胡亮 羅懋康

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 610065)

柱面非線性麥克斯韋方程組的行波解

胡亮 羅懋康?

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 610065)

(2017年2月3日收到;2017年4月16日收到修改稿)

柱面電磁波在各種非均勻非線性介質(zhì)中的傳播問題具有非常重要的研究價值.對描述該問題的柱面非線性麥克斯韋方程組進(jìn)行精確求解,則是最近幾年新興的研究熱點(diǎn).但由于非線性偏微分方程組的極端復(fù)雜性,針對任意初邊值條件的精確求解在客觀上具有極高的難度,已有工作僅解決了柱面電磁波在指數(shù)非線性因子的非色散介質(zhì)中的傳播情況.因此,針對更為確定的物理場景,尋求能夠精確描述其中更為廣泛的物理性質(zhì)的解,是一種更為有效的處理方法.本文討論了具有任意非線性因子與冪律非均勻因子的非色散介質(zhì)中柱面麥克斯韋方程組的行波精確解,理論分析表明這種情況下柱面電磁波的電場分量E已不存在通常形如E=g(r-kt)的平面行波解;繼而通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q與求解相應(yīng)的非線性常微分方程,給出電場分量E=g(ln r-kt)形式的廣義行波解,并以例子展示所得到的解中蘊(yùn)含的類似于自陡效應(yīng)的物理現(xiàn)象.

柱面電磁波,非線性介質(zhì),行波解,自陡

1 引 言

電磁波按波面的形狀一般有三種基本類型：平面波,柱面波和球面波.傳統(tǒng)的非線性光學(xué)一般研究平面波與各種物質(zhì)相互作用產(chǎn)生的非線性效應(yīng)[1-3].柱面電磁波是幾種基本的電磁波之一,它在各種非均勻非線性介質(zhì)中的傳播問題是一個重要又有趣的課題,可用于地球物理探測、微帶天線技術(shù)[4,5]、鐵電體分析[6]等領(lǐng)域.但由于柱面坐標(biāo)系下的麥克斯韋方程組非常復(fù)雜,一直以來人們對柱面非線性光學(xué)的研究進(jìn)展緩慢,尋找合適的數(shù)學(xué)和物理方法處理柱面電磁波在各種非均勻非線性介質(zhì)中的傳播問題也成為一個難題[7].

最近,Petrov和Kudrin[6,7]求出了柱面坐標(biāo)系下具有指數(shù)非線性因子的非色散介質(zhì)中麥克斯韋方程組的精確解,自此以后,柱面電磁波與相關(guān)的非線性光學(xué)現(xiàn)象獲得了大量的關(guān)注與研究,各種研究成果也層出不窮.例如,Xiong等[8,9]將Petrov和Kud rin的結(jié)果進(jìn)行了推廣,指出他們的求解方法也適用于指數(shù)非線性因子與冪律非均勻因子相結(jié)合的介質(zhì);Xiong等[10-12]還討論了柱面電磁波的二次諧波產(chǎn)生、和頻與差頻的產(chǎn)生等非線性光學(xué)現(xiàn)象;Chen等[13]研究了初值對柱面非線麥克斯韋方程組精確解的影響;Ranjbar和Bahari[14]則研究了柱面電磁波的四波混頻效應(yīng).這些研究成果的基礎(chǔ)都是Petrov和Kudrin所得到的精確解.實(shí)際上,精確解在解釋與預(yù)言物理現(xiàn)象、開發(fā)新的近似計算方法等方面扮演著非常重要的角色[15-17].然而,目前人們還無法求出其他非線性介質(zhì)中柱面電磁波的精確解.

柱面非線性麥克斯韋方程組沒有一般的精確解求解方法[18,19],這時尋找滿足某個特定條件的、有物理意義的解,是一種可行的途徑.本文主要討論電磁波理論特別是孤立波理論中極為重要的一類解--行波解[20-25].從已有的資料看來,目前對柱面非線性麥克斯韋方程組行波解的研究尚未展開.在Petrov和Kudrin工作的基礎(chǔ)上,我們提出一種方法來求得在具有任意非線性因子與冪律非均勻因子的非色散介質(zhì)中傳播的柱面電磁波的行波精確解,并研究其物理性質(zhì)和意義.本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第二部分介紹所使用的物理模型;第三部分先指出所討論模型的電場分量已不存在通常形如E=g(r-kt)的平面行波解,然后給出E=g(ln r-kt)形式的廣義行波精確解[26];第四部分討論所得的廣義行波解與平面行波解的異同;第五部分進(jìn)行總結(jié).

