景 軒 譚援強(qiáng) 朱 杰

1.湘潭大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湘潭，411105 2.華僑大學(xué)制造工程研究院，廈門，3610213.湖南崇德工業(yè)科技有限公司，湘潭，411133

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徑向磁軸承磁路耦合對(duì)磁力的影響及其解耦控制策略

景 軒1譚援強(qiáng)2朱 杰3

1.湘潭大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湘潭，411105 2.華僑大學(xué)制造工程研究院，廈門，3610213.湖南崇德工業(yè)科技有限公司，湘潭，411133

由于磁路在磁軸承定子磁極間的耦合，磁力的分布會(huì)發(fā)生變化，致使理論模型推導(dǎo)的控制電流難以提供準(zhǔn)確的回復(fù)力。基于Boit-Savart定理建立了磁場(chǎng)分布模型并分析了磁路耦合的影響因素；建立了考慮磁路耦合的磁力等效模型；分析了磁路耦合對(duì)磁力誤差的影響，并提出了解耦控制策略；進(jìn)行了電磁場(chǎng)仿真，驗(yàn)證了解耦控制的正確性；通過(guò)磁軸承穩(wěn)態(tài)懸浮實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了解耦控制策略的有效性。

磁力軸承；磁耦合；解耦控制；有限元分析

0 引言

電磁軸承是利用磁力使轉(zhuǎn)子懸浮的非接觸式軸承[1]，其轉(zhuǎn)軸位置需要實(shí)時(shí)控制，如何提高控制性能是主動(dòng)磁軸承研究的重中之重[2]。為提高控制力的準(zhǔn)確性，需要充分考慮各種因素對(duì)磁力的影響，其中，磁路耦合就是引起控制力誤差的主要因素。沒有耦合時(shí)，控制器可以根據(jù)傳感器反饋的位置信息提供準(zhǔn)確的控制電流從而產(chǎn)生合理的回復(fù)力；事實(shí)上，耦合的發(fā)生不可避免，控制器由反饋信息而輸出的控制電流已經(jīng)不能提供理想的回復(fù)力，會(huì)造成控制誤差，在耦合程度較大時(shí)，甚至導(dǎo)致控制失效?；贐oit-Savart定理的圓電流磁場(chǎng)分布[3]和軸對(duì)稱線圈磁場(chǎng)分布規(guī)律[4]，楊靜等[5]得出轉(zhuǎn)子的徑向撓動(dòng)會(huì)引起磁通方向的變化從而產(chǎn)生磁力耦合的結(jié)論，胡業(yè)發(fā)等[6]針對(duì)八磁極電磁軸承的磁力耦合推導(dǎo)了轉(zhuǎn)子偏心下的磁力分布模型；董宏林等[7]對(duì)四磁極電磁軸承的磁路耦合力進(jìn)行了理論分析；王曉光等[8]提出耦合特性會(huì)受定子結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，討論定子結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)磁路耦合的影響。在控制方面，宗鳴等[9]對(duì)四磁極兩自由度磁力耦合提出了一種前饋解耦控制。通過(guò)對(duì)目前先進(jìn)的磁軸承控制算法缺點(diǎn)的對(duì)比[10]，筆者考慮了轉(zhuǎn)子擾動(dòng)引起的磁通方向變化和磁力耦合，推導(dǎo)出了二維平面內(nèi)的八磁極電磁軸承磁場(chǎng)分布模型，以此來(lái)分析控制電流和幾何參數(shù)對(duì)磁路分布的影響，提出了一種消除磁路耦合影響的電流修正控制策略。

1 磁場(chǎng)分布模型

基于Boit-Savart定理進(jìn)行磁場(chǎng)分布理論分析，定義磁路耦合系數(shù)，定性分析控制電流大小、通電模式和定子幾何結(jié)構(gòu)對(duì)磁路分布的影響。圖1為磁路分析原理圖。圖1中，定子內(nèi)徑為D，磁極寬度為w，磁極高度為h，極靴高度為h0，極靴弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，線圈通電電流I，磁極半角θ0=π/8，耦合發(fā)生角為φ0。從φ正向(Y正向)右邊磁極開始，逆時(shí)針對(duì)磁極編號(hào)i=1，2,…,8。

圖1 磁路分析原理圖Fig.1 Principle of magnetic flux distribution

根據(jù)Boit-Savart定理，對(duì)于恒流場(chǎng)，電流強(qiáng)度為I、長(zhǎng)度為l的載流導(dǎo)體，在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

(2)

r=(ρPcosφ-ρcosθ)x+(ρPsinφ-ρsinθ)y+0z

(3)

