■ 李裕偉

（國土資源部咨詢研究中心，北京 100037）

特約專稿

礦業(yè)權資產的期權估價

■ 李裕偉

（國土資源部咨詢研究中心，北京 100037）

期權估價是一種新的礦業(yè)權資產評估方法。同現(xiàn)有的其他評估方法相比，期權估價在設置決策變量方面具有更大的靈活性，例如可將礦山經營狀態(tài)設置為暫停開采、恢復開采或永久性關閉。應用期權估價法進行礦業(yè)權資產評估要比對其他實物資產的評估更為復雜，因為無法直接獲得執(zhí)行價，而只能將開發(fā)礦產儲量或礦產資源量的投資成本轉換為執(zhí)行價。而這正是在礦業(yè)權資產評估中使用Black-Scholes期權估價模型的技巧所在?？紤]到將公司經營策略融入到礦業(yè)權資產評估中的重要性，帶有政策變量的期權估價應是這類礦業(yè)權資產評估方法的最佳選擇。文章以澳大利亞世紀鋅礦期權估價和Antucoya斑巖銅礦礦業(yè)權資產期權估價為應用實例，說明期權估價方法的操作過程。

期權估價；礦業(yè)權資產；Black-Scholes模型；買方期權；實物期權

在礦業(yè)權資產評估中，期權估價法的使用已日益引起專家們的注意。這種方法在交易上具有選擇性和靈活性，很適合于受多種復雜因素影響的礦業(yè)權估價。其中實物期權估價，更是針對自然資源資產的一種估價模式，是礦業(yè)權評估方法發(fā)展的一個新的方向。

1 期權估價的概念

期權估價源于金融領域。一些金融產品不是以現(xiàn)價而是以期權的方式交割。所謂期權，是一種合約，具有以下特征：

○分買方期權（Call Option）與賣方期權（Put Option），前者又稱看漲期權，通過標的物的漲價獲利；后者稱看跌期權，通過標的物的跌價獲利。從理論上講，買方期權估價和賣方期權估價都適合于礦業(yè)權資產估價，但在目前的礦業(yè)權估價實踐中，似乎主要在使用買方期權估價。因此在下面的討論中，均指買方期權，以免表述混亂。

○期權是一種合約，該合約規(guī)定一個日期，買方有權在期權合約到期日（歐式期權）或到期日及之前任何時間段（美式期權）以執(zhí)行價格（協(xié)議規(guī)定的價格）購買合約規(guī)定的資產的權利。下文主要按美式期權介紹。

○期權是一種權利而非義務，買方在合約到期日或到期日之前，可以選擇購買，也可以選擇不購買。

○向賣方支付權利定金，如將來不購買，定金不退還。

○期權的收益取決于資產到期價與執(zhí)行價（Strike Price）之間的差值。為獲得良好的收益，買方應對合約期內資產的市價進行預測。

○實物期權（Real Option）是一種適合自然資源資產的期權估價方法，在估價模型中融入了礦業(yè)權資產的個性特征與決策意圖。

○期權定價的關鍵是對未來機會的分析。一宗資產在期權周期內存在重要的利好機會，則期權估價會幫助你計算這些誘人的收益；如果找不到利好機會，則評估結果也就平平。利好機會除取決于外部條件外，還同企業(yè)的戰(zhàn)略、決策、技術緊密相連。

○期權估價與DCF估價很相似，都是對資產未來收益的模擬，但期權估價更具靈活性、合理性與避險性。

現(xiàn)在，講一個虛構的故事，說明期權估價的過程。

有位農場主的一塊地，一直以來的價值都是10萬美元。有一個關注市場信息的老兄，就叫某甲吧，聽說某連鎖大酒店要在該地區(qū)建新店，愿出價20萬美元買下那塊土地。于是某甲找到那位農場主，要求簽署一個期權協(xié)議，花12萬美元買下那塊土地，協(xié)議期為一年，并交納了定金5000美元。這就是說，某甲取得了在一年之內付12萬美元買下這塊土地的權利，但何時買，買不買，由他根據(jù)事情的發(fā)展來決定。不久后，機會來了，那個連鎖酒店果然來人光顧那片土地，并找到土地所有者農場主，說我們打算出價20萬美元買下這塊土地。懂法守法的農場主說這塊地我已與某甲簽署期權協(xié)議了，你們找他去吧。于是連鎖酒店人員找到某甲。但某甲屬窮漢一個，他有權但卻拿不出12萬美元支付給農場主，因此就無法將這塊土地出售給酒店。酒店來人說，不要緊，您把期權賣給我們就可以了，這塊土地我們出價20萬美元，您向農場主的買價為12萬美元，減掉這個差額，這份期權合約估價8萬吧，先生以為如何？某甲大喜同意，于是把期權合約以8萬美元的價格賣給了酒店，酒店拿到合約并支付給農場主12萬美元買到了那塊土地。整個過程合法合規(guī)，各取所得，其中酒店得到了土地，為其宏偉的發(fā)展目標奠定了基礎；某甲花5000美元，得到8萬美元， 輕松賺取了7.5萬美元；老實的農場主比預期多得2萬美元，還得到某甲5000美元的押金，過圣誕節(jié)足夠用了。皆大歡喜。

