李倩文 李瑩 張榮 盧燦燦 白龍

(中國礦業(yè)大學物理學院,徐州 221116)

線性與非線性傳熱過程的Cu rzon-Ah lborn熱機在任意功率時的效率?

李倩文 李瑩 張榮 盧燦燦 白龍?

(中國礦業(yè)大學物理學院,徐州 221116)

(2017年1月31日收到;2017年4月28日收到修改稿)

熱機性能的優(yōu)化是熱力學領(lǐng)域的一個重要問題,而工質(zhì)與熱源之間的傳熱過程是熱機工作時產(chǎn)生不可逆的主要來源.本文在引入功率增益和效率增益兩個重要參數(shù)的基礎(chǔ)上,基于一個簡化的Curzon-Ahlborn熱機模型并利用合比分比原理,給出了線性與非線性傳熱過程的熱機在任意功率輸出時的效率表達式,結(jié)合數(shù)值計算詳細討論了熱機在任意功率輸出時的特性.研究表明,參數(shù)ξ作為功率增益δP的函數(shù)存在兩個分支：在第一分支上(不利情形),效率呈現(xiàn)出單調(diào)變化特征;在第二分支上(有利情形),效率隨著的δP變化是非單調(diào)的且有最大值.隨著傳熱指數(shù)的增加,熱機的工作區(qū)域減小,這源于非線性傳熱過程包含熱輻射所致.進一步發(fā)現(xiàn)功率-效率關(guān)系曲線存在權(quán)衡工作點,熱機在該點附近工作能夠?qū)崿F(xiàn)最有效的熱功轉(zhuǎn)換.研究結(jié)果有助于深入理解具有不同傳熱過程熱機的優(yōu)化執(zhí)行.

功率增益,效率增益,任意功率,效率

1 引 言

熱機是將外界輸入的熱能轉(zhuǎn)變成有用功的裝置,熱機效率的改進成為第一次工業(yè)革命的引擎,這是自然科學指導人類生產(chǎn)實踐的典型范例.迄今為止,熱功轉(zhuǎn)換一直是熱力學領(lǐng)域中的一個重要問題,熱機性能的優(yōu)化成為熱力學發(fā)展的驅(qū)動力之一.當前,隨著經(jīng)濟的全球化與社會的快速發(fā)展,能源的需求導致不可再生能源(例如：石油,煤炭等)日益枯竭,尋找可再生能源和提高熱裝置的熱功轉(zhuǎn)換效率是人類得以可持續(xù)發(fā)展的根本保證.一個不爭的事實是：所有熱機的工作效率的上限是卡諾效率ηC=1-TL/TH,這里TH和TL分別是高低溫熱源的溫度.雖然基于平衡態(tài)熱力學的卡諾定理是熱力學第二定律的基石,但熱機要想達到卡諾效率,要求其工作過程為準靜態(tài)過程,這導致熱機無功率輸出,致使卡諾熱機的實際應用受到極大的限制.眾所周知,所有實際熱機都是在有限時間條件下工作的,Curzon和Ahlborn[1]在1975年基于內(nèi)部可逆假設提出了一個有限時間條件下的熱機模型,給出了熱機在最大功率輸出時的效率,即CA效率但在更早些時候,Reitlinger, Yvon,Chambadal和Novikov已經(jīng)做出了類似的結(jié)果,上述研究工作導致了“有限時間熱力學”成為熱力學的一個嶄新領(lǐng)域[2-4].

事實上,CA效率是線性非平衡熱力學框架下的熱機效率的一個基本結(jié)果[5].值得注意的是,CA效率的獲得是基于一個線性熱轉(zhuǎn)移過程,即熱源和工質(zhì)之間的熱傳導滿足牛頓熱傳導規(guī)律.然而,實際熱機在工作過程中工質(zhì)和熱源之間的傳熱過程通常是復雜的,這使得研究具有非線性傳熱過程熱機的性能優(yōu)化更加具有理論和工程實踐意義.1993年,Angu lo-Brown和Paez-Hernandez[6]考慮了熱源和工質(zhì)之間的傳熱過程滿足一個非線性傳熱定律,即Dulong-Petit定律,并詳細討論了滿足非線性傳熱過程的熱機特性.Huleihil和Andresen[7]研究了對流型傳熱過程對于一個內(nèi)部可逆熱機性能的影響,給出了該熱機優(yōu)化的功率和效率的近似解析公式.文獻[8-11]較為系統(tǒng)地研究了工質(zhì)與熱源之間的熱傳遞過程對于不可逆Carnot-like熱機功率與效率的影響,給出了優(yōu)化功率(效率)與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系.Liang等[12]基于最小熵原則分析了多種傳熱過程條件下熱機的熱功轉(zhuǎn)換特征,給出了優(yōu)化熱機性能的一般性方法.這些工作極大地促進了熱源與工質(zhì)傳熱過程(包括線性或非線性)如何影響熱機性能的相關(guān)問題研究[13-16].

