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（商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，陜西商洛726000）

基于最大能量熵的小波閾值去噪法研究

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（商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，陜西商洛726000）

分析了現(xiàn)有的軟閾值、硬閾值以及軟硬折衷閾值三種小波閾值去噪方法的優(yōu)缺點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于最大能量熵的小波閾值去噪方法，根據(jù)最大能量熵的理論確定了改進(jìn)型閾值函數(shù)中的加權(quán)因子。用三種閾值函數(shù)分別對(duì)Blocks、Bumps、Droppler信號(hào)進(jìn)行濾波處理中，結(jié)果表明，基于最大能量熵的小波閾值去噪方法各項(xiàng)性能指標(biāo)均優(yōu)于另外兩種方法，具有良好的去噪效果。

小波去噪；閾值函數(shù)；最大能量熵

在實(shí)際應(yīng)用中采集到的信號(hào)都多多少少的的包含有一定的噪聲，而噪聲在一定程度上掩蓋了信號(hào)本身的特征，使信號(hào)產(chǎn)生變異，所以去噪濾波就很有必要。1990年以來(lái)，小波理論被大量的研究，隨著小波理論漸漸趨于完善，被廣泛的應(yīng)用于信號(hào)處理方面。小波去噪有三種方法：第一種是利用小波變換模極大值原理去噪，第二種是根據(jù)相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性取舍，再重構(gòu)信號(hào)，第三種就是小波閾值去噪。前兩種方法的計(jì)算量比較大，小波閾值去噪由于相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算量不大，視覺(jué)效果良好被廣泛應(yīng)用[1-2]。文獻(xiàn)[3]利用閾值函數(shù)去改變小波的分解系數(shù)來(lái)進(jìn)行去噪，但是計(jì)算量較大；文獻(xiàn)[4-5]提出了一個(gè)閾值函數(shù)，該函數(shù)和均方差函數(shù)近似，利用該方法可以得到均方差意義下的最優(yōu)值，但是該方法不能僅僅用均方差作為性能指標(biāo)來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)。小波去噪的核心問(wèn)題是如何選取合適的閾值函數(shù)。提出了一種基于最大能量熵的小波閾值去噪方法，根據(jù)最大能量熵的理論確定了改進(jìn)型閾值函數(shù)中的加權(quán)因子。用三種閾值函數(shù)分別對(duì)Blocks、Bumps、Droppler信號(hào)進(jìn)行濾波處理并用信噪比（SNR），均方根誤差（RMSE），降噪后信號(hào)與濾波前信號(hào)的能量比例（ET）來(lái)考察對(duì)含噪信號(hào)去噪方面的效果。

1 小波閾值去噪

小波變換被認(rèn)為能夠集中能量，也就是說(shuō)，一方面噪聲信號(hào)因?yàn)楸旧砟芰孔V比較分散、頻率也比較分散，因此其小波系數(shù)比較分散且絕對(duì)值相對(duì)比較?。涣硪环矫嬗杏眯盘?hào)的能量會(huì)匯集在很少的小波系數(shù)上，這些小波系數(shù)通常絕對(duì)值比較大。對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換可以得到小波系數(shù)，通過(guò)對(duì)這些系數(shù)與設(shè)定的閾值進(jìn)行比較，如果這些子空間的小波系數(shù)小于該閾值，則認(rèn)為它是噪聲信號(hào)，將其變?yōu)?，再進(jìn)行重構(gòu)就可以獲得去噪后的信號(hào)。這就是閾值去噪的基本原理。小波濾波的核心問(wèn)題是如何選取合適的閾值函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出可以還原良好去噪信號(hào)所需的小波系數(shù)。因此，如何確定閾值是一個(gè)非常關(guān)鍵的問(wèn)題。

小波去噪的閾值函數(shù)主要有3種：

1）軟閾值函數(shù)[6-8]：假設(shè)信號(hào)f(t)進(jìn)行小波分解后的小波系數(shù)為ωj，k，比較閾值λ和ωj，k，如果ωj，k的絕對(duì)值大于λ，那么小波系數(shù)ωj，k此時(shí)應(yīng)為ωj，k的絕對(duì)值減去閾值λ的差，并保持符號(hào)不變；幅值小于或者等于λ的點(diǎn)變?yōu)?。

濾波器表達(dá)式為：

2）硬閾值函數(shù)：假設(shè)信號(hào)f(t)進(jìn)行小波分解后的小波系數(shù)為ωj，k，比較閾值λ和ωj，k，如果ωj，k的絕對(duì)值大于λ，那么小波系數(shù)ωj，k此時(shí)不變，否則小波系數(shù)ωj，k置0。

濾波器表達(dá)式為：

3）軟硬折衷閾值

1995年，在硬閾值和軟閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上，Bruce和Gao Hong Ye研究出了一種軟硬折衷函數(shù)[9]，以提高采集信號(hào)的信噪比（SNR）和減小均方誤差（MSR）。具體的軟硬折衷函數(shù)為：

