馬霞 王靜

(新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,烏魯木齊 830046)

摻雜硅納米梁諧振頻率的理論模型及分子動(dòng)力學(xué)模擬?

馬霞 王靜?

(新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,烏魯木齊 830046)

(2016年12月23日收到;2017年2月28日收到修改稿)

通過(guò)理論計(jì)算與模擬,研究分析了P元素替代摻雜單晶硅納米梁的諧振頻率.計(jì)算模擬了兩端固支單晶硅納米梁的諧振頻率隨尺寸、摻雜濃度與溫度的變化.通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果的分析得到∶單晶硅納米梁的諧振頻率隨著硅納米梁長(zhǎng)度尺寸的增大而減小;硅納米梁的諧振頻率隨著摻雜濃度的增大而增大,但變化趨勢(shì)并不明顯;最后考慮了溫度效應(yīng),發(fā)現(xiàn)摻雜硅納米梁的諧振頻率隨著溫度的增大而減小,但從諧振頻率的數(shù)值來(lái)看,硅梁的諧振頻率隨溫度的變化趨勢(shì)并不明顯,即溫度對(duì)硅梁諧振頻率基本無(wú)影響.由此得出結(jié)論∶摻雜濃度與溫度對(duì)硅納米梁諧振頻率的影響很小,影響單晶硅納米梁諧振頻率的主要因素是尺寸大小,摻雜單晶硅納米梁的諧振頻率具有尺寸效應(yīng).

∶單晶硅納米梁,諧振頻率,摻雜,溫度

PACS∶61.72.uf,62.25.—g,81.40.JjDOI∶10.7498/aps.66.106103

1 引 言

隨著納機(jī)電系統(tǒng)(NEMS)的研究和發(fā)展,其在很多領(lǐng)域有了越來(lái)越多的應(yīng)用,如超高精度傳感器[1]、超大規(guī)模傳感器[2?4]、開(kāi)關(guān)[5]、高頻諧振器等[6].作為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的單晶硅納米梁,其力學(xué)性能如楊氏模量和諧振頻率的研究是非常重要的,受到了眾多研究人員的重視.

文獻(xiàn)[7]在2003年就已在實(shí)驗(yàn)上測(cè)量得到了超薄硅懸臂梁的楊氏模量及諧振頻率的尺寸效應(yīng);基于Sun和Zhang[8]提出的計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格楊氏模量的半連續(xù)模型,Bao等[9,10]研究了硅納米的載荷撓度與諧振頻率;2008年,Wang等[11]用半連續(xù)模型計(jì)算研究了溫度以及厚度對(duì)單晶硅納米薄膜楊氏模量的影響;2015年,呂煥玲和王靜[12]用基于Keating形變勢(shì)的半連續(xù)體模型研究了摻雜濃度與厚度對(duì)單晶硅納米薄膜的楊氏模量的影響.此外,一些研究人員用分子動(dòng)力學(xué)方法研究了硅納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性,如Gong等[13]用分子動(dòng)力學(xué)模擬研究了硅納米片的楊氏模量;Cao等[14]與Pishkenari小組[15]均用分子動(dòng)力學(xué)方法模擬計(jì)算了硅納米線的諧振頻率,得到了諧振頻率的尺寸效應(yīng).2016年,呂煥玲和王靜[16]通過(guò)分子動(dòng)力學(xué)模擬研究了300 K下?lián)诫s濃度以及長(zhǎng)度尺寸對(duì)摻雜硅納米梁諧振頻率的影響,發(fā)現(xiàn)摻雜濃度對(duì)硅納米梁諧振頻率的影響很小,而影響硅納米梁諧振頻率的主要因素是梁的尺寸.

無(wú)論是從基礎(chǔ)研究的角度,還是著眼于未來(lái)的器件應(yīng)用,研究摻雜單晶硅納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性具有重要的意義.本文分別采用半連續(xù)模型與分子動(dòng)力學(xué)方法計(jì)算模擬了摻雜濃度、尺寸以及溫度對(duì)[100]方向雙端固支單晶硅納米梁諧振頻率的影響.