在這個例子中，期權價值為7.5萬美元，標的資產價值為20萬美元。某甲并不是一個標的資產買家，他不過是想通過標的資產——土地的買入和賣出來套利，實際上他壓根兒就沒沾土地的邊。這與礦業(yè)權資產的估價是不同的。

這是收益方面。如萬一交易不成，各方的損失如何？對始作俑者某甲而言，損失5000美元，對酒店和農場主，毫無損失。因此，這宗土地期權交易，應該說各方均無重大風險。

2 期權估價方法基本參數(shù)

期權估價方法，目前主要用于投資產品的保值套利。因此，基于復制概念的估價方法得以廣泛使用。所謂復制概念，就是尋找一個資產組合，不論股票價格如何變動，該組合的到期價值都會等于期權到期日價值，因此該組合的成本（利用自有資金投資的部分）就等于期權成本。這個原理，在金融投資產品估價上被廣泛使用。

為了估算資產的期權價值，須設置以下參數(shù)。

○期權開始日與到期日。

○標的資產現(xiàn)價。標的資產是期權合約中指定的資產，如金融資產的股票、實物資產的原油、礦產儲量等。標的資產的現(xiàn)價是合約簽署時的市場實際價格，它是估算期權有效期內各時間節(jié)點到期市場價格的起點。

