福建省福安市第二中學 羅開華

均值不等式應用例析

福建省福安市第二中學 羅開華

利用均值不等式及推廣求解最值問題、不等式證明、實際問題。均值不等式教學對優(yōu)化學生知識結構、提升應用能力具有重要意義。

均值不等式；應用與推廣

均值不等式作為高中課程的重要知識，要掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)并會簡單的應用。應用均值不等式求最值問題、不等式證明、解決實際問題具有重要作用。同時，均值不等式的教學有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新意識，對探索創(chuàng)造、發(fā)揮潛能、開發(fā)智力具有重要意義。

一、均值不等式及其推廣

二、均值不等式的應用

1.均值不等式在最值問題中的應用

2.均值不等式在證明不等式中的應用

運用均值不等式進行不等式的證明，可使很多問題更為簡便轉化和解決,使不等式的證明更具有活力和靈活性。

（還可以用三角代換、常值代換、消元法等方法處理）

3.均值不等式在實際問題中的應用

例5 某工廠購買某種設備時費用為10萬元，每年的設備運營費為9千元，設備的維修費為第一年2千元，第二年4千元，…依每年2千元遞增,問該設備使用多少年報廢最合算（使用年平均費用最少）？

解：設該設備使用n年報廢，則每年平均費用為f(n)萬元，依題知：每年設備的使用費與維修費之和構成首項為1.1，公差為0.2的等差數(shù)列，前n項和為0.1n2+n萬元，依題有：答：該設備使用10年報廢最合算。

三、反思與感悟

均值不等式作為一個重要的不等式，在求函數(shù)最值、不等式證明及實際問題求解中發(fā)揮重要作用，其應用十分廣泛。但要注意應用條件：“一正二定三等”，不滿足條件時要創(chuàng)造條件，利用配湊法、函數(shù)單調性、拆項添項等方法處理。教師要重視均值不等式的教學，鍛煉學生的推理能力、想象力和創(chuàng)造力，促進學生思維能力的發(fā)展。