2 基于半連續(xù)模型的摻雜硅納米梁諧振頻率的計(jì)算與分析

本文研究的是磷原子替代摻雜硅晶胞體對(duì)角線四分之一處的硅納米梁結(jié)構(gòu),摻雜磷原子的硅晶胞如圖1所示.

本文討論摻雜濃度分別為30×1020,15×1020,7.5×1020,3.75×1020cm?3,橫截面積S為16A×16A,長(zhǎng)度尺寸L從40A到60A(長(zhǎng)度尺寸變化間隔?L=4A,其中A為硅晶胞的晶格常數(shù),A=5.432)的硅納米梁在不同溫度時(shí)的諧振頻率.

圖1 (網(wǎng)刊彩色)體對(duì)角線四分之一處摻雜磷元素硅晶胞示意圖Fig.1.(color online)Doping P atom at a quarter of body diagonalof the Silicon crystal cell.

2.1 諧振頻率的計(jì)算

微米及以上尺寸的材料主要采用基于長(zhǎng)波假設(shè)的連續(xù)介質(zhì)模型研究材料的物理性能,當(dāng)材料的尺寸進(jìn)入納米級(jí)時(shí),納米尺度材料與宏觀尺度材料的結(jié)構(gòu)相比,納米結(jié)構(gòu)展現(xiàn)出了一些優(yōu)異的力學(xué)效應(yīng).同時(shí),連續(xù)介質(zhì)模型已無(wú)法直接應(yīng)用于納米結(jié)構(gòu)中,需要建立一種連續(xù)介質(zhì)模型與原子模型相結(jié)合的模型來(lái)研究納米尺度材料的物理性能.2003年,Sun和Zhang[8]從原子之間的相互作用力出發(fā),建立了對(duì)簡(jiǎn)單立方晶格的楊氏模量進(jìn)行研究的一種理論方法——半連續(xù)模型.半連續(xù)模型在符合長(zhǎng)波假設(shè)的方向仍然使用連續(xù)介質(zhì)模型來(lái)研究,在納米尺寸方向從原子出發(fā)來(lái)研究.若研究對(duì)象為硅納米梁時(shí),半連續(xù)模型考慮的厚度與寬度方向從原子出發(fā)研究,由于長(zhǎng)度方向連續(xù),所以仍用連續(xù)介質(zhì)模型進(jìn)行研究.

由半連續(xù)模型出發(fā),文獻(xiàn)[12]得到在體對(duì)角線四分之一處替代摻雜P原子的硅晶胞的形變能UP與純硅晶胞的形變能USi,即

當(dāng)溫度升高時(shí),物體的熱運(yùn)動(dòng)就會(huì)加劇,隨之原子在平衡位置的振動(dòng)幅度就會(huì)增大.由于原子在平衡位置兩側(cè)的受力本來(lái)就不對(duì)稱(chēng),且受力不對(duì)稱(chēng)的這種情況隨著溫度的升高變得越來(lái)越顯著,從而導(dǎo)致相鄰原子之間的距離增加,晶體膨脹晶格常數(shù)增加.因此體系內(nèi)原子與原子之間的鍵長(zhǎng)發(fā)生變化,原子與原子之間的鍵長(zhǎng)rij隨著溫度的增大而增大.由非諧Keating形變勢(shì)模型[17]可知kb為鍵長(zhǎng)的冪函數(shù),kθ為鍵長(zhǎng)與鍵夾角的冪函數(shù),即冪函數(shù)形式如下∶

假設(shè)硅納米梁的厚度方向與寬度方向均有N層硅晶胞,由于這兩個(gè)方向的不連續(xù)性,需要從晶胞中原子的厚度出發(fā)[19],那么硅納米梁的厚度與寬度均可表示為h=(4N+1)a.由于硅納米梁長(zhǎng)度方向是連續(xù)的,利用長(zhǎng)度方向的對(duì)稱(chēng)性與周期性,可選擇長(zhǎng)為一個(gè)晶胞,厚度與寬度與硅梁相同的結(jié)構(gòu)作為一個(gè)計(jì)算單元,則硅納米梁計(jì)算單元的體積可表示為V=4(4N+1)2a3.當(dāng)硅納米梁的摻雜濃度為α?xí)r,硅納米梁計(jì)算單元的形變能U可表示為

