河北 陳月新

一類物理學(xué)問題的特殊求解

河北 陳月新

由于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的欠缺，許多的物理問題，在高中階段可能是無(wú)法求解的，但是學(xué)生可以通過一定的物理分析，同時(shí)借助單位（量綱）分析法、對(duì)稱分析法、極限分析法等思維方法，對(duì)解的合理性作出相應(yīng)判定。具體來(lái)說(shuō)，我們可以從解的物理量單位、解隨某些已知量變化的趨勢(shì)、解在一些特殊條件下的結(jié)果等方面進(jìn)行分析，并與預(yù)期結(jié)果、實(shí)驗(yàn)結(jié)論等進(jìn)行比較，從而判斷解的合理性或正確性。

由于這類題目并不要求具體的計(jì)算，只是用所學(xué)的物理知識(shí)來(lái)分析，注重對(duì)考生科學(xué)思維方法和能力的考查，這就需要考生靈活的應(yīng)用物理知識(shí)來(lái)分析，而不只是利用公式來(lái)解決問題。本文試圖通過一些典型的例題，介紹此類問題的一般求解方法，希望能夠引起考生的高度重視。

一、利用特殊值法

在許多此類問題中，采用特殊值的方法，問題容易得到解決。這里關(guān)鍵的問題是特殊值的試探，因此也可以稱作“試探法”，即通過試探找到問題的特殊情況。

【例1】如圖1所示，一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩跨過定滑輪后，兩端分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體A和B。若滑輪有一定大小，質(zhì)量為m且分布均勻，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與繩之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)滑輪與軸之間的摩擦。設(shè)細(xì)繩對(duì)A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列四個(gè)關(guān)于T1的表達(dá)式中有一個(gè)是正確的。請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的物理知識(shí)，通過一定的分析判斷正確的表達(dá)式是 （ ）

圖1

【解析】在不考慮滑輪質(zhì)量的情況下，這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的牛頓第二定律應(yīng)用問題，但是滑輪有質(zhì)量時(shí)，一般的隔離法不能直接使用，因此我們利用特殊的情況迂回解決。假設(shè)滑輪質(zhì)量m＝0，兩物體質(zhì)量m1＝m2，在此情況下，兩物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)，滑輪也不轉(zhuǎn)動(dòng)，容易知道T1＝m1g＝m2g。將此假設(shè)的條件代入四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)算，容易判斷只有C項(xiàng)正確。

【答案】C

【例2】?jī)蓚€(gè)相距很近的等量異號(hào)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)稱為電偶極子。設(shè)相距為l，電荷量分別為＋q和－q的點(diǎn)電荷構(gòu)成電偶極子。如圖2所示，取二者連線方向?yàn)閥軸方向，中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的x Oy坐標(biāo)系，P點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為r（rl），P、O兩點(diǎn)間連線與y軸正方向的夾角為θ，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，P點(diǎn)的電勢(shì)為φ，真空中靜電力常量為k。下面給出φ的四個(gè)表達(dá)式，其中只有一個(gè)是合理的。你可能不會(huì)求解P點(diǎn)的電勢(shì)φ，但是你可以通過一定的物理分析，對(duì)下列表達(dá)式的合理性做出判斷。根據(jù)你的判斷，φ的合理表達(dá)式應(yīng)為 （ ）

圖2

【解析】中學(xué)階段不要求掌握電勢(shì)的表達(dá)式，但是對(duì)于P點(diǎn)的電勢(shì)φ顯然可以看出取θ＝90°時(shí)，由實(shí)際情況知道φ＝0，因此可排除選項(xiàng)A和D，而當(dāng)我們?nèi)＝∞時(shí)，φ＝0，可見只有C項(xiàng)符合。

【答案】C

二、利用單位制法

物理關(guān)系式不僅反映了物理量之間的關(guān)系，也確定了單位間的關(guān)系。如關(guān)系式U＝IR，既反映了電壓、電流和電阻之間的關(guān)系，也確定了V（伏）與A（安）和Ω（歐）的乘積等效。力學(xué)中的基本物理量是長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間，而國(guó)際單位制中的基本單位則包括長(zhǎng)度，米（m）；質(zhì)量，千克（kg）；時(shí)間，秒（s）；電流，安（A）；熱力學(xué) 溫度，開（K）；物質(zhì)的量，摩（mol）；發(fā)光強(qiáng)度，坎（cd）。

如現(xiàn)有物理量單位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（庫(kù)）、F（法）、A（安）、Ω（歐）和 T（特），由它們組合成的單位都與電壓?jiǎn)挝籚（伏）等效的是和T·m2/s等，而不是C·T·m/s和N/C、T·A·m。