2 柱面電磁波模型

本文使用文獻(xiàn)[6-14,18,19,27]工作中相同的物理模型.考慮一個無損耗、非磁性介質(zhì)中的電磁場,并假設(shè)介質(zhì)擁有一個對稱軸,將對稱軸設(shè)為

z軸,建立柱面坐標(biāo)系(r,φ,z).我們進(jìn)一步假設(shè)電磁場與φ和z無關(guān),且電場部分平行于對稱軸z,同時忽略色散效應(yīng),那么我們可以得到如下的柱面麥克斯韋方程組：

這里μ0是真空磁導(dǎo)率;r,t分別表示半徑和時間;E,H,D分別表示電場、磁場和電位移; ε(r,E)=d D/d E是介質(zhì)的介電函數(shù),不同的ε(r,E)所描述的介質(zhì)性質(zhì)也有所不同.在本文中,我們研究非均勻非線性介質(zhì)

其中ε0是真空電容率,f是任意可導(dǎo)函數(shù).這個介電函數(shù)表明我們要研究的介質(zhì)具有冪律非均勻因子r-2,而非線性因子可以是任意的.實(shí)際上,隨著材料科學(xué)的發(fā)展,現(xiàn)在通過超材料幾乎可以構(gòu)造出具有任何性質(zhì)的介質(zhì)[28-31].當(dāng)非線性因子f(E)取成指數(shù)函數(shù)的形式：f(E)=exp(αE),其中α是描述介質(zhì)特性的常數(shù),方程組(1)就變成Petrov和Xiong等所討論的情況[6-14,18,19,27].

3 行波解

本文只考慮電場分量E(r,t)的行波精確解,這時磁場分量H(r,t)的解可通過對方程組(1)積分得到.我們指出方程組 (1)與 (2)不存在形如E(r,t)=g(r-kt)的非平凡平面行波解,其中g(shù)為任意可導(dǎo)函數(shù),k為表示波速的任意常數(shù).這里非平凡意味著E不恒為常數(shù),以及k/=0.

實(shí)際上,消去麥克斯韋方程組(1)與磁場H有關(guān)的項(xiàng)后,我們得到如下二階非線性偏微分方程：

若是電場E具有形式E=g(r-kt),令w=r-kt,將E=g(w)代入偏微分方程(3),經(jīng)過一些計算后可得：

方程 (4)可以看成關(guān)于變量r的代數(shù)方程,解出r得到：

這個等式與此前w=r-kt的定義相矛盾,從而表明E=g(w)=g(r-kt)的假設(shè)不能成立.

對方程組(6)消去η變量,可得：

化簡非線性常微分方程(8),可得

微分方程(9)的解可由隱函數(shù)表示：

其中c1,c2是任意常數(shù).(10)式給出了方程組 (6)中ξ函數(shù)的平面行波解.我們將(10)式中u,v分別由原來的變量r,t替換,便可得到柱面非線性麥克斯韋方程組(1)與(2)的廣義行波解：

這里c0=(ε0μ0)-1/2表示真空光速,函數(shù)g是由非線性因子f(ξ)決定的函數(shù);其他符號如前所述, (N/C)表示電場E在國際單位制下的單位,c1及c2表示任意常數(shù),r0表示一個具有長度量綱的常數(shù), k則是表示波速的無量綱常數(shù).注意若k取負(fù)值,那么隨著時間的增加柱面波會向半徑減小的方向傳播;反之,則向半徑增大的方向傳播.在忽略反射的情況下,如果激發(fā)柱面行波 (11)的激勵源在柱心處,則行波會向外(半徑增大的方向)傳播,此時k＞0;如果激勵源在r=R處,為便于討論,我們將介質(zhì)(2)的邊界取為R,則對于R之內(nèi)的區(qū)域而言,行波是向內(nèi)(半徑減少的方向)傳播的,此時k＜0.向外傳播的柱面行波(11)相當(dāng)于向內(nèi)傳播情況的時間反演,即對于柱心處的激勵源,我們可以找到一個邊界r=R處的鏡像源,該鏡像源在R之內(nèi)激發(fā)的行波按時間t負(fù)方向的演化等價于柱心源激發(fā)的行波按時間t的演化,因此接下來我們只討論源在邊界處的情況.此時由源激發(fā)的柱面行波(11)的初始加速度必定要滿足

而邊界值要滿足

4 解的物理意義

我們在這一部分討論所獲得的行波解 (11)的物理意義. 考慮一個半徑為R的圓柱形腔體,其中填滿非均勻非線性非色散介質(zhì)ε(r,E)=,這種介質(zhì)的典型代表是鐵電體[32,33].取r0=1(m),,c1=1, c2=0,其中(m),(m/s)分別為國際單位制下長度和速度的單位.則由(11)式可得柱面電磁波(1)式電場分量的行波解為

由此解可以很容易構(gòu)造出所需的初邊值條件：

其中各物理量的單位已被消除,E,r與t分別表示無量綱的電場、半徑與時間.

初邊值條件為

同樣,E,r與t分別表示無量綱的電場、半徑與時間.

圖1 (a)行波解(12)的電場與ln r在不同時刻的關(guān)系;(b)行波解(13)的電場與ln r在不同時刻的關(guān)系Fig.1.(a)The electric field of traveling wave solu tion(12)as function of ln r at various times;(b)the electric field of traveling wave solution(13)as function of ln r at various times.