式中，μr為磁軸承定子徑向范圍內(nèi)任意一點(diǎn)P(ρP，φ)處的相對(duì)磁導(dǎo)率;r為從電流元所在位置指向場(chǎng)點(diǎn)的矢徑。

距離軸心ρ處的單匝矩形線圈可分解為四段lab、lbc、lcd、lda進(jìn)行積分，l=lab+lbc+lcd+lda，其中，線圈長(zhǎng)邊長(zhǎng)度lab=lcd=w，寬邊長(zhǎng)度為定子厚度lbc=lda=lS。由于軸承定子軸向?qū)ΨQ，線圈ab與cd邊對(duì)任意點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直于定子橫截面且等大、反向、相互抵消，因此可將定子線圈視為厚度為零的薄片。僅考慮dlbc和dlda對(duì)P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響：

(4)

dlbc=0x+0y-z=-dlda

(5)

單極線圈匝數(shù)為N，徑向單位長(zhǎng)度匝數(shù)n=N/h，徑向單位長(zhǎng)度電流為nI，忽略線圈直徑對(duì)r的影響。得第i個(gè)磁極上N匝線圈在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

((ρPsinφ-ρsinθil)x-(ρPcosφ-ρcosθil)y)/

(6)

θir=θi-w/(D+2h0)θil=θi+w/(D+2h0)

其中，θi為第i個(gè)磁極中心線與ρ軸正向(X正向)的夾角，θi=(2i+1)θ0；采用NNSS通電方式，第i個(gè)磁極上的控制電流為Ii。

P點(diǎn)總電磁感應(yīng)強(qiáng)度B(ρP,φ)為8個(gè)磁極磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和：

(7)

P點(diǎn)總周向磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

(8)

在某磁極根部，即ρ=D/2+h0+h處，若有Bφ(φ0)=0，則該磁極在(ρ，φ0)處，磁感線的周向環(huán)繞方向發(fā)生了變化，磁路開始耦合。圖2為控制電流為零時(shí)，在磁極根部，將磁感應(yīng)強(qiáng)度周向分量從φ=0°開始逆時(shí)針展開得到的周向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖，圖中各個(gè)磁極處的周向磁感應(yīng)強(qiáng)度沒有穿過(guò)零軸，各個(gè)磁極處的周向磁感應(yīng)強(qiáng)度均沒有發(fā)生方向變化，即沒有磁路耦合發(fā)生。

圖2 偏置電流下的周向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布Fig.2 Magnetic induction circumferential distribution under the bias exciting current

為了定量分析磁路耦合對(duì)磁力誤差和控制電流的影響。定義參數(shù)α來(lái)評(píng)價(jià)磁路的耦合程度。定義第i個(gè)磁極的耦合系數(shù)為

(9)

由于磁路在圓周角為φ0處開始耦合，因此根據(jù)式(9)和幾何關(guān)系得第i個(gè)磁極的耦合系數(shù)：

(10)

式中，θa為磁極角，θa=2w/D+2h0+2h；θc為磁槽角，θc=π/4-θa。

2 磁路耦合的影響因素

理論分析，磁路耦合系數(shù)受控制電流、通電模式和定子結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，因此需要就這些因素對(duì)磁路耦合的影響做出具體分析。

2.1 控制電流對(duì)磁路耦合的影響

圖3所示為不同大小控制電流下極靴根部的周向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布情況。

圖3 控制電流對(duì)磁路耦合的影響Fig.3 Control current impact on flux coupling

對(duì)比圖2、圖3發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Y向控制電流增大時(shí)，磁極1、2、4、7的耦合系數(shù)增大；當(dāng)X向控制電流增大時(shí)，磁極2、5、7、8的耦合系數(shù)增大；當(dāng)Y向、X向控制電流同時(shí)增大時(shí)，磁極2、7的耦合系數(shù)增大；但磁路耦合程度受控制電流變化的影響較小?？筛鶕?jù)圖3的周向磁路分布判斷出不同控制電流下的磁路耦合情況，如圖4所示。

(a)Iy=2 AIx=0 (b)Iy=0Ix=2 A (c)Iy=2 AIx=2 A圖4 不同控制電流下，定子中磁路耦合情況Fig.4 Flux coupling forms excited by different control current

