劉昊華 王少華 李波波 李樺林

(南京大學(xué)聲學(xué)研究所,近代聲學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210093)

缺陷致非線性電路孤子非對稱傳輸?

劉昊華 王少華?李波波 李樺林

(南京大學(xué)聲學(xué)研究所,近代聲學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210093)

(2016年11月8日收到;2017年3月2日收到修改稿)

設(shè)計(jì)了一種有缺陷的非線性電感-電容(LC)電路,簡單方便地實(shí)現(xiàn)了電路能量非對稱傳輸,且其能量的載體是非線性波——孤子.在LC電路中,當(dāng)缺陷靠近驅(qū)動時(shí),驅(qū)動頻率接近缺陷本振頻率,缺陷共振致電路導(dǎo)通.遠(yuǎn)離驅(qū)動時(shí),電路不導(dǎo)通.缺陷的引入改變電路的均一性,實(shí)現(xiàn)小驅(qū)動振幅下孤子的單向釋放,提高驅(qū)動能量轉(zhuǎn)化為孤子能量的效率.對非線性LC電路的傳輸能量、缺陷系數(shù)和驅(qū)動振幅三者的關(guān)系進(jìn)行了討論.

∶缺陷,非線性電路,孤子,能量

PACS∶05.45.Yv,43.25.RqDOI∶10.7498/aps.66.100502

1 引 言

半導(dǎo)體二極管的出現(xiàn)給我們的社會和生活帶來了巨大改變.電子二極管能很好地實(shí)現(xiàn)能量整流和能量非對稱傳輸.其中,能量非對稱傳輸是指能量只能沿特定方向傳播,反向則被阻止.受此啟發(fā),人們開始關(guān)注和研究其他領(lǐng)域內(nèi)的能量非對稱傳輸現(xiàn)象[1?7].在聲學(xué)方面,Li等[1]通過聲子晶體的非對稱排布,打破空間反演對稱性實(shí)現(xiàn)單向聲傳播.Liang等[2]采用耦合超晶格和強(qiáng)非線性煤質(zhì)的方式,制備了聲二極管.在熱傳導(dǎo)方面,Li等[3]用兩條耦合的非線性晶格鏈建立了熱二極管模型,Hu等[4]進(jìn)一步探討了非線性晶格鏈中耦合強(qiáng)度對非對稱熱傳導(dǎo)的影響.在光學(xué)方面,Konotop和Kuzmiak[5]利用兩種雙層光子晶體的組合,實(shí)現(xiàn)了光的單向傳播.然而據(jù)我們所知,目前僅有陳偉中課題組[8,9]對非線性電感-電容(LC)電路中的能量不對稱傳播現(xiàn)象進(jìn)行了研究,但是在小驅(qū)動電壓振幅下電路單向?qū)芰康男实?甚至不導(dǎo)通.另外,自Hirota和Suzuki[10]采用非線性LC電路模擬Toda晶格鏈之后,所得研究結(jié)果受到了高度重視.這主要是因?yàn)榉蔷€性LC電路為研究非線性色散媒質(zhì)中的波傳輸現(xiàn)象提供了一種簡單而又有效的途徑.同時(shí),非線性LC電路在能量和能流的測量方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢,如電壓和電流可通過數(shù)字示波器和電流表直接測量并記錄分析,而且其電路容易實(shí)現(xiàn),電子器件便于更換和調(diào)整.非線性LC電路支持著孤子的存在[11?14],且孤子通信具有容量大、誤碼率低、抗干擾能力強(qiáng)、不用中繼站等特點(diǎn)[15],因此如何高效方便地實(shí)現(xiàn)電路中孤子非對稱傳輸具有重要意義.針對此目標(biāo),本文以非線性LC電路為研究對象,通過引入缺陷(電容缺陷及電容電感缺陷)的方式[16],實(shí)現(xiàn)LC電路中的孤子非對稱傳輸.依托非線性LC電路的系統(tǒng)微分方程組,對系統(tǒng)禁帶內(nèi)的能量流動進(jìn)行了詳盡的分析.本方案具有結(jié)構(gòu)簡單、功耗低、孤子能量轉(zhuǎn)換效率高等優(yōu)點(diǎn),且不同于Tao等[8]的耦合非線性電路方式和Liu等[17]的變振幅方法.