將(1)式與(2)式代入(4)式可得

那么硅納米梁計(jì)算單元的形變能密度u表示為

長(zhǎng)度為L(zhǎng)的單晶硅納米梁在振型w(x)和頻率為ω的條件下進(jìn)行自由振動(dòng)時(shí),具有一定的瞬時(shí)撓度,梁的瞬時(shí)撓度公式可表示為下式[10]

其中w(x)為梁的撓度函數(shù),且

其中w0為硅納米梁中點(diǎn)的最大撓度值.硅納米梁在振動(dòng)過(guò)程中,不考慮其他能量耗散遵循機(jī)械能守恒,最大的動(dòng)能Kmax表示為

將(6)式代入(10)式得到摻雜硅納米梁的應(yīng)變勢(shì)能

根據(jù)機(jī)械能守恒可知WS=Kmax,即可得到下式∶

由諧振頻率f=ω/2π,可得到摻雜硅納米梁諧振頻率的解析式∶

由諧振頻率的解析式可以看出,硅梁的諧振頻率隨著長(zhǎng)度尺寸的增大而減小,隨著鍵長(zhǎng)的增大而減小,由于鍵長(zhǎng)隨著溫度的增大而增大,即硅梁的諧振頻率隨著溫度的增大而減小.

2.2 計(jì)算結(jié)果與討論

當(dāng)摻雜濃度為7.5×1020cm?3,橫截面積S=16A×16A時(shí),不同長(zhǎng)度硅梁的諧振頻率隨溫度的變化曲線如圖2所示,其中鍵長(zhǎng)隨溫度的變化采用文獻(xiàn)[21]的結(jié)果.由圖可以看出,隨著溫度的增大,硅納米梁的諧振頻率逐漸減小,但是減小的趨勢(shì)不明顯,幾乎呈現(xiàn)的是一條平線,即溫度對(duì)硅納米梁的諧振頻率幾乎不影響.其次,從圖中還可以看出,隨著硅納米梁長(zhǎng)度的增加,硅納米梁的諧振頻率減小,并且每個(gè)長(zhǎng)度之間的諧振頻率的數(shù)值的間隔是逐漸減小的,也就是說(shuō),硅納米梁的諧振頻率隨著長(zhǎng)度的增大而減小的趨勢(shì)并不是呈現(xiàn)線性減小,而是隨著長(zhǎng)度的增大,硅納米梁的諧振頻率減小的趨勢(shì)逐漸減小,此結(jié)果與文獻(xiàn)[22]基于共振頻率表達(dá)式擬合的理論曲線趨勢(shì)是一致的.由振動(dòng)頻率的求解式f=1/T(T為振動(dòng)周期)可知,振動(dòng)頻率與振動(dòng)周期成反比關(guān)系,由于梁的長(zhǎng)度越長(zhǎng),振動(dòng)越慢,則振動(dòng)的周期越大,周期越大時(shí)頻率越小,所以硅梁的諧振頻率隨著長(zhǎng)度的增大而減小.

當(dāng)長(zhǎng)度L=60A,橫截面積S=16A×16A時(shí),不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化曲線如圖3所示.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)不同長(zhǎng)度硅梁的諧振頻率隨溫度的變化Fig.2.(color online)The resonance frequency of the silicon nano-beam as a function of the temperature and the length.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化Fig.3.(color online)The resonance frequency of the silicon nano-beam as a function of the temperature and the doping concentration.

由圖3可知,當(dāng)硅納米梁的長(zhǎng)度以及橫截面積一定時(shí),硅納米梁的諧振頻率隨著溫度的升高逐漸減小,但是從諧振頻率的數(shù)值來(lái)看,諧振頻率隨著溫度的增大減小的值非常小,減小的趨勢(shì)基本呈線性,此結(jié)果與文獻(xiàn)[23]所得結(jié)果的趨勢(shì)相同.當(dāng)溫度與尺寸一定時(shí),硅梁的諧振頻率隨著摻雜濃度的增大而增大,從圖3中可以看到,隨著摻雜濃度之間間隔的逐漸增大,不同摻雜濃度的諧振頻率之間的間隔也在逐漸增大.但從(0—7.5×1020— 15×1020cm?3)以及(0—15×1020—30×1020cm?3)這兩個(gè)等摻雜濃度間隔的序列,可以看出同一溫度且摻雜濃度間隔相同時(shí)諧振頻率的增量在減小.因此,諧振頻率與摻雜濃度并不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系,這也與諧振頻率的解析(13)式所呈現(xiàn)的關(guān)系是一致的.