○標的資產的執(zhí)行價，是在期權到期日或之前購買該資產的固定價格。在購買金融資產時，執(zhí)行價就是現(xiàn)價。

○標的資產的預測到期市場價，可預測一個上行價格和一個下行價格。

○看漲期權到期價值：Max（標的預測上行到期價-執(zhí)行價，0）

○看跌期權到期價值：Max（標的預測下行價-執(zhí)行價，0）

○上行收益率，計算式為：

上行收益率=（看漲期權到期價-現(xiàn)價）/現(xiàn)價

○下行收益率，計算式為：

下行收益率=（看跌期權到期價-現(xiàn)價）/現(xiàn)價

○上行概率，為看漲期權執(zhí)行價格實現(xiàn)的概率，計算式為：

上行概率=（折現(xiàn)率+下行收益率）/（上行收益率+下行收益率）

這里的折現(xiàn)率指的是從現(xiàn)價日到購買日期間內的折現(xiàn)率。

○下行概率，為看跌期權執(zhí)行價格實現(xiàn)的概率，計算式為：

下行概率= 1-上行概率

○無風險收益率，又稱無風險利率，計算式為：

無風險收益率=上行概率×上行收益率+下行概率×下行收益率

○無風險利率用于現(xiàn)金流折現(xiàn)，數(shù)字越高，標的資產的現(xiàn)值越低，賣方的資產持有成本越高，收益向買方偏斜。

○看漲期權價值= （看漲期權到期價值×上行概率）/（1+折現(xiàn)率）

期權最早用于股票交易。下面用一個簡單的礦業(yè)股票例子感受一下期權估價的基本思路，之后再討論一些更為復雜的方法。

現(xiàn)在我們用這些基本參數(shù)，以必和必拓ETF（指數(shù)基金）為例，說明股票期權估價過程。設定主要參數(shù)如下：

期權開始日：2016年9月10日

期權到期日：2017年9月10日

股票指數(shù)ETF現(xiàn)價：27.5美元 （每股，下同）

股票指數(shù)ETF執(zhí)行價：28美元

標的資產的預測到期價：看漲價35美元，看跌價25美元

看漲期權到期價值：Max（7，0）=7（美元）

看跌期權到期價值：Max（-3，0）=0（美元）

上行收益率=（35-28）/28= 0.25

下行收益率=（25-28）/28= -0.11

上行概率=（0.05+0.11）/（0.25+0.11）= 0.444

下行概率=1-0.444=0.556

無風險收益率=0.444×0.25+0.556×0.11= 0.172

看漲期權價值=（7×0.444）/（1+0.17）=2.66（美元）

這是每股期權的價值而不是股票本身的價值，是投資者購買每股ETF期權的凈收益。

期權投資者的目的是依靠期權開始日與到期日（或到期日之前）兩個時間點的價格差異獲利，標的資產只是套利的介質，不會有人真對股票本身感興趣，可能一手買進，另一手就賣出了。因此應時時區(qū)分標的資產的價值與該資產期權的價值。

3 Black-Scholes期權估價模型

3.1 模型概述

這是由美國經濟學家和數(shù)學家共同提出的期權估價模型，簡稱B-S模型。這個模型科學地包含了期權估價的6個重要經濟參數(shù)，進行了嚴密的數(shù)學推導，實現(xiàn)了真正意義上的期權估價方法上的突破，曾獲1997年諾貝爾經濟學獎，為期權估價提供了一個更為科學的工具。

B-S期權估價模型被表述為：

式（1）中：

式（1）、式（2）、式（3）中諸參數(shù)為：

C——期權價值；

L——期權執(zhí)行價格；

S——期權標的資產的現(xiàn)價；

T——期權有效期，以年計，非整數(shù)年的換算如下：T=T0/365，T0為期權有效期日數(shù)；

t——按執(zhí)行價購買時間（到期或未到期）；

r——連續(xù)復利計無風險利率，當按月計時，應化為按月的復利值，代入?yún)?shù)d1和d2時，如復利值為原值r0，應作對數(shù)轉換：r=ln(1+r0)；

σ2——按年度計的價格方差；

δ——股息率；

N()——均值為0，方差為1的標準正態(tài)分布函數(shù)。

3.2 B-S期權估價模型應用實例——智利Antucoya斑巖銅礦

Antucoya斑巖銅礦位于智利的安托法加斯塔省，是一處大型低品位銅礦床。S.Baurens（2010）用B-S模型進行了期權估價。礦區(qū)經正規(guī)估算的資源量礦石量達15.1億噸，Cu平均品位0.27%，Cu金屬量223萬噸（表1）。

表1 Antucoya斑巖銅礦資源量（據(jù)S. Baurens，2010）

這個期權估價是在2010年做出的，采用了2000— 2009年的平均銅價4017美元/噸銅，按照礦山的數(shù)據(jù)，邊際成本設置為2157.12美元/噸銅。B-S模型參數(shù)見表2。

表2 Antucoya斑巖銅礦礦業(yè)權資產B-S期權估價參數(shù)（據(jù)S. Baurens，2010）

本次估算的是Antucoya礦床測定的資源量+標示的資源量為標的資產的期權價值，推斷的資源量由于置信度太低，不參與估算。

表3為應用B-S模型Antucoya斑巖銅礦礦業(yè)權資產期權估價過程。表3中最后估算出Antucoya斑巖銅礦15.1億噸低品位礦石量的價值為3.41億美元。這個例子巧妙地把對礦產資源量實物資產開發(fā)投資的無風險利率折現(xiàn)作為執(zhí)行價，將該資源量資產轉化的礦產品銷售收入的無風險利率折現(xiàn)作為到期價，從而形成了具有B-S形式的礦業(yè)權資產期權估價形式。

結論：Antucoya斑巖銅礦礦業(yè)權資產的價值為3.41億美元。

4 Brennan- Schwartz價值最大化實物期權估價模型

1985 年，M.J.Brennan和E.S.Schwartz首次在Black-Scholes模型的基礎上提出了一個用于自然資源實物資產的估價模型，后經S.Shafiee等改進，形成了以下價值最大化實物期權估價模型。這個模型適合于對處于各種狀態(tài)的生產礦山進行期權估價。