2 理論模型

本文采用標(biāo)準(zhǔn)的非線性LC電路,其基本元件包括線性電感L和非線性電容C(Vn),如圖1所示.非線性電容的實(shí)現(xiàn)采用反向偏置二極管BB112的方式,偏置電壓Vb=2 V,非線性電容容值與其兩端電壓關(guān)系的二階泰勒形式為[18]

其中C=320 pF,α=0.21 V?1,β=0.0197 V?2.

圖1 系統(tǒng)的單元結(jié)構(gòu)Fig.1.A unit of the system.

對圖1單元結(jié)構(gòu)組成的電路系統(tǒng),應(yīng)用基爾霍夫定律,得到系統(tǒng)的非線性微分方程組∶

由基礎(chǔ)解exp[i(kn?wt)],得到該周期系統(tǒng)典型的線性色散關(guān)系式∶

其中wc是系統(tǒng)的截止角頻率,w是驅(qū)動角頻率,k是傳播波數(shù).歸一化驅(qū)動角頻率wN=w/wc和傳播波數(shù)k的曲線關(guān)系見圖2.

圖2 非線性LC電路的線性色散曲線Fig.2.Linear dispersion curve of the nonlinear LC line.

如圖2所示,我們關(guān)注的是系統(tǒng)在禁帶(forbidden gap)內(nèi)的非線性行為.已有研究表明非線性LC電路在禁帶內(nèi)存在電壓閾值[19]∶

當(dāng)驅(qū)動電壓V=V0cos(wt),且驅(qū)動振幅V0＞Vth,w＞wc時(shí),驅(qū)動激發(fā)的漸消波失穩(wěn),進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài),導(dǎo)致有包絡(luò)孤子產(chǎn)生并傳播.

本文主要研究非線性LC電路第一個(gè)單元結(jié)構(gòu)中引入線性缺陷所誘導(dǎo)的非對稱孤子傳輸現(xiàn)象.按固體物理的理論,均勻晶格中的缺陷會產(chǎn)生局域在缺陷附近的高頻振動,稱為局域波.當(dāng)缺陷是第一個(gè)電容(CI)時(shí),其本征頻率為[20]

其中m是缺陷系數(shù),定義為m=CI/C.缺陷引起的局域化的波是一種本征束縛態(tài)模式,它以本征頻率fr振動.在線性狀態(tài)下,局域波的能量不會輻射掉,因?yàn)槠浔菊黝l率fr在系統(tǒng)線性波的禁帶之內(nèi).但當(dāng)外界驅(qū)動靠近缺陷且驅(qū)動頻率接近線性本征頻率fr時(shí),局域的振動模式將會進(jìn)入非線性共振態(tài),進(jìn)而引起局域波動模式的不穩(wěn)定,從而導(dǎo)致包絡(luò)孤子的發(fā)射.由于局域共振的特點(diǎn),很小的驅(qū)動振幅就可以使得局域化模式被共振放大,當(dāng)儲存在局域化模式的能量足夠大時(shí),局域波動能量幾乎全部轉(zhuǎn)換為行波孤子能量.當(dāng)外界驅(qū)動遠(yuǎn)離缺陷,小驅(qū)動振幅不能發(fā)射孤子.

3 數(shù)值模擬

本文討論兩種缺陷形式,電容缺陷和電容電感缺陷.