圖2 (a)行波解(12)的電場與r在不同時刻的關(guān)系;(b)行波解(13)的電場與r在不同時刻的關(guān)系;(c)行波解(12)的電場與t在不同位置處的關(guān)系;(d)行波解(13)的電場與t在不同位置處的關(guān)系Fig.2.(a)The electric field of traveling wave solu tions(12)as function of r at various times;(b)the electric field of traveling wave solutions(13)as function of r at various times;(c)the electric field of traveling wave solutions (12)as function of t at different locations;(d)the electric field of traveling wave solutions(13)as function of t at d iff erent locations.

顯然,不論(11)式中的函數(shù)g取何種形式,只要波速參數(shù)k＜0,電場的波形在半徑越小的地方就會推進(jìn)得越慢,而在半徑越大的地方推進(jìn)得越快,從而波形會變得越來越陡;理論上當(dāng)時間t=+∞時,在r=0處會形成沖擊波.

5 結(jié) 論

柱面非線性麥克斯韋方程組的求解是目前的研究熱點(diǎn)與前沿之一,但由于它在數(shù)學(xué)上的極端復(fù)雜性,在任意初邊值條件下,目前人們只對一類非線性形式給出了精確解,進(jìn)一步的研究遇到了很大的困難.在本文中,我們在某些特定的初邊值條件下,針對更為廣泛的非線性情形,討論柱面非線性麥克斯韋方程組的行波精確解.通過研究發(fā)現(xiàn)所討論的柱面電磁模型沒有普通的平面行波解,而是存在一種廣義的行波解.這個廣義的行波解有著獨(dú)特的性質(zhì)：隨著位置的不同,電場波形的傳播速度也不同,從而會形成某種類似于自陡的現(xiàn)象.通過設(shè)計特殊的結(jié)構(gòu)與合適的激勵源,我們的工作在實(shí)際中對鐵電體分析、新型材料的電磁性質(zhì)研究等有一定意義,在理論上則為柱面非線性麥克斯韋方程組的研究提供了新的思路與結(jié)論.

感謝陳凱杰博士和張霄博士的討論和幫助.

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(Received 3 February 2017;revised manuscript received 16 April 2017)

Traveling wave solutions of the cylindrical nonlinear Maxwell’s equations

Hu Liang Luo Mao-Kang?

(Departm ent ofM athem atics,Sichuan University,Chengdu 610065,China)

Study on p ropagation of cy lind rical electrom agnetic waves in various inhom ogeneous and nonlinear m edia is of fundamental importance,which can be described by the cylindricalnonlinear Maxwell’sequations.In recent years,finding exact solutions for these equations has em erged as a popular research topic.The exact solutions play an irrep laceable role in understanding and predicting physical phenomena,and developing numerical calculation methods,and so on. However,due to the extrem e com plexity of nonlinear partial differential equations,exact solutions of the cylindrical M axwell’s equationswere only ab le to be obtained in a nonlinear and nondispersivem edium whose dielectric function is an exponential function in previous researches.Actually,there is no generalmethod at present which can exactly solve arbitrary cy lind rical nonlinear M axwell’s equations.Therefore,finding physically adm issib le solutionsm eeting certain particu lar condition for the cylindrical nonlinear M axwell’s equationsmight be feasible.

In this paper,we discuss the traveling wave solutionswhich are very im portant in electromagnetic theory,especially in solitary wave theory.To our know ledge,research on obtaining traveling wave solutions of the cylindrical nonlinear M axwell’s equations is still lacking.Them ain conclusions in this paper are listed as follow s.

Firstly,we introduce the cy lind rical nonlinear Maxwell’s equationsmentioned in some previous publications,which can describe cylindricalelectrom agnetic waves propagation in inhom ogeneous nonlinear and nondispersivem edia.In this paper,we focus on the nondispersivem edia with arbitrary nonlinearity and power-law inhom ogeneity.

Second ly,we point out that the electric field com ponent E of the model has no p lane traveling wave solutions E=g(r-kt),after theoretical analysis and study.Then generalized traveling wave solutions in form of E=g(ln r-kt) for the electric field com ponent are obtained by finding correct variable substitution and solving second-order nonlinear ordinary differential equation.

Finally,we p rovide two exam p les to show the physicalm eanings of our generalized traveling wave solutions.We find that the transm itting speeds of vibrations vary with different points of the electric field.Actually,the transm itting speed of the vibration of a certain point closer to the cylinder center is lower.As a resu lt,we observed a physical phenom enon sim ilar to that of“self-steepening”.

Our work can be used to analyze the electromagnetic properties of ferroelectric materials and new materials. Theoretically,it can also provide an approach to studying the cylindrical nonlinear M axwell’s equations.

cylindrical electromagnetic waves,nonlinearmedia,traveling wave solutions,self-steepeningPACS:03.50.De,02.30.Jr DO I:10.7498/aps.66.130302

PACS:03.50.De,02.30.Jr DO I:10.7498/aps.66.130302

?通信作者.E-m ail:m akaluo@scu.edu.cn

?Corresponding author.E-m ail:m akaluo@scu.edu.cn