4.1 實物期權估價模型

首先，礦業(yè)權資產的價值被定義為：

式（4）中：

V——礦業(yè)權總價值；

S——礦產品價格；

Q——礦山總儲量；

t——時間；

j——二態(tài)變量，礦山生產取值1，關閉取值0；

φ——代表礦山運營政策，如臨時停產、重開生產、永久關閉。

表3 Antucoya斑巖銅礦實物期權價值估算過程

定義自由現(xiàn)金流量：

式（5）中：

FCFFt——時間t的自由現(xiàn)金流量；

pit——第i種礦產品在時間t的價格；

VCit——第i種礦產品在時間t的可變成本；

PRit——第i種礦產品在時間t的產量；

FCt——在時間t的固定成本；

CT——公司所得稅；

n——礦產品數(shù)目。

買方實物期權價值計算式為：

式（6）中：

k——每個時間段t縱向第k個節(jié)點；

ROVtk——第t個時間段第 k各節(jié)點的實物期權估價；

FCFFtk——在第t個時間段第k個節(jié)點的自由現(xiàn)金流量；

D1——政策變量，如果在時間段t礦山行將永久性關閉取值為1，否則為0；

D2——政策變量，如果在時間段t礦山行將臨時性關閉取值為1，否則為0；

D3——政策變量，如果在時間段t礦山行將重開取值為1，否則為0；

p——風險中性概率；

γf——無風險利率；

PCCt——在時間段t礦山永久性關閉成本；

TCCt——在時間段t礦山臨時性關閉成本；

ROCt——在時間段t礦山重開成本。

實物期權估價的重要特點之一是其模型可以通過設置變量來體現(xiàn)管理靈活性（managerial flexibility）。所謂管理靈活性，就是在估價時考慮一些政策因素。例如，一座生產礦山，處于發(fā)展階段、停產階段、關閉階段的價值取向是不同的，如果用同一個模型、同一套變量來估算，其結果可能會大相徑庭。而這里提供的實物期權模型，則允許嵌入若干政策變量來包含某些政策因素，如PCC、TCC和ROC，它們代表了礦山在不同經營狀態(tài)下所需要的成本。

4.2 價格預測的二叉樹模型

二叉樹模型可以用來直接估算期權標的價格。在本實物期權估價模型中，期權的標的是礦產品，因此它被用來預測礦產品價格。然后這個價值被傳遞到期權估算公式（6）中各個時間段的有關數(shù)據(jù)，最終獲得按時間段展開的期權價值。

二叉樹預測始于一個初始的標的現(xiàn)價S0。令一個單位時間段的看漲率為u，看跌率為d，則在第一次分叉后，即n=1處的標的看漲價格為：

看跌價格為：

假定看漲率和看跌率不變，則在任意處有：

式（7）、式（8）、式（9）、式（10）中：

S0——標的初始價格；

S1u——第一個時間段結束時預測的看漲價格；

S1d——第一個時間段結束時預測的看跌價格；

Su，t，k——第t個時間段結束時第k個子樹根節(jié)點的看漲價格；

Sd，t，k——第t個時間段結束時第k個子樹根節(jié)點的看跌價格；

n——分叉數(shù)，它可能不同于t，也可能同于t；

k——第n個分叉處縱向第k個節(jié)點序號。

漲跌系數(shù)u和d據(jù)下式計算：

式（11）、式（12）中：

σ——波動率，是一種均方差，通過歷史數(shù)據(jù)時間序列分析獲??；

T——期權到期時間；

N——在期權有效期間設置的分叉總次數(shù)。

圖1顯示了二叉樹的生成過程。在應用二叉樹模型對期權標的價格進行預測的基礎上，可直接預測期權價值；但本期權估價模型涉及更多的變量，二叉樹是其中最重要的一個計算環(huán)節(jié)。

在獲得看漲與看跌系數(shù)u和d后，可計算風險中性的概率：

4.3 澳大利亞世紀鋅礦期權估價

圖1 二叉樹生成過程

4.3.1 概述

S.Shafiee等在2008年應用上述實物期權模型對澳大利亞昆士蘭州的世紀鋅礦做了期權估價。這個例子對實物期權估價而言具有典型意義，下面予以詳細介紹。

世紀鋅礦是名列澳大利亞第一、世界第二的超大型鋅-鉛-銀礦床，屬OZ礦產公司所有，2009年被中國五礦以17.5億澳元的價格收購。礦床屬SEDEX型，時代中元古系，圍巖為一套碎屑-白云巖-火山巖建造，累計探明礦石資源量1.67億噸，平均品位鋅8.2%，鉛1.2%，銀33克/噸。礦山于1997年開始建設，1999年投產。到出讓之前的2008年，尚余礦石資源量5200萬噸，平均品位鋅12.7%，鉛1.2%，銀34克/噸；礦石儲量4200萬噸，平均品位鋅11.5%，鉛1.4%，銀27克/噸。評估報告按年生產規(guī)模500萬噸礦石計，剩余儲量預計可生產到2020年。該礦業(yè)權的儲量與產量數(shù)據(jù)見表4。