另一方面,實際的熱電廠和真實熱機并不是在最大功率時工作的,這主要是因為最大功率輸出時熱機的效率相對較小,而在比最大功率稍微小的功率工作時,熱機能夠獲得較大的熱功轉(zhuǎn)換效率. W hitney[17,18]著重分析了量子器件在任意功率輸出時的性能,給出了量子熱機在有限功率輸出時效率和功率的上限.受W hitney工作的啟發(fā),Ryabov和Holubec[19]討論了宏觀低耗散熱機模型在任意功率時的優(yōu)化問題,給出了最大效率和功率增益因子的關(guān)系.因此,研究任意功率(非最大功率)輸出時熱機性能的優(yōu)化問題更具有工程實踐意義[20,21].然而,熱機的不可逆工作過程主要源自于熱源和工作流體之間的傳熱過程,這種熱傳遞過程如何影響熱機在任意功率輸出時的性能卻很少有人關(guān)注.因此,本文系統(tǒng)地研究了具有線性和非線性傳熱過程的熱機在任意功率輸出條件下的性能優(yōu)化問題.基于一個簡化的CA熱機模型并且結(jié)合代數(shù)中的等比和分比原則,解析性地推導出了任意功率輸出時熱機的效率與功率增益之間關(guān)系,并進一步討論了熱機性能優(yōu)化與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系,研究結(jié)果有助于人們深入理解真實熱機的執(zhí)行過程.

2 線性與非線性傳熱Curzon-Ahlborn熱機和理論公式

本文所研究的CA熱機及其周圍環(huán)境如圖1(a)所示,這里TH和TL分別是高低溫熱源的溫度,THC和TLC分別是工質(zhì)(工作流體)和高低溫熱源等溫接觸時的溫度(TH＞THC＞TLC＞TL).當工質(zhì)在與高低溫熱源等溫接觸過程中,其傳熱過程滿足如下規(guī)律：

這里α為傳熱系數(shù),n為傳熱指數(shù).當n=1時,對應的是線性傳熱規(guī)律;當n=5/4時,對應的是非線性傳熱過程的Dulong-Petit定律.積分方程(1)和(2),可以獲得工質(zhì)與高低溫熱源接觸過程中吸收和放出的熱量：

圖1 (a)CA熱機模型;(b)簡化的CA熱機模型Fig.1.(a)The CA heat enginemodel;(b)a sim p lified version of the CA heat engine.

這里面th和tc分別是工質(zhì)與高低溫熱源的接觸時間.相比于兩個等溫過程,熱機的兩個絕熱過程持續(xù)的時間較短,可以忽略不計,這種近似滿足CA熱機的內(nèi)部可逆假設要求.根據(jù)熱力學第二定律,兩個等溫過程有如下關(guān)系,

熱機的功率(P)和效率(η)可以分別表示為：

為了研究熱機在任意功率時的性能,我們引入了功率增益因子(δP)和效率增益因子(δη),分別表示為：

其中Pmax為熱機的最大功率,ηmaxP為熱機最大功率時的效率,且-1≤δP≤0.

為了優(yōu)化CA熱機的性能,我們定義工質(zhì)與高溫熱源接觸時,工質(zhì)和熱源之間的溫差為x=TH-THC;工質(zhì)與低溫熱源接觸而放熱時,工質(zhì)與低溫熱源的溫差為y=TLC-TL.參數(shù)(x,y)為深入研究熱機的執(zhí)行提供了有效途徑.如果令x=y,經(jīng)典的CA熱機模型可以約化為一個簡化的CA熱機模型[22],這個簡化的CA熱機模型能夠在優(yōu)化熱機性能時避免繁雜的數(shù)學計算,更為重要的是它能夠較好地反映不可逆熱機的工作過程,并且已被證明是一個有效的熱機模型[23],簡化的CA熱機模型如圖1(b)所示.這樣 QHC=αxnth和QLC=αxntc,基于方程(5)可以得到如下公式：

利用代數(shù)中的合比分比原理,可以得到

關(guān)于合比分比原理,可以詳見附錄A.利用方程(6)和(10),非線性傳熱熱機的功率可以表示為

將功率P對變量x求導,并且滿足極值條件,即d P/d x=0.這樣,滿足最大功率輸出時

將方程(12)代入方程(11),最大功率為

將方程(12)代入方程(7)并結(jié)合方程(9),最大功率時的效率為

結(jié)合方程(14)和(16),任意功率時的效率可以表示為

圖2 (網(wǎng)刊彩色)P/Pmax與ξ的關(guān)系曲線Fig.2.(color online)The relation curve of P/Pmax vsξ.