3 摻雜硅納米梁諧振頻率的分子動(dòng)力學(xué)模擬

3.1 建立模型

分子動(dòng)力學(xué)方法是一種計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)方法,是研究凝聚態(tài)系統(tǒng)的有力工具.該方法不僅可以得到原子的運(yùn)動(dòng)軌跡,還可以觀察到原子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各種微觀細(xì)節(jié),它是對(duì)理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)的有力補(bǔ)充.本文應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件Material Studio(MS)中的Forcite模塊通過(guò)分子動(dòng)力學(xué)方法模擬分析了摻雜濃度、長(zhǎng)度尺寸與溫度對(duì)單晶硅納米梁諧振頻率的影響.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)(a)雙端固支硅納米梁;(b)結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的硅探針結(jié)構(gòu)與硅納米梁Fig.4.(color online)(a)A double-clamped Sinanobeam;(b)a silicon probe and a silicon nano beam after optimization.

分子動(dòng)力學(xué)模擬的雙端固支單晶硅納米梁如圖4(a)所示.按照不同的濃度與不同長(zhǎng)度尺寸對(duì)單晶硅納米梁進(jìn)行摻雜建模,將建好的模型進(jìn)行切割建立真空層,之后將一個(gè)由硅原子構(gòu)建的探針形狀的結(jié)構(gòu)放置在納米梁正上方并將其固定(硅探針結(jié)構(gòu)也在真空層內(nèi)),之后對(duì)硅納米梁進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化,由于硅探針結(jié)構(gòu)與納米梁之間存在范德瓦耳斯力,所以結(jié)構(gòu)優(yōu)化后硅納米梁發(fā)生彎曲如圖4(b)所示.由于優(yōu)化后的硅納米梁是彎曲的,所以將硅探針結(jié)構(gòu)去掉之后分子動(dòng)力學(xué)模擬的硅納米梁做自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng).在NVE系綜下用模擬軟件MS中的Forcite模塊對(duì)不同尺寸、不同溫度以及不同摻雜濃度的硅納米梁進(jìn)行分子動(dòng)力學(xué)模擬,模擬時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為1 fs,模擬時(shí)間為50 ps.

3.2 模擬結(jié)果

本文采用分子動(dòng)力學(xué)方法模擬研究了摻雜濃度分別為30×1020cm?3和7.5×1020cm?3,橫截面積S為16A×16A,長(zhǎng)度尺寸L從40A到60A(長(zhǎng)度尺寸變化間隔?L=4A)的硅納米梁在不同溫度下的諧振頻率.當(dāng)硅納米梁的橫截面積S為16A×16A,通過(guò)對(duì)不同長(zhǎng)度尺寸的單晶硅納米梁在不同溫度下進(jìn)行分子動(dòng)力學(xué)模擬,得到單晶硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化曲線,如圖5所示.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)不同長(zhǎng)度硅梁的諧振頻率隨溫度的變化Fig.5.(color online)The resonance frequency of the silicon nano-beam as a function of the temperature and the length.