在進(jìn)行計(jì)算或檢查的過程中，如果發(fā)現(xiàn)所求結(jié)果的單位與采用的單位制中該量的單位不一致，那么該公式或計(jì)算結(jié)果肯定是錯(cuò)誤的。如在解一道文字計(jì)算題（由字母表達(dá)結(jié)果的計(jì)算題）時(shí)，一個(gè)同學(xué)解得，用單位制的方法檢查，這個(gè)結(jié)果一定是錯(cuò)誤的！原因非常簡(jiǎn)單，根據(jù)位移公式，上述結(jié)果的單位是速度而不是位移。

【例3】真空中半徑為a的圓環(huán)，環(huán)中電流為I，以圓環(huán)圓心O為原點(diǎn)，建立垂直于圓環(huán)所在平面的x軸。設(shè)軸上任意點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離為x，P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。下面給出的四個(gè)表達(dá)式（式中μ0＝4π×10－7N/A2為常量）中，正確的是 （ ）

圖3

【解析】根據(jù)安培力公式F＝ILB，則，利用單位制法，磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位為T，也可以寫作1由等式右側(cè)單位即可排除B、C、D項(xiàng)，故A項(xiàng)正確。

【答案】A

三、極限分析法

所謂極限分析法，即是將問題從一般狀態(tài)推到特殊狀態(tài)進(jìn)行分析處理的解題方法。將問題推想到極端狀態(tài)或極端條件下進(jìn)行分析，問題有時(shí)會(huì)變得明朗而簡(jiǎn)單。在求解過程中，通過恰當(dāng)?shù)剡x取某個(gè)物理量，并將其推向極端，如“極大”和“極小”或“極右”和“極左”等，從而把某個(gè)物理情境中比較隱蔽的臨界現(xiàn)象或各種可能性暴露出來(lái)，便于解答。

【例4】如圖4所示，在足夠長(zhǎng)的光滑水平面上有一靜止的質(zhì)量為M的斜面，斜面表面光滑、高度為h、傾角為θ。一質(zhì)量為m（m＜M）的小物塊以一定的初速度沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，不計(jì)沖上斜面過程中機(jī)械能損失。如果斜面固定，則小物塊恰能沖到斜面頂端。如果斜面不固定，則小物塊沖上斜面后能達(dá)到的最大高度為 （ ）

圖4

【解析】這是《選修3—5》中關(guān)于動(dòng)量守恒定律的一類非常典型的問題，一般的求解方法是通過動(dòng)量守恒定律及能量守恒定律解決，計(jì)算非常煩瑣。

斜面固定，則小物塊恰能沖到斜面頂端，有mgh＝；斜面不固定時(shí)，則小物塊沖上斜面后，系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒，則mv0＝（M＋m）v，設(shè)能達(dá)到的最大高度為H，據(jù)能量守恒定律，有，聯(lián)立以上三式解得

而本題如果利用極限分析法則異常簡(jiǎn)單。在斜面固定時(shí)，小物塊能沖到斜面頂端高為h處，如果斜面不固定，小物塊沖上斜面后能達(dá)到的最大高度一定小于h，當(dāng)取斜面的質(zhì)量M為無(wú)窮大，對(duì)后面三個(gè)選項(xiàng)分析，符合題意的答案只能是選項(xiàng)D。

【答案】D

四、通過簡(jiǎn)單的計(jì)算來(lái)確定

在許多類似的問題中，我們通過上述兩種方法可能使問題得到解決，而對(duì)某些情況下，有的物理問題僅僅依靠上述方法并不能求解，此時(shí)需要通過簡(jiǎn)單的計(jì)算再結(jié)合特殊值才能最終確定問題的答案。

【例5】如圖5所示，一輕質(zhì)細(xì)繩的下端系一質(zhì)量為m的小球，繩的上端固定于O點(diǎn)?，F(xiàn)用手將小球拉至水平位置（繩處于水平拉直狀態(tài)），松手后小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)。在小球擺動(dòng)過程中繩突然被拉斷，繩斷時(shí)與豎直方向的夾角為α。已知繩能承受的最大拉力為F，若想求出cosα值，你有可能不會(huì)求解，但是你可以通過一定的物理分析，對(duì)下列結(jié)果的合理性做出判斷。根據(jù)你的判斷cosα值應(yīng)為（ ）

圖5

【解析】由于在剛釋放的瞬間，繩子拉力為零，物體在重力作用下下落。此時(shí)α＝90°，所以cosα＝0，但是F＝0時(shí)，A、D項(xiàng)均不為0，因此可以排除A、D項(xiàng)。

【答案】B

（作者單位：河北省衡水市第二中學(xué)）