針對礦山已開采多年、在期權周期內將閉坑的現(xiàn)狀，設置永久關閉成本、臨時關閉成本和恢復生產成本三個政策變量，以獲取一個符合礦山經營狀況的合理估價。

4.3.2 參數(shù)

實物估價模型所需參數(shù)見表5。

4.3.3 實物期權估算過程

第一步，計算鋅價。2008年鋅價為0.8美元/磅，據(jù)式（11）和式（12）分別計算出看漲系數(shù)1.35和看跌系數(shù)0.74。隨之進行12年的二叉樹展開，預測各年度的鋅價，詳見表6。

第二步，成本計算。式（5）中的成本可寫成帶有折現(xiàn)的形式：

TC=187·(1+rf)t+1552·PR·(1+rf)t（14）

式（14）中TC為總成本，右端前項為世紀礦山2008年的固定成本（單位為百萬美元），后項為可變成本（單位為美元）。

第三步，計算自由現(xiàn)金流量FCFFtk。這時鋅價、成本、產量、所得稅、時間均為已知數(shù)，代入式（5）即可計算出二叉樹表中的FCFFtk，其中時間t處的節(jié)點縱向序號k，是由上而下的順序數(shù)。計算結果見表7。

第四步，計算DCF凈現(xiàn)值，見表8。

使用二叉樹中的自由現(xiàn)金流量計算凈現(xiàn)值的公式為：

表4 世紀礦山2000—2008年礦產儲量與產量數(shù)據(jù) （據(jù)S. Shafiee at el,2009 ）

表5 世紀礦山實物期權價值估計參數(shù) （據(jù)S. Shafiee at el, 2009 ）

表6 鋅價計算結果（美元/磅）

表7 自由現(xiàn)金流量計算結果

表8 凈現(xiàn)值（DCF）計算結果

對二叉樹每個節(jié)點計算凈現(xiàn)值，不免繁瑣。利用凈現(xiàn)值與自由現(xiàn)金流量的關系，可據(jù)FCFF進行DCF轉換。這個關系就是FCFF二叉樹表與DCF二叉樹表的最后一列完全相等。于是就有以下關系式：

式（16）中：

DCFt，k——時間t處縱向第k個節(jié)點的凈現(xiàn)值；

FCFFt，k——時間t處縱向第k個節(jié)點的自由現(xiàn)金流量；

DCFt，k，u——時間t處，縱向第k個節(jié)點，對應時間t+1處上一行節(jié)點的凈現(xiàn)值；

DCFt，k，d——時間t處，縱向第k個節(jié)點，對應時間t+1處下一行節(jié)點的凈現(xiàn)值；

P——風險中性概率。

據(jù)式（16），可利用表7和表8最后一行完全相等和FCFF已知的條件，從倒數(shù)第二列開始，反算出表8的全部數(shù)據(jù)，從而免去了計算DCF凈現(xiàn)值的工作量。

現(xiàn)舉例說明表7凈現(xiàn)值的計算過程。假定要計算的是2019年縱向第一個節(jié)點的凈現(xiàn)值，其倒算過程如下：

DCFt，k=DCF2019，1，為待計算凈現(xiàn)值的節(jié)點。

已知：

t=2019， k=1；

FCFFt，k=FCFF2019，1=15843

DCFt，k，u=DCF2019，1，u=21794

DCFt，k，d=DCF2019，1，d=11257

P=0.54

則=代入式（16）：

與表8中的DCF2019，1有微小差異，應屬計算精度問題。

上述計算結果證明了二叉樹凈現(xiàn)值的倒退算法原理。

第四步，計算實物期權價值。實物期權價值據(jù)式（6）計算。由于在本實物期權估算方案中，設置的政策變量D3=1，為永久關閉，因此在期權最后一年的DCF估價與ROV估價之間只差一個永久關閉成本PCC，即：