2.2 通電模式對(duì)磁路耦合的影響

不同通電模式下，磁路耦合情況顯著不同[11]。通過(guò)電磁場(chǎng)有限元分析，發(fā)現(xiàn)磁軸承定子結(jié)構(gòu)中占主導(dǎo)地位的磁路由圖5所示的5種模式組成。其中，只有磁路模式Ⅰ是理想情況下得到的磁路，磁路模式Ⅱ～Ⅴ為耦合模式。由于磁路定子結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，磁路模式Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ可以分為X向耦合和Y向耦合，因?yàn)榇帕€不相交，所以2個(gè)方向的耦合不可能同時(shí)出現(xiàn)，本文以Y向耦合為例進(jìn)行分析，如圖5所示。

圖5 磁路耦合模式Fig.5 Flux coupling forms

通過(guò)磁路仿真可見，通電模式對(duì)磁路耦合影響很大，單極通電和對(duì)極通電都會(huì)造成較大的磁路耦合效應(yīng)。不同通電模式下占主導(dǎo)地位的耦合模式如表1所示。

表1 通電模式對(duì)應(yīng)的耦合模式Tab.1 Flux coupling forms under different exciting current

2.3 定子結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)磁路耦合的影響

控制電流Ix=Iy=1 A時(shí)，不同定子內(nèi)徑下，在磁極根部處，從φ=0°開始逆時(shí)針展開后的周向磁路分布如圖6所示。由圖6可知，隨著定子內(nèi)徑的增大，磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，且在各個(gè)磁極處，周向磁感應(yīng)強(qiáng)度耦合磁路所占比例減小，即磁路耦合減弱。

圖6 不同定子內(nèi)徑對(duì)應(yīng)的周向磁場(chǎng)分布Fig.6 Magnetic induction circumferential distribution under the different stator inside diameter

改變極靴高度h0、磁極高度h、磁極寬度w，可以得到類似于圖6的周向磁場(chǎng)分布圖，進(jìn)而得到磁路耦合系數(shù)受磁極參數(shù)變化的影響，分析結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同磁極參數(shù)對(duì)應(yīng)的耦合系數(shù)Fig.7 Coupling coefficient under the different geometry parameters

通過(guò)研究幾何參數(shù)對(duì)磁路分布的影響可知，定子內(nèi)徑、極靴高度、磁極高度和磁極寬度對(duì)耦合系數(shù)影響明顯，隨極靴高度和磁極高度的增大，耦合系數(shù)增大，磁感應(yīng)強(qiáng)度減?。浑S磁極寬度和定子內(nèi)徑的增大，耦合系數(shù)減小，磁感應(yīng)強(qiáng)度增大。

3 磁路耦合的影響

為實(shí)現(xiàn)單個(gè)磁軸承的徑向穩(wěn)定控制，通常通以四極差動(dòng)控制電流，以下研究四極差動(dòng)通電情況下，磁路耦合對(duì)磁力誤差的影響。

3.1 控制力模型

由于硅鋼片的磁導(dǎo)率很大，磁阻很小，可以假設(shè)軸承定子中的磁阻為零，漏磁可忽略不計(jì)，磁化程度在線性范圍內(nèi)，由磁路的安培環(huán)路定理和磁路歐姆定理[12]，建立八磁極電磁軸承等效磁路模型，如圖8所示。為便于說(shuō)明，從Y正向開始，逆時(shí)針對(duì)理想磁路編號(hào)j=1，2，3，4；j=5表示耦合磁路。

圖8 等效磁路模型Fig.8 Flux coupling equivalent model

(11)

式中，d為轉(zhuǎn)子外徑。

存在耦合情況下，各磁路氣隙處磁通分別為

(12)

式中，F(xiàn)j為磁路j的磁動(dòng)勢(shì)，F(xiàn)j=IjN。

零耦合時(shí)，任意磁路理想氣隙磁通為

設(shè)磁路j在磁極i=2j和i=2j-1產(chǎn)生的電磁力大小相等，即

(13)

由于極間氣隙很小，可將極靴氣隙近似為平板模型，取極靴中點(diǎn)對(duì)應(yīng)氣隙作為平均氣隙進(jìn)行計(jì)算。設(shè)一對(duì)磁極單位面積上產(chǎn)生的磁力大小相等，磁力方向隨轉(zhuǎn)子的位置而變化。

圖9 轉(zhuǎn)子擾動(dòng)對(duì)磁力方向的影響Fig.9 Magnetic force direction affected by rotor displacement

(14)

由于理論模型存在磁力誤差，需要修正理論模型使其更精確地表達(dá)實(shí)際物理模型，從而消除磁力，因此需要分析磁力誤差的影響因素。

3.2 耦合磁力誤差分析

磁力誤差是轉(zhuǎn)子擾動(dòng)、磁路耦合和控制電流Ix、Iy的函數(shù)。假設(shè)其他參數(shù)不變，分別考慮這3個(gè)因素對(duì)磁路耦合磁力的影響。在不同控制電流和不同轉(zhuǎn)子偏移下，磁力誤差隨耦合系數(shù)的變化如圖10、圖11所示。