理解任意功率時熱機執(zhí)行的關(guān)鍵是建立效率與功率增益的關(guān)系.基于方程(15),功率增益因子δP與ξ的關(guān)系為

當n=1時(即傳熱過程滿足線性規(guī)律),可以得到方程(18)的2個解析解(兩個分支)：

當取n=5/4(即傳熱過程滿足非線性規(guī)律)時,解析求解(18)是非常困難的.利用數(shù)值計算,可以給出方程(18)的兩個數(shù)值解(兩個分支),這里假設數(shù)值解可以寫為

將(19)-(22)式代入(17)式,任意功率時的效率(η)與功率增益因子(δP)的關(guān)系可以被確立,這為進一步認識熱機以有限功率輸出時的性能提供了有力工具.

3 數(shù)值計算結(jié)果與討論

圖3 (網(wǎng)刊彩色).與ξ的關(guān)系曲線.Fig.3.(color on line)The relation cu rve of vsξ.

為了進一步研究任意功率輸出時熱機的效率,認識ξ與功率增益δP的關(guān)系是非常重要的.我們在第二部分給出了兩種傳熱過程條件下ξ與功率增益δP的關(guān)系[見方程(19)-(22)],基于這些函數(shù)關(guān)系式,圖4給出了 ξ隨著δP的變化特征曲線.兩種傳熱過程條件下ξ-δP的特征曲線均包括兩個分支：熱機工作在第1分支(也稱不利分支)上時,當x相對于x?減小時,功率的減小伴隨著效率的降低;熱機操作在第2分支(也稱有利分支)上時,當x相對于x?增加時,功率的增加伴隨著效率的增強,甚至大于最大功率時的效率ηmaxP,參見圖2和圖3.非線性傳熱過程的ξ-δP特征曲線包含在線性傳熱過程的ξ-δP特征曲線之中.基于方程(17)并結(jié)合關(guān)系式(19)-(22),圖5和圖6分別給出了線性和非線性傳熱情況下熱機效率η作為溫度比(TL/TH)和效率增益(δP)函數(shù)的等高線圖.從圖5(a)和圖6(a)可以看出,對于ξ取第1分支時,η隨著TL/TH或者|δP|的增加單調(diào)減少;當ξ取第2分支時,η隨著TL/TH增加而減小,而隨著|δP|的增加先達到最大值,然后逐漸減小甚至消失.值得注意的是,雖然兩種傳熱過程熱機效率的等高曲線是相似的,但是線性傳熱熱機工作區(qū)域大于非線性傳熱熱機的工作區(qū)域.線性傳熱過程僅由熱傳導支配工質(zhì)和熱源之間的熱交換,而非線性傳熱過程還包含熱輻射過程,這導致熱機工作時的不可逆程度和熱損失增加.因此,熱機工作在非線性傳熱過程時,工作區(qū)域以及效率會相應減小.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)ξ與δP的關(guān)系曲線Fig.4.(color on line)The relation cu rve ofξvsδP.

為了進一步闡釋不同傳熱過程對于熱機效率的影響,在固定TL/TH=0.5的情況下,圖7給出了兩種傳熱條件下任意功率時的效率η與功率增益δP的關(guān)系曲線.從圖7可以看出,無論是線性或者非線性傳熱過程,η均是δP的雙值函數(shù),這是ξ-δP特征曲線的兩分支結(jié)構(gòu)在效率η與功率增益δP關(guān)系曲線中的反映.發(fā)現(xiàn)η-δP的曲線是閉合的“環(huán)”狀結(jié)構(gòu),除了重合之處外,線性傳熱過程的效率大于非線性傳熱過程的效率,這源于較復雜的非線性傳熱過程引起熱損耗增加所致.進一步發(fā)現(xiàn),ξ第2分支(虛線)上的效率值明顯大于第1分支(實線)上的效率,因為熱機工作在有利分支上時,能實現(xiàn)更大效率的輸出.另外,η隨著δP變化的最大值出現(xiàn)在|δP|較小的值附近而不是δP=0處,即熱機以比最大功率稍小的功率輸出時能夠獲得最大效率.這意味著熱機工作性能曲線存在著權(quán)衡工作點,在該點附近工作的熱機能實現(xiàn)最有效的熱功轉(zhuǎn)換.從應用角度來看,這些結(jié)果為如何優(yōu)化熱機的執(zhí)行提供了有效途徑.