由圖5可知,當(dāng)摻雜濃度一定時(shí),橫截面積為16A×16A的硅納米梁的諧振頻率隨著溫度的增大而減小,但減小的趨勢(shì)并不明顯,諧振頻率的值十分接近,說(shuō)明溫度對(duì)單晶硅納米梁的諧振頻率的影響很小;當(dāng)溫度一定時(shí),硅納米梁的諧振頻率會(huì)隨著長(zhǎng)度尺寸的增加而逐漸較小,并且減小的趨勢(shì)逐漸變緩,這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[15,24]使用分子動(dòng)力學(xué)模擬的硅梁的諧振頻率隨長(zhǎng)度尺寸的變化趨勢(shì)是一致的.文獻(xiàn)[16]通過(guò)分子動(dòng)力學(xué)模擬研究了在溫度300 K,橫截面積為8A×8A,長(zhǎng)度尺寸由12A到32A的硅納米梁的諧振頻率,也得到了相同的變化趨勢(shì).通過(guò)分析長(zhǎng)度尺寸與溫度對(duì)硅納米梁諧振頻率的影響可知∶長(zhǎng)度尺寸對(duì)硅納米梁具有較大的影響,即摻雜單晶硅納米梁的諧振頻率與純單晶硅納米梁的諧振頻率一樣具有尺寸效應(yīng),溫度對(duì)硅納米梁的諧振頻率基本無(wú)影響.由于硅納米梁的表面存在許多懸掛鍵,但隨著梁尺寸的增大,梁的體表比不斷增大,表面的原子相對(duì)于內(nèi)部原子所占比率不斷減小,內(nèi)部原子的相互作用越來(lái)越明顯,即硅納米梁的諧振頻率會(huì)隨著尺寸的變化而變化.其次,硅納米梁的晶格常數(shù)隨著溫度的增大而增大[25],即硅納米梁的尺寸隨著溫度的增大而增大,所以諧振頻率隨著溫度的增大而減小.由此可知,溫度并不是影響諧振頻率的主要因素,而影響諧振頻率的主要因素是單晶硅納米梁的長(zhǎng)度尺寸.

關(guān)于摻雜濃度對(duì)硅納米梁諧振頻率的影響,以摻雜濃度為7.5×1020cm?3和30×1020cm?3為例,對(duì)長(zhǎng)度為60A,橫截面積為16A×16A的硅納米梁的諧振頻率隨溫度變化的模擬結(jié)果進(jìn)行分析.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化Fig.6.(color online)The resonance frequency of the silicon nano-beam as a function of the temperature and the doping concentration.

圖6所示為不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的變化.當(dāng)硅納米梁的尺寸一定時(shí),不同摻雜濃度的硅納米梁的諧振頻率隨溫度的增大而減小,但從諧振頻率的數(shù)值看,減小的趨勢(shì)并不明顯;當(dāng)溫度與尺寸一定時(shí),硅納米梁的諧振頻率隨著摻雜濃度的增大而增大,同樣從諧振頻率的數(shù)值看,增大的趨勢(shì)并不明顯.由于磷原子替代摻雜在硅晶胞的體對(duì)角線四分之一處,而磷原子半徑與硅原子半徑相差十分微小,所以當(dāng)硅晶胞中一個(gè)硅原子被磷原子替換后,硅晶胞的結(jié)構(gòu)發(fā)生微小的變化,并且磷-硅相互作用與其尺寸有關(guān),這都會(huì)對(duì)分子動(dòng)力學(xué)模擬的硅納米梁的振動(dòng)周期有影響,進(jìn)而影響其諧振頻率.當(dāng)摻雜濃度增大時(shí),磷-硅相互作用數(shù)量增加,甚至還存在磷-磷相互作用,所以摻雜濃度會(huì)影響諧振頻率.

3.3 理論計(jì)算模型與分子動(dòng)力模擬結(jié)果的比較

通過(guò)對(duì)硅納米梁諧振頻率的理論計(jì)算與模擬結(jié)果的分析,發(fā)現(xiàn)半連續(xù)模型的計(jì)算結(jié)果比分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果稍大,如圖7所示,理論計(jì)算與模擬的硅納米梁諧振頻率的趨勢(shì)是一致的.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)半連續(xù)模型與分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果的比較Fig.7.(color online)Comparison of the results of the semi-continuous model and molecular dynamics simulation.

由圖7可知,隨著硅納米梁長(zhǎng)度尺寸的增大,理論計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果的差值逐漸減小,當(dāng)長(zhǎng)度為40A,摻雜濃度與溫度一定時(shí),硅納米梁諧振頻率的理論計(jì)算值與模擬值相差0.22602×1012Hz,當(dāng)長(zhǎng)度為60A時(shí),諧振頻率的計(jì)算與模擬的差值減小到0.06325×1012Hz.對(duì)硅納米梁諧振頻率進(jìn)行理論計(jì)算時(shí)比較理想化,只考慮了晶胞內(nèi)原子之間的相互作用.由于表面效應(yīng)對(duì)硅納米梁諧振頻率具有影響,所以分子動(dòng)力學(xué)模擬相對(duì)于理論計(jì)算并不是理想化的.當(dāng)硅梁的尺寸較小時(shí),體表比較小,表面效應(yīng)相對(duì)于內(nèi)部原子相互作用對(duì)硅梁諧振頻率的影響更大,當(dāng)尺寸較大時(shí),體表比相對(duì)較大,內(nèi)部原子相互作用大于表面效應(yīng),所以隨著梁尺寸的增大,硅納米梁的計(jì)算值與模擬值的差越來(lái)越小.從圖7可以看出,溫度對(duì)硅納米梁的諧振頻率基本無(wú)影響,而主要影響硅納米梁諧振頻率的是尺寸因素.