圖10 耦合系數(shù)對(duì)Y向磁力誤差的影響Fig.10 Magnetic force error(Y direction) affected by coupling coefficient

圖11 耦合系數(shù)對(duì)X向磁力誤差的影響Fig.11 Magnetic force error(X direction) affected by coupling coefficient

當(dāng)耦合發(fā)生在Y向時(shí)，X向控制電流變化不會(huì)帶來(lái)X向和Y向的磁力誤差；耦合引起的Y向磁力誤差遠(yuǎn)大于X向的磁力誤差；磁力誤差隨耦合系數(shù)、轉(zhuǎn)子擾動(dòng)和控制電流的增大而增大；耦合系數(shù)越大，磁力誤差受控制電流和轉(zhuǎn)子偏移的影響越顯著；轉(zhuǎn)子X向擾動(dòng)不會(huì)造成Y向磁力誤差，但Y向擾動(dòng)會(huì)引起X向較小的磁力誤差。因此，當(dāng)耦合發(fā)生在某個(gè)方向上，可以通過(guò)修正該方向的控制電流來(lái)減少磁力誤差。

4 控制電流的修正

由以上分析可知，理想磁路對(duì)應(yīng)的控制電流在磁路耦合的情況下會(huì)產(chǎn)生控制力誤差，因此需要根據(jù)磁路耦合情況對(duì)控制電流進(jìn)行修正。

4.1 修正偏置電流

由磁力模型(式(12))可知，當(dāng)(l5+l6)F1=(l1+l2)F3時(shí)，Y向耦合情況下的氣隙磁通量不變，即偏置電流I0y與控制電流Iy有比例關(guān)系。當(dāng)(l1+l2-l5-l6)I0y=(l1+l2+l5+l6)Iy時(shí)，Y向耦合引起的磁通量變化為零，因此可以通過(guò)修正偏置電流I0y來(lái)消除Y向磁力耦合引起的磁力誤差。為此，需要將偏置電流的電路從控制電路中獨(dú)立出來(lái)，這樣不但增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，還會(huì)使磁場(chǎng)更容易陷入非線性區(qū)，增加控制難度。因此選擇修正控制電流的方法來(lái)消除磁力誤差。

4.2 修正控制電流

為實(shí)現(xiàn)徑向軸承穩(wěn)定控制，采用X、Y雙向差動(dòng)控制，四極通電，耦合模式為Y向耦合模式Ⅲ。轉(zhuǎn)子處于任意位置，根據(jù)磁力模型，利用MATLAB計(jì)算存在耦合情況下的零磁力誤差對(duì)應(yīng)的修正控制電流。

(15)

圖12 修正后控制電流與修正前控制電流的關(guān)系Fig.12 Relationship between control current before and after the decoupling revision

5 修正控制電流的電磁仿真

為驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，進(jìn)行電磁場(chǎng)仿真[14]，仿真相關(guān)參數(shù)為：磁軸承定子內(nèi)徑D=35.8 mm，單邊氣隙e=0.4 mm，單極線圈匝數(shù)N=76，偏磁電流I0=2.5 A，軸向厚度ls=15 mm，磁極有效面積As=250 mm2，在轉(zhuǎn)子偏移量x=y=0.2 mm，Y向耦合系數(shù)為0.2時(shí)，分別進(jìn)行理論計(jì)算和有限元分析，結(jié)果如表2、表3所示。

表2 模型理論分析結(jié)果Tab.2 Results of theoretical analysis

表3 有限元仿真結(jié)果Tab.3 Results offinite element analysis

施加修正前和修正后的控制電流得到的二維差動(dòng)控制電磁仿真磁力分布情況分別如圖13、圖14所示，通以理論分析得到的修正控制電流后，由磁路耦合和轉(zhuǎn)子偏移造成的磁力誤差減小了84%，驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。

圖13 施加修正前的控制電流得到的磁力分布圖Fig.13 Magnetic force distribution excited by before revised control current

圖14 施加修正后的控制電流得到的磁力分布圖Fig.14 Magnetic force distribution excited by after revised control current

6 穩(wěn)態(tài)懸浮實(shí)驗(yàn)

如圖15所示，實(shí)驗(yàn)裝置中的轉(zhuǎn)軸由A、B兩個(gè)徑向電磁軸承懸浮支撐，采用dSPACE，基于Simulink控制系統(tǒng)測(cè)試平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