其中，α∈[0,1]為1個(gè)可變量。要注意的是，當(dāng)α=1時(shí)該函數(shù)為軟閾值函數(shù)；而當(dāng)α=0時(shí)，該函數(shù)則與硬閾值函數(shù)相同。如圖1所示，圖1中的α=0.5。在實(shí)際工程中，一般從實(shí)際情況出發(fā)，然后再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)反復(fù)嘗試來(lái)確定待定參數(shù)α的值。

圖1 軟硬折衷閾值法

2 閾值函數(shù)的改進(jìn)

對(duì)傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)硬閾值函數(shù)不是連續(xù)的，和硬閾值函數(shù)相比軟閾值函數(shù)是連續(xù)的，然而它并不是任意階連續(xù)可導(dǎo)。當(dāng)今被提出的大部分去噪函數(shù)，去噪效果良好但是它們大部分都含有待定參數(shù)，而要確定這個(gè)參數(shù)一般需要通過(guò)大量的嘗試和經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定，工作量較大。基于信號(hào)的小波能量熵理論，提出了基于最大能量熵的小波閾值去噪法。分解原始信號(hào)，可以得到噪聲系數(shù)和高頻系數(shù)，讓它們的小波能量熵之和為最大，得到了最優(yōu)的小波閾值去噪函數(shù)。

2.1 最大熵原理

最大信息熵[10]原理是Jaynes提出的，它的基本思想是，求滿足某些約束的信源事件概率分布時(shí)，應(yīng)使得信源的熵最大。由最大信息熵理論可以知道，噪聲信號(hào)ε與真實(shí)信號(hào)g的相關(guān)性越小，它們的熵相加的結(jié)果就會(huì)越大。所以，對(duì)于去噪后得到的真實(shí)信號(hào)g，應(yīng)該使噪聲信號(hào)ε的信號(hào)熵與g的信號(hào)熵相加最大，此時(shí)應(yīng)為最佳的去噪效果。

2.2 小波能量熵

2.3 最優(yōu)閾值的選取

去噪時(shí)，噪聲信號(hào)和真實(shí)信號(hào)之間的相關(guān)性越小越好，也就是說(shuō)對(duì)于去噪后得到的真實(shí)信號(hào)，應(yīng)該使噪聲信號(hào)的信號(hào)熵與它的信號(hào)熵相加結(jié)果最大，這樣得到的就是最佳的閾值函數(shù)。

閾值處理后原始信號(hào)的高頻小波系數(shù)為：

濾掉的噪聲的高頻小波系數(shù)為：

則信號(hào)部分的小波能量熵為：

噪聲部分的小波能量熵為：

令W=Ws+Wn，W可表達(dá)為調(diào)整參數(shù)α的線性函數(shù)。

3 算法步驟

改進(jìn)算法的步驟如下：

1）對(duì)噪聲信號(hào)選擇小波和分解層數(shù)進(jìn)行多尺度分解，得到各層高頻小波系數(shù)和最后一層的低頻小波系數(shù)。

2）調(diào)整參數(shù)α先取0。

3）根據(jù)式(6)和式(7)，取得相應(yīng)的處理后的小波系數(shù)sj,k和nj,k。

4）對(duì)利用式(8)和式(9)計(jì)算相應(yīng)的小波能量熵Ws和Wn，求出兩者之和W。

5）回到步驟2），調(diào)整參數(shù)α遞增0.01或者0.05，再次計(jì)算W。當(dāng)W取最大值時(shí)，此時(shí)的α的是最佳參數(shù)，此時(shí)得到最優(yōu)閾值，所用的閾值函數(shù)所得到的濾波效果最佳。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證此方法的效果，采用Matlab平臺(tái)用3種閾值濾波法對(duì)Blocks、Bumps、Droppler信號(hào)實(shí)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真信號(hào)均加入高斯白噪聲，噪聲信號(hào)服從N(0,1)，再用“db4”小波對(duì)帶噪聲信號(hào)進(jìn)行3層分解，分別利用軟、硬閾值函數(shù)和新的閾值折衷函數(shù)（用分層閾值）對(duì)分解后的小波系數(shù)進(jìn)行小波閾值濾波，用信噪比（SNR），均方根誤差（RMSE），降噪后信號(hào)與濾波前信號(hào)的能量比例（ET）來(lái)考察對(duì)含噪信號(hào)去噪方面的效果。

4.1 Bumps信號(hào)濾波仿真

如圖2所示，當(dāng)α=0.8時(shí)，Bumps信號(hào)的小波熵最大，此時(shí)得到最佳閾值函數(shù)。從圖3中可以看出，軟閾值在橫坐標(biāo)0～200部分無(wú)法保留信號(hào)的原始特征。硬閾值去噪信號(hào)在橫坐標(biāo)200和950處出現(xiàn)了偽Gibbs現(xiàn)象。而本文方法很好的避免了這一現(xiàn)象的發(fā)生。表1為不同閾值函數(shù)對(duì)Bumps信號(hào)的濾波性能評(píng)價(jià)結(jié)果，軟閾值法的信噪比為12.5944，硬閾值法的信噪比15.5868，均低于本文的方法，且該方法得到的均方根誤差也是最小的，在能量比例上最大，說(shuō)明保留了最多原信號(hào)的能量特征。