圖5 (a)線性傳熱情況下效率η作為TC/TH和δP函數(shù)的等高線圖,ξ取第1分支; (b)線性傳熱情況下效率η作為TC/TH和δP函數(shù)的等高線圖,ξ取第2分支Fig.5.(a)Forξ=ξ1,the contou r-line p lot ofηas functions of TC/TH andδP with the linear heat transfer process; (b)forξ=ξ2,the contou r-line p lot ofηas functions of TC/TH andδP with the linear heat transfer process.

圖6 (a)非線性傳熱情況下效率η作為TC/TH和δP函數(shù)的等高線圖,ξ取第1分支; (b)線性傳熱情況下效率η作為TC/TH和δP函數(shù)的等高線圖,ξ取第2分支Fig.6.(a)Forξ=ξ1,the contou r-line p lot ofηas functions of TC/TH andδP with the nonlinear heat transfer process;(b)forξ=ξ2,the contour-line p lot ofηas functions of TC/TH andδP with the nonlinear heat transfer process.

最后,根據(jù)方程(16),功率增益δη表示為

方程(19)-(22)提供了線性與非線性傳熱情況下ξ與功率增益δP的公式,結(jié)合(23)式與方程(19)-(22),可以獲得δη-δP的關(guān)系曲線.對于線性傳熱過程,分別對應于ξ第1分支和第2分支的功率增益與效率增益的關(guān)系為

而對于非線性傳熱過程,分別對應于ξ第1分支[方程(21)]和第2分支[方程(22)]的δη-δP的關(guān)系為

基于方程(24)-(27),圖8給出了功率增益δη與效率增益δP的關(guān)系曲線.從圖8可以看出,兩種傳熱情況下的 δη-δP曲線均為“環(huán)”形狀的閉合曲線,在第1分支上曲線幾乎重合(實黑線和實紅線所示),而在第2分支上線性和非線性傳熱過程的δη-δP曲線略有差別(黑虛線和紅虛線所示),這種微小的差異源于不同傳熱過程對于熱機工作的影響.

圖7 (網(wǎng)刊彩色)任意功率時的效率η與功率增益δP的關(guān)系,對應卡諾效率ηC=1-TC/TH=0.5Fig.7.(color on line)The relation curve of the efficiency at arbitrary power(η)asa function of the power gain(δP).Here,the correspond ing Carnot efficiency ηC=1-TC/TH=0.5.

圖8 (網(wǎng)刊彩色)效率增益δη與功率增益δP的關(guān)系,對應卡諾效率ηC=1-TC/TH=0.5Fig.8.(color on line)The relation cu rve of the efficiency gain(δη)as a function of the power gain (δP).Here,the corresponding Carnot efficiencyηC= 1-TC/TH=0.5.

4 結(jié) 論

熱機性能的優(yōu)化對于工程實踐和國民經(jīng)濟的可持續(xù)發(fā)展有著重要意義.實際熱機在工作過程中輸出最大功率時其效率并非最大,而以略小于最大功率輸出時能夠獲得最大效率.本文基于一個簡化的CA熱機模型,分析了熱機工作過程中不同的傳熱過程對于熱機性能的影響.基于兩個引入的參數(shù)：功率增益和效率增益,并且結(jié)合分比合比定理,給出了線性和非線性傳熱過程熱機的最大功率、最大功率時的效率以及任意功率時效率的普遍公式.進一步發(fā)現(xiàn)參數(shù)ξ作為功率增益δP的函數(shù)存在2個分支.在此基礎(chǔ)上,我們詳細地給出了不同傳熱過程的熱機在任意功率輸出時的效率與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)含非線性傳熱過程的熱機的工作區(qū)域小于線性傳熱過程的熱機,這主要因為非線性傳熱過程存在著熱輻射,而且隨著傳熱指數(shù)的增加, η/ηmax的最大值略有增加且左移.任意功率時效率η作為TL/TH和δP函數(shù)的等高線圖表明：對應于ξ-δP的第1分支,η隨著TL/TH和|δP|增加呈現(xiàn)出單調(diào)減少的趨勢;對應于ξ-δP的第2分支,η隨著TL/TH增加而單調(diào)變化,但η隨著|δP|的增加呈現(xiàn)出非單調(diào)特征,在TL/TH與|δP|均較小的區(qū)域存在效率最大值.非線性傳熱過程的熱機的執(zhí)行區(qū)域略有減小,這主要源于非線性傳熱過程的復雜性所致.兩種傳熱過程的熱機的η-δP的曲線具有閉合“環(huán)”狀特征,當|δP|→0和|δP|→1時,熱機的η-δP的曲線存在一定的重疊,而在其他區(qū)域,傳熱指數(shù)較小(線性傳熱過程)的熱機效率大于傳熱指數(shù)較大(非線性傳熱過程)的熱機效率;在熱機以比最大功率稍小的功率輸出工作時,可以實現(xiàn)最大效率的執(zhí)行,這表明熱機實現(xiàn)最佳性能工作時存在著權(quán)衡工作點.另外,兩種傳熱過程的熱機效率增益和功率增益的關(guān)系曲線也呈現(xiàn)出閉合“環(huán)”形狀,在ξ-δP的第2分支上略有差別.本文的研究結(jié)果不僅能夠幫助我們深入理解不同傳熱過程如何影響實際熱機的性能,而且對優(yōu)化受控于不同傳熱過程實際熱機也是有價值的.

