間不隨噪聲分布參數(shù)α或β的變化而變化,惟一不同的是當(dāng)頻率?增加到一定程度時(shí),共振消失,這種共振沒(méi)有規(guī)律性;2)當(dāng)特征指數(shù)α不同時(shí),對(duì)于幅值B和頻率?的共振區(qū)間,當(dāng)α=0.5時(shí)平均信噪比增益最大,共振效應(yīng)最好;當(dāng)對(duì)稱參數(shù)β不同時(shí),對(duì)于幅值B和頻率?的共振區(qū)間,β=0時(shí)系統(tǒng)的平均信噪比增益遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于β0時(shí)的平均信噪比增益,即α穩(wěn)定噪聲呈現(xiàn)對(duì)稱分布時(shí)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)要好于非對(duì)稱分布時(shí)的情形;3)幅值B和頻率?的共振區(qū)間沒(méi)有隨著加性噪聲強(qiáng)度放大系數(shù)D的變化而變化,表明只有高頻信號(hào)能量向待測(cè)信號(hào)轉(zhuǎn)移,噪聲能量并沒(méi)有向待測(cè)信號(hào)轉(zhuǎn)移,另外當(dāng)幅值B、頻率?固定時(shí),隨著D的逐漸增大,依然可以實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)檢測(cè),從而克服了工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)中噪聲強(qiáng)度不可任意控制的缺點(diǎn).上述研究結(jié)論提供了一種新的微弱信號(hào)檢測(cè)方法,在信號(hào)處理領(lǐng)域有著潛在的應(yīng)用價(jià)值.

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PACS∶05.45.—a,05.90.+m,05.40.—a,02.60.cbDOI∶10.7498/aps.66.100501

*Project supported by the Key Program of National Natural Science Foundation of China(Grant No.61533014)and the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.U1534208,61503299).

?Corresponding author.E-mail:jsbzq@163.com

Vibrational resonance in a periodic potential system with α stable noise?

Jiao Shang-Bin1)2)?Sun Di2)Liu Ding1)Xie Guo1)Wu Ya-Li1)Zhang Qing1)
1)(Faculty of Automation and Information Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China)
2)(Shaanxi Key Laboratory of Complex System Control and Intelligent Information Processing,Xi’an 710048,China)

14 January 2017;revised manuscript

18 March 2017)

A periodic potential system excited by multi-low frequency weak signals,the high frequency signal and additive α stable noise is constructed.Based on this model,the vibrational resonance phenomenon under α stable noise is investigated by taking the mean signal-noise-ratio gain(MSNRI)of output as a performance index.Then the influences of stability index α(0 ＜ α ≤ 2),the skewness parameter β (?1≤ β ≤ 1)of α stable noise,the amplification factor D and the high frequency signal amplitude B,and frequency ? on the resonant output effect are explored.The results show that under the different distributions of α stable noise,the multi-low frequency weak signals detection can be realized by adjusting the high frequency signal parameter B or ? to induce vibrational resonance within a certain range.When α(or β)is given different values,the curve of MSNRI-B has multiple peaks with the increase of B for a certain frequency?,and the values of MSNRI corresponding to peaks of the curve of MSNRI-B are equal.So the intervals of B which can induce vibrational resonances are multiple,and the multiple resonance phenomenon turns periodic with the increase of B.Similarly,the curve of MSNRI-? also has multiple peaks with the increase of ? for a certain amplitude B,so the intervals of ? which can induce vibrational resonances are also multiple.The difference is that the multiple resonance phenomenon becomes irregular with the increase of ?.Besides,the resonance intervals of B and ? do not change with α nor β.Under the different values of amplitude factor D,the resonance intervals of B(or ?)do not change with the increase of D,indicating that only the energy of the high frequency signal transfers toward the signals to be measured,and the energy of α stable noise does not transfer toward the signals to be measured.Besides,when B and ? arefixed,it can still be realized to detect the weak signal with the increase of D,which shows that the weak signal detection method based on vibrational resonance can overcome the shortcoming that noise intensity in industrial sites cannot be regulated and controlled.The results provide a new method of detecting the weak signal,and have potential application value in signal processing.

∶vibrational resonance,a periodic potential system,multi-low frequency weak signals detection,the mean of signal-noise-ratio gain

?國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):61533014)和國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):U1534208,61503299)資助的課題.

?通信作者.E-mail:jsbzq@163.com

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society