圖2 Bumps信號(hào)調(diào)整參數(shù)與小波能量熵的關(guān)系

圖3 Bumps信號(hào)三種濾波方法比較

表1 Bumps信號(hào)在不同閾值函數(shù)下的濾波性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

4.2 Blocks信號(hào)濾波仿真

由圖4可知，α為0.5時(shí)，小波熵最大。由圖5可知，軟閾值法濾波結(jié)果看起來(lái)比較平滑，然而由于Blocks信號(hào)的詳細(xì)部分有很多都被省略，不能精準(zhǔn)的表現(xiàn)出信號(hào)的局部特征，發(fā)生了顯著的失真現(xiàn)象，SNR為14.9074，RMSE為1.0775，ET為95.072%，與其他兩種方法相比較不能很好的抑制噪聲，保留的原信號(hào)特征也最少，去噪結(jié)果不是很好；硬閾值法的SNR為18.5569，RMSE為0.70782，ET為98.415%，能較好的抑制噪聲信號(hào)且較多的保留了原信號(hào)特征，但是在橫坐標(biāo)800處有顯眼的偽Gibbs現(xiàn)象，且局部劇烈振蕩，結(jié)果不夠平滑；而基于最大能量熵的小波閾值去噪法SNR為20.7592，RMSE為0.69153，ET為99.842%，信噪比最高且基本完全保留了原信號(hào)的特征，所以與干凈的Blocks信號(hào)更加接近。表2顯示基于最大能量熵的方法各項(xiàng)性能均優(yōu)于其他兩種方法。

圖4 Blocks信號(hào)調(diào)整參數(shù)與小波能量熵的關(guān)系

圖5 Blocks信號(hào)三種濾波方法比較

表2 Blocks信號(hào)在不同閾值函數(shù)下的濾波性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

4.3 Droppler信號(hào)濾波仿真

由圖6可知，α為0.85時(shí)，Droppler信號(hào)的小波熵最大。由圖7從視覺(jué)上看三種方法差距不大，采用文中的閾值去噪方法，濾波后的波形細(xì)節(jié)上更加光滑，更加平直。從表3可以看出，基于最大能量熵的小波閾值去噪法的信噪比最高，均方差最小，能量比例最大，優(yōu)于其他兩種方法。

圖6 Droppler信號(hào)調(diào)整參數(shù)與小波能量熵的關(guān)系

圖7 Droppler信號(hào)三種濾波方法比較

表3 Droppler信號(hào)在不同閾值函數(shù)下的濾波性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

5 結(jié)論

小波去噪的核心問(wèn)題是如何選取合適的閾值函數(shù)。分析了現(xiàn)有的軟閾值、硬閾值以及軟硬折衷閾值三種小波閾值去噪方法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種基于最大能量熵的小波閾值去噪方法，首先對(duì)噪聲信號(hào)選擇小波和分解層數(shù)進(jìn)行多尺度分解，得到各層高頻小波系數(shù)和最后一層的低頻小波系數(shù)，根據(jù)最大能量熵的理論確定了改進(jìn)型閾值函數(shù)中的加權(quán)因子，此時(shí)得到最優(yōu)閾值，閾值函數(shù)的濾波效果最佳。為了驗(yàn)證算法的有效性，用軟閾值、硬閾值、改進(jìn)閾值三種閾值函數(shù)分別對(duì)Blocks、Bumps、Droppler信號(hào)進(jìn)行了去噪處理。結(jié)果表明，基于最大能量熵的小波閾值去噪法降噪后信號(hào)與濾波前信號(hào)的能量比例最高，均方差最小，信噪比最高，具有良好的去噪效果。

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（責(zé)任編輯：李堆淑）

Research on Wavelet Threshold Denoising Algorithm Based on Maximum Energy Entropy

ZHANG Xin
(School of Electronic Information and Electrical Engineering,Shangluo University,Shangluo726000,Shaanxi)

Wavelet denoising of the soft thresholds,hard thresholds and soft and hard tradeoff thresholdsare andlyzed,and a wavelet threshold denoising method based on maximum energy entropy is proposed.Based on the maximum energy entropy The weighting factor in the improved threshold function is determined.According to the theory of maximum energy entropy,the weighting factor in the improved threshold function is determined.Blocks,Bumps and Droppler signals are filtered by three threshold functions.The results show that the performance of using wavelet threshold denoising method based on maximum energy entropy is superior to the other two methods,and has good denoising effect.

wavelet denoising;threshold function;maximum energy entropy

TP911.7

：A

：1674-0033（2017）04-0023-05

10.13440/j.slxy.1674-0033.2017.04.006

2017-04-16

商洛學(xué)院科研基金項(xiàng)目（16SKY-FWDF005）

張?chǎng)?，女，陜西商州人，碩士，助教