3.1 電容缺陷

如圖3所示,電容缺陷處于第一個(gè)單元的位置,緊鄰A端.以缺陷系數(shù)m=0.7為例,由(5)式得缺陷處的本征頻率fr=1.2052 MHz.仿真中取1200個(gè)單元結(jié)構(gòu),電感L=220μH,非線性電容如(1)式.驅(qū)動電壓V=V0cos(wt),V0=0.15 V,w=2πf.由上述參數(shù),該系統(tǒng)的線性截止頻率fc=1.1997 MHz,而關(guān)注的是系統(tǒng)在禁帶之內(nèi)的非線性行為,且驅(qū)動頻率f靠近缺陷處的本征頻率fr,因此選取f=1.2 MHz.分別置驅(qū)動于A,B端,觀察電路中電壓值的分布和變化情況.利用四階龍格-庫塔計(jì)算方法對系統(tǒng)非線性微分方程組(2)進(jìn)行積分運(yùn)算.積分時(shí)間t=3 ms.驅(qū)動振幅V0由零逐漸增長到最大值,防止初始沖擊帶來錯(cuò)誤的仿真結(jié)果.圖4展示了時(shí)間t=2.5 ms、分別從A,B端驅(qū)動時(shí)電路系統(tǒng)內(nèi)的波形.可清楚地看到,從電路系統(tǒng)的A端驅(qū)動,系統(tǒng)內(nèi)會有能量流動,而且能量的載體是包絡(luò)孤子.進(jìn)一步的數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),隨著模擬時(shí)間的延長,孤子傳播的距離也越遠(yuǎn).而從B端驅(qū)動,系統(tǒng)的能量基本局限在表面,能量無法遠(yuǎn)距離傳輸.圖5給出了離驅(qū)動的第90個(gè)非線性電容兩端電壓隨時(shí)間變化的波形圖.觀察到,A端驅(qū)動,有孤子電壓信號通過第90個(gè)非線性電容,1.25 ms之前是孤子的產(chǎn)生和傳播的過程;B端驅(qū)動,沒有孤子信號通過第90個(gè)電容,并且?guī)缀鯖]有能量通過.由(4)式,得到Vth=0.37 V.雖然數(shù)值仿真的驅(qū)動振幅V0＜Vth,但A端驅(qū)動,即缺陷靠近驅(qū)動時(shí),缺陷共振[21]會向驅(qū)動吸收大量能量并且存儲,存儲到一定程度會釋放能量,產(chǎn)生傳播孤子,電路導(dǎo)通.B端驅(qū)動時(shí),缺陷遠(yuǎn)離驅(qū)動(本文中缺陷離B端驅(qū)動接近1200個(gè)單元),能量傳輸指數(shù)衰減,缺陷幾乎不能從驅(qū)動吸收到能量,更達(dá)不到能量積攢,因此電路不導(dǎo)通.缺陷靠近驅(qū)動源時(shí),缺陷共振吸收驅(qū)動能量的能力遠(yuǎn)大于沒有缺陷的電路,可實(shí)現(xiàn)小振幅釋放孤子的目的,提高了非線性LC電路釋放孤子的效率.

圖3 電容缺陷Fig.3.Capacitance impurity.

圖4 m=0.7、t=2.5 ms、分別從A,B端驅(qū)動時(shí)電路系統(tǒng)內(nèi)的波形(驅(qū)動振幅V0=0.15 V,頻率f=1.2 MHz)Fig.4.Emulation oscillograms at t=2.5 ms and m=0.7 of the electrical line which is drived from A and B respectively for a driving frequency of 1.2 MHz and amplitude of 0.15 V.

圖5 離驅(qū)動的第90個(gè)非線性電容兩端電壓V隨時(shí)間t的變化Fig.5.The time domain waveforms of voltage V and time t of the nonlinear capacitance which is the 90th away from driver.

3.2 相關(guān)性參數(shù)分析

電容缺陷下,進(jìn)一步研究LC電路傳輸能量、缺陷系數(shù)和驅(qū)動振幅三者的關(guān)系.通過離驅(qū)動的第i個(gè)電容歸一化能量定義為[19]

3.2.1 缺陷系數(shù)

驅(qū)動振幅一定時(shí)(以V0=0.15 V為例),圖6給出了離驅(qū)動的第90個(gè)電容歸一化能量Ej,90(j=A,B)和缺陷m的關(guān)系.這個(gè)位置離驅(qū)動端足夠遠(yuǎn),從而可以忽略漸消波和局域化波對平均能流的影響.觀察到A端驅(qū)動,缺陷系數(shù)0.6＜m＜0.9,EA,90會出現(xiàn)陡增,此時(shí)系統(tǒng)會產(chǎn)生能量超傳輸現(xiàn)象,數(shù)值模擬表明能量的載體是包絡(luò)孤子.B端驅(qū)動時(shí),EB,90都很小 (注意圖6(b)的縱坐標(biāo)量級10?5),這說明系統(tǒng)基本沒有能量傳輸.驅(qū)動振幅一定,選擇合適的缺陷,可實(shí)現(xiàn)孤子非對稱傳輸.