附錄A 合比分比定理

在此我們對正文中用到的合比分比定理給予簡要介紹.假設

這里面α/=β,β/=0,ν/=0.令方程(A 1)兩邊同時加上1,得到如下等式

再令方程(A 1)兩邊同時減去1,得到如下等式

讓方程(A 3)除以方程(A 2),則

這個恒等式還可以寫為

方程(A 4)就是著名的合比分比定理,在正文中推導方程(10)的過程中,我們用到了此定理.

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(Received 31 January 2017;revised manuscript received 28 April 2017)

Efficiency at arbitrary power for the Curzon-Ahlborn heat engine in linear and nonlinear heat transferprocesses?

LiQian-Wen Li Ying Zhang Rong Lu Can-Can Bai Long?

(School of Physics,China University ofM ining and Technology,Xuzhou 221116,China)

The optimal performance of heat engine is an im portantissue in thermodynam ics,but the heat transfer between the working medium and two heat reservoirs induces the irreversibility during the operation of heat engine.Based on two im portant param eters introduced in this paper(nam ely,the power gain and the efficiency gain),for heat engine operating in the linear and nonlinear heat transfer processes,the formula for the efficiency at arbitrary power is achieved in terms of a simplified Curzon-Ah lborn heat enginemodel and the“componendo and dividendo”rule.The features of heat engine at arbitrary power output are also discussed in detail based on the num erical calculations.It is indicated that the parameterξas a function of the power gainδP contains two branches:the efficiency shows themonotonous variation on the first branch(the favorable case);the efficiency exhibits the non-m onotonous characteristics and has the maximum value on the second branch(the un favorable case).The working region of the heat engine is reduced as the heat transfer exponent increases,which results from the radiative contribution in the nonlinear heat transfer process. For the fi rst branch,the contour-line p lot ofηversus TL/THandδP clearly dem onstrates thatηhas the decreasing trend with increasing TL/THand|δP|;for the second branch,ηmonotonically deceases as TL/THincreases,butηshows the non-monotonic behaviors as|δP|increases.The efficiency has themaximum value in the region where TL/THand|δP| have the sm all values,and the working regim e of heat engines in the nonlinear heat transfer process is relatively sm all due to the com plexity of the nonlinear heat transfer process.The curves of the efficiency in two heat transfer processes are loop-shaped,when|δP|→ 0 and|δP|→ 1,the curves ofη～δP in two heat transfer processes are sam e.But in other regim es,the efficiency of the heat engine with the linear heat transfer process is bigger than in the nonlinear heat transfer process.Furthermore,it is found that a considerably larger efficiency can be obtained when heat engine working close to them aximum power.This im p lies that there exists the trade-off working point where the heat engine can perform the m ost effective heat-work conversion.In addition,the curves of the power gain vs.the efficiency gain also display the loop-shaped characteristics,but there is the weak difference on the second branch.Our results are very conducive to understanding the op tim al perform ance of heat engines in different heat transfer processes.

power gain,efficiency gain,arbitrary power,efficiency

PACS:05.70.Ln,05.20.-y,05.70.-a DO I:10.7498/aps.66.130502

?中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(批準號:2015XKM S082)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:bailong2200@163.com

PACS:05.70.Ln,05.20.-y,05.70.-a DO I:10.7498/aps.66.130502

*Pro ject supported by the Fundam ental Research Funds for the Central Universities,China(G rant No.2015XKM S082).?

.E-m ail:bailong2200@163.com