4 結(jié) 論

本文主要通過(guò)半連續(xù)模型與分子動(dòng)力學(xué)模擬方法,研究分析了P元素在硅晶胞體對(duì)角線四分之一處替代摻雜的硅納米梁的諧振頻率,計(jì)算模擬了兩端固支硅納米梁的諧振頻率隨摻雜濃度、尺寸與溫度的變化.結(jié)果表明∶當(dāng)摻雜濃度與溫度一定時(shí),硅納米梁的諧振頻率隨著長(zhǎng)度尺寸的增大而減小,且隨著長(zhǎng)度尺寸的增大,諧振頻率減小的趨勢(shì)逐漸減小;當(dāng)硅納米梁的尺寸一定時(shí),硅納米梁的諧振頻率隨著摻雜濃度的增大而增大,但變化趨勢(shì)并不明顯,基本不影響硅納米梁的諧振頻率;當(dāng)硅納米梁的尺寸與摻雜濃度一定時(shí),發(fā)現(xiàn)摻雜硅納米梁的諧振頻率隨著溫度的增大而減小,但變化趨勢(shì)并不明顯,溫度對(duì)硅梁諧振頻率基本無(wú)影響.由此得出摻雜濃度與溫度對(duì)硅納米梁諧振頻率的影響很小,而影響單晶硅納米梁諧振頻率的主要因素是尺寸大小,即摻雜硅納米梁的諧振頻率與純硅納米梁的諧振頻率一樣,具有尺寸效應(yīng).本文研究結(jié)果對(duì)未來(lái)納米材料的研究與應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值.

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PACS∶61.72.uf,62.25.—g,81.40.JjDOI∶10.7498/aps.66.106103

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11064014).

?Corresponding author.E-mail:wjxju@163.com

Study on resonance frequency of doping silicon nano-beam by theoretical model and molecular dynamics simulation?

Ma Xia Wang Jing?
(College of Physical Science and Technology,Xinjiang University,Urumqi 830046,China)

23 December 2016;revised manuscript

28 February 2017)

With the rapid development of nanoelectromechanical system technologies,silicon nanostructures have attracted considerable attention for the remarkable mechanical properties.A number of studies have been made on the mechanical properties through theoretical analysis,atomistic or molecular dynamics and experiments.In this paper,the resonance frequency of the doping silicon nano-beam is investigated by a theoretical model based the semi-continuum approach to achieve the goalof accurately capturing the atomistic physics and retaining the efficiency of continuum model.The temperature dependence of the resonance frequency of the nanostructure is important for application design,which is considered by the Keating anharmonic modelused to describe the strain energy atfinite temperature.The resonance frequencies are also simulated by the molecular dynamics at different temperatures.The studies indicate that the resonance frequency of the P doped silicon nano-beam is influenced by the size,the doping concentration and the temperature.The results show that the resonant frequency decreases with the increase of the length of the beam,and increases with the increase of the doping concentration of the silicon nano-beam.The resonant frequency of silicon nano-beam decreases with the increase of temperature,but the changes of the resonant frequency is not obvious.The doping concentration has a little effect on the resonance frequency of the silicon nano-beam.The conclusion can be drawn that neither the effect of doping concentration nor the effect of temperature on resonant frequency of the silicon nano-beam is obvious,the size is a major factor influencing the resonance frequency of the silicon nano-beam.

∶silicon nano-beam,resonance frequency,doping,temperature

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11064014)資助的課題.

?通信作者.E-mail:wjxju@163.com

?2017中國(guó)物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society