圖6 離驅(qū)動的第90個(gè)電容歸一化能量和缺陷的關(guān)系(驅(qū)動振幅V0=0.15 V,頻率f=1.2 MHz)Fig.6.The relation of normalized energy and impurity of the corresponding 90th nonlinear capacitances for a driving frequency of 1.2 MHz and amplitude of 0.15 V.

3.2.2 驅(qū)動振幅

缺陷系數(shù)一定時(shí),驅(qū)動振幅對于實(shí)現(xiàn)LC電路孤子非對稱傳輸非常重要.B端驅(qū)動,驅(qū)動振幅V0＜Vth時(shí),由于缺陷遠(yuǎn)離驅(qū)動(本文中缺陷離B端驅(qū)動接近1200個(gè)單元),非線性LC電路系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)能量遠(yuǎn)距離傳輸.圖7是A端驅(qū)動、不同缺陷下通過第90個(gè)非線性電容的能量和驅(qū)動振幅的關(guān)系.我們發(fā)現(xiàn),每種缺陷下,小于某個(gè)驅(qū)動振幅值,傳輸能量都很小,超過該值,傳輸能量會出現(xiàn)陡增現(xiàn)象,此時(shí)LC電路產(chǎn)生傳播孤子.進(jìn)一步,隨著模擬時(shí)間的延長,孤子會繼續(xù)傳播.據(jù)此,實(shí)現(xiàn)孤子的可控單向激發(fā),即孤子非對稱傳輸.

圖7 不同缺陷下EA,90和V0的關(guān)系(驅(qū)動頻率f=1.2 MHz)Fig.7.The EA,90 versus V0with different impurities for a driving frequency of 1.2 MHz.

3.3 電容電感缺陷

前面關(guān)注的都是電容缺陷,當(dāng)m=0.6,V0=0.15 V,非線性LC電路系統(tǒng)不能產(chǎn)生孤子非對稱傳輸現(xiàn)象.在不改變?nèi)毕菹禂?shù)和驅(qū)動振幅下,如何進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)孤子非對稱傳輸呢? 如圖8所示,在第一個(gè)單元結(jié)構(gòu)中,繼續(xù)引入電感缺陷LI=nL,其中n同樣是缺陷系數(shù).數(shù)值模擬中取n=3.3,其他器件及參數(shù)與上文一樣.圖9是電容電感缺陷下,時(shí)間t=3 ms、分別從A,B端驅(qū)動時(shí)電路系統(tǒng)內(nèi)的波形.我們看到刻意的電感缺陷引入,促使原本不能產(chǎn)生孤子的非線性LC電路繼續(xù)發(fā)射孤子,而B端驅(qū)動能量依舊指數(shù)衰減,不能長距離傳輸,因此繼續(xù)實(shí)現(xiàn)了孤子非對稱傳輸.

圖8 電感電容缺陷Fig.8.Impurties of inductance and capacitance.

圖9 t=3 ms,m=0.6,n=3.3,分別從A,B端驅(qū)動時(shí),電路系統(tǒng)內(nèi)的波形(驅(qū)動參數(shù)如圖4)Fig.9.Waveforms of the electrical line which is drived from A and B respectively at t=3 ms,m=0.7 and n=3.2.The driving parameters are as same as in Fig.4.

4 結(jié) 論

本文采用數(shù)值模擬的方法對有缺陷的非線性LC電路中的孤子非對稱傳輸進(jìn)行了研究.當(dāng)驅(qū)動緊鄰缺陷時(shí),驅(qū)動頻率接近缺陷本征頻率,驅(qū)動振幅小于非線性LC電路的電壓閾值,電路產(chǎn)生可傳播的孤子.而當(dāng)驅(qū)動遠(yuǎn)離缺陷時(shí),電路中幾乎沒有能量流通,即出現(xiàn)孤子不對稱傳輸現(xiàn)象.這是因?yàn)槿毕菘拷饨珧?qū)動時(shí),驅(qū)動頻率接近缺陷處本征頻率,產(chǎn)生缺陷共振現(xiàn)象,即局域的振動模式將會進(jìn)入非線性共振態(tài),進(jìn)而引起局域波動模式的不穩(wěn)定,隨后釋放能量,產(chǎn)生可傳播的非線性波——包絡(luò)孤子,并不是非線性導(dǎo)致的倍頻波.而當(dāng)缺陷遠(yuǎn)離驅(qū)動時(shí),能量在電路中劇烈衰減,缺陷幾乎吸收不到能量,達(dá)不到再次釋放能量的級別,因此電路不導(dǎo)通.進(jìn)一步討論了非線性LC電路傳輸能量、缺陷系數(shù)和驅(qū)動振幅三者的關(guān)系.本文還關(guān)注了電容電感缺陷下的孤子非對稱傳輸,引入電感缺陷,為進(jìn)一步調(diào)整非線性LC電路孤子不對稱傳輸提供了一種新的思維方法.同等條件下,選擇合適的缺陷,缺陷共振吸收驅(qū)動能量的能力遠(yuǎn)大于沒有缺陷的電路,因此該電路可實(shí)現(xiàn)小驅(qū)動振幅下孤子的非對稱傳輸,且將驅(qū)動能量轉(zhuǎn)化成孤子能量的效率較高.