圖15 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.15 Experiment facility

為了驗(yàn)證修正控制電流的有效性，進(jìn)行二自由度的磁軸承(只關(guān)心A軸承X向、Y向的轉(zhuǎn)子偏移情況)穩(wěn)態(tài)懸浮實(shí)驗(yàn)。分別通以修正前和修正后的控制電流，穩(wěn)態(tài)懸浮時(shí)的轉(zhuǎn)子偏移隨時(shí)間的變化如圖16所示。

由圖16可知，控制電流修正后，轉(zhuǎn)子位移振幅減小為控制電流修正前的6.7%，且響應(yīng)速度明顯提高；由圖16a、圖16b可知，控制電流修正前，轉(zhuǎn)子X向、Y向存在磁路耦合，因此磁力受轉(zhuǎn)子位移和控制電流的影響，會(huì)產(chǎn)生不規(guī)律的轉(zhuǎn)子振動(dòng)；由圖16a可知，轉(zhuǎn)子振動(dòng)中心偏離平衡位置向Y負(fù)向移動(dòng)，這是由于磁路耦合產(chǎn)生的Y向磁力不能平衡轉(zhuǎn)子重力導(dǎo)致的轉(zhuǎn)子軸心位置偏差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論分析結(jié)論，說(shuō)明修正后的控制電流具有較好的解耦性和控制性。

7 結(jié)論

(1)磁路耦合程度受定子結(jié)構(gòu)的影響，磁極高度與磁極寬度的比值越大，磁路越容易發(fā)生耦合；通電模式對(duì)耦合模式和耦合系數(shù)的影響顯著；四級(jí)差動(dòng)通電模式下，控制電流的變化對(duì)磁路分布有影響，但因其引起的磁通量改變很小，由此產(chǎn)生的磁力誤差很小，可以通過(guò)修正控制電流來(lái)減小因磁路耦合產(chǎn)生的磁力誤差。

(a)控制電流修正前，A軸承的轉(zhuǎn)子Y向穩(wěn)態(tài)懸浮

(b)控制電流修正前，A軸承的轉(zhuǎn)子X向穩(wěn)態(tài)懸浮

(c)控制電流修正后，A軸承的轉(zhuǎn)子Y向穩(wěn)態(tài)懸浮

(2)磁力誤差隨耦合程度增大而增大；耦合方向上的耦合系數(shù)對(duì)該方向的磁力誤差影響明顯；耦合方向上的磁力誤差對(duì)該方向上轉(zhuǎn)子偏移的敏感程度遠(yuǎn)大于對(duì)非耦合方向上轉(zhuǎn)子偏移的敏感程度。

(d)控制電流修正后，A軸承的轉(zhuǎn)子X向穩(wěn)態(tài)懸浮圖16 不同電流控制策略下的轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)懸浮實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.16 Steady-state response excited by different control current strategy

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(編輯 張 洋)

Impacts of Magnetic Flux Coupling on Force Arrangements of Radial Magnetic Bearingsand Its Decoupling Control Strategies

JING Xuan1TAN Yuanqiang2ZHU Jie3

1.School of Mechanical Engineering, Xiangtan University,Xiangtan,Hunan,4111052.Institute of Manufacturing Engineering,Huaqiao University,Xiamen,Fujian,3610213.Hunan Sund Industrial and Technological Co.,Ltd.,Xiangtan,Hunan,411133

Because of the magnetic flux coupling among the magnetic stator poles, the distribution of the magnetic force would suffer a great inaccuracy, which would result in the disability of the original control currents to provide an accurate restoring forces. In order to eliminate the magnetic coupling impacts, based on the Boit-Savart law， a magnetic flux distribution model was built to discuss what kind of factors would influence the magnetic field coupling. A magnetic force equivalent model with consideration of the gap variations was established. The flux coupling degree impacts on the magnetic force errors of an 8-pole magnetic bearing were analyzed. A decoupling control strategy was proposed, and its validity was tested by the ANSYS simulation and the steady state suspension test of magnetic bearings.

magnetic bearing; magnetic coupling; decoupling control; finite element analysis(FEA)

2016-09-21

湖南省戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)科技攻關(guān)專項(xiàng)(2015GK1032)

TP211.4

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.14.006

景 軒，女，1990年生，湘潭大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)榇艖腋≥S承結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及其控制。譚援強(qiáng)(通信作者)，男，1966年生，華僑大學(xué)制造工程研究院教授、博士研究生導(dǎo)師。E-mail：tanyq@hqu.edu.cn。朱 杰，男，1982年生，湖南崇德工業(yè)科技有限公司總工程師。