本文研究的是線性電容缺陷系數(shù)m＜1時(shí)的情況,但是這種方法同樣適用于電容缺陷系數(shù)m＞1及研究單獨(dú)的電感缺陷.鑒于電學(xué)、聲學(xué)、力學(xué)三者系統(tǒng)方程的一致性,可以把聲學(xué)系統(tǒng)、力學(xué)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的電學(xué)線路來考慮問題,有助于方便地解決問題.另外,熱學(xué)的一些熱傳導(dǎo)問題可轉(zhuǎn)化為宏觀的晶格模型系統(tǒng)來模擬,因而該電路的設(shè)計(jì)和分析內(nèi)容可以融合到聲、力、熱的領(lǐng)域,為解決相關(guān)問題提供一種思路.本文設(shè)計(jì)的缺陷電路和相關(guān)內(nèi)容也為下一步的相關(guān)實(shí)驗(yàn)提供了一定的理論基礎(chǔ).

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PACS∶05.45.Yv,43.25.RqDOI∶10.7498/aps.66.100502

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11174140,11574149).

?Corresponding author.E-mail:shitoucheng_w@sina.com

Defect induced asymmetric soliton transmission in the nonlinear circuit?

Liu Hao-Hua Wang Shao-Hua?Li Bo-Bo Li Hua-Lin
(Institute of Acoustics,Key laboratory of Modern Acoustics of Ministry of Education,Nanjing University,Nanjing 210093,China)

8 November 2016;revised manuscript

2 March 2017)

Electrical diode,thefirst device to rectify the currentflux,has significantly revolutionized fundamental science and advanced technology in various aspects of our routine life.Motivated by the one-way rectification effect,considerable effort has been dedicated to the study of the unidirectional transmission in other physical systems for the potential applications,such as the acoustic diode,thermal diode,etc.The nonlinear LC circuit,which has unique advantages in the measurement of energy with which the voltage and current can be achieved by digitaloscilloscope conveniently,provides a simple and effective way of studying the nonlinear wave propagation in a dispersive medium.In this paper,we design a defective LC nonlinear circuit deliberately to realize asymmetric transmission of energy,and the energy carrier is nonlinear wave which is so-called soliton,instead of the linear wave in the pass band.The defect-induced localized wave is a kind of intrinsic bound-state wave mode that is evanescent away from the defect site but vibrates around the site with an intrinsic frequency fr.In the LC circuit,when the defect is close to the driver,with the frequency of driven signal in the forbidden band of system approaching to the intrinsic resonance frequency frof the defect,the resonance induced by the defect enables the circuit to turn on,which is relevant to but somewhat different from what was uncovered by Leon et al.about the intrinsic instability of evanescent waves stirred up directly by a boundary drive.On the other hand,the system acts like an insulator,for the defect is far away from the drive.The defect changes the homogeneity of the line,which allows the soliton to be released in one direction by the local resonance,with the driver being at a lower amplitude.As a result,the introducing of defects significantly improves conversion efficiency from the driver energy into the soliton.To further understand this phenomenon in the defective LC nonlinear circuit,we numerically investigate the relationship among transmission energy,defect coefficient and driver amplitude.Finally,the combined defects are also considered to further adjust the LC nonlinear circuit.

∶impurity,nonlinear circuit,soliton,energy

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11174140,11574149)資助的課題.

?通信作者.E-mail:shitoucheng_w@sina.com

?2017中國物理學(xué)會Chinese Physical Society