ROV2020=DCF2020-PCC2010

以2020年第一個節(jié)點為例，DCF2020，1=21794，PCC2020=1126，則：

ROV2020=21794-1126=20668

將2020年的DCF由上而下逐個節(jié)點轉換為ROV后，即可采用前述估算DCF價值的方法，倒退式地計算出全部二叉樹結點的ROV價值（表9）。

表9 實物期權價值（ROV）計算結果

表10 不同政策取向所需成本

假定按上述倒退步驟已計算到2010年，現(xiàn)要倒退計算世紀鋅礦2009年的實物期權價值：

設：ROVt，k=ROV2009，1，為待計算實物期權價值的節(jié)點。

已知：

t=2009， k=1，2；

FCFFt，k=FCFF2009，1=120；

ROVt+1，k=ROV2010，1=4068；

ROVt+1，k+1=ROV2010，2=522；

D1=1；

D2=0；

D3=0；

p=0.54；

rf=7%。

ROC=128；

TCC=128；

PCC=535。

三項涉及礦山恢復生產、暫時關閉和永久關閉的成本未采用，因政策變量D均取值為0，無礦山關閉問題。上述三項成本年度數(shù)據(jù)見表10。

將上述已知數(shù)據(jù)代入式（6）：

對二叉樹評估而言，初始狀態(tài)，即t=1處的價值就是要確定的期權價值。該評價是在2008年進行的，當時采用的鋅價為0.8美元/磅，據(jù)此獲得的t=1處的期權價值為1298（百萬美元），即12.98億美元。這就是世紀鋅-鉛-銀礦業(yè)權資產的期權價值。這個數(shù)字表明，世紀礦山如果一直不臨時性關閉，也不重開，其剩余的儲量繼續(xù)經營到2020年，可獲得這一價值。

礦產品價格是礦業(yè)權期權價值升降的驅動力。在世紀礦山實例中，期權價值評估基于2008年0.8美元/磅的鋅價。在之后的十年中，這個價格平穩(wěn)保持在0.9美元/磅左右，支持了買方的估價（圖2），證明了這個參數(shù)的選擇是合適的。

圖2 2007—2016年國際鋅價變化

不過這個例子在數(shù)量估算上存在矛盾。評估列出的每年原礦產量502萬噸，按國外的標準，這個數(shù)字等同于儲量消耗。評估周期為12年，按此消耗數(shù)字需6000萬噸礦石量，但在評估時列出的儲量數(shù)字僅為4200萬噸，差了近1/3（表4）。評估時確定礦山連續(xù)生產到2020年閉坑，但實際到2016年就閉坑了，僅生產8年，差了4年，正合1/3這個儲量的短少數(shù)字。此外，從該礦山2000年達產后到2008年8年間的礦石量消耗為4100萬噸，這表明2008年剩余的4200萬噸也只夠8年開采之用。評估將連續(xù)生產期確定為12年，怎么也看不出其道理何在。如果短缺1/3的問題存在，則該宗礦業(yè)權資產的價值應為當時股價的2/3，即8.65億美元，相當于11.6億澳元，其結果是對該礦業(yè)權資產的高估。

因此，筆者認為，上述世紀礦山評估存在的最大問題是對礦石儲量數(shù)字的高估。

5 關于實物期權估價的幾點認識

礦業(yè)權的實物期權估價，是一個新的領域，國際礦業(yè)權評估界對此懷有極大的興趣。S.Shafiee等在2008年對世紀鋅礦進行實物期權估價時，收集到1985—2008年做的礦業(yè)權實物期權估價案例，其中90%以上同時做了DCF和ROV兩種估算。這樣做是可以理解的，因為兩種方法都依賴于自由現(xiàn)金流FCFF的計算，一旦FCFF求得，計算DCF和ROV不過是舉手之勞。這種方法展現(xiàn)出的對各種估價要素的靈活性處理，是其他方法所難以達到的。筆者并未實地做過實物期權估價，在這里也只不過搬弄一些國外的案例而已。在搬弄完之后，仍有許多不明了之處。不過通過這幾個案例的分析，多少有些心得體會，下面記下來，與同行們共研之。

5.1 礦業(yè)權期權標的的現(xiàn)價、到期價與執(zhí)行價

實物期權估價大量進行的是資產標的價值的計算。在上述兩個實物期權例子中，礦業(yè)權期權標的現(xiàn)價、到期價與執(zhí)行價的關系不像金融資產那么簡單。金融資產的標的是股票或債券，將預測的到期價減去執(zhí)行價及其他相關成本，剩余即為期權價值。

礦業(yè)權實物期權標的到期價就是礦產儲量或資源量轉換為礦產品銷售收入的預期價值St。首先要將其按礦山生產規(guī)模和產品方案轉化為礦產品的數(shù)量；再按期權期內預期的礦產品價格轉化為銷售收入；最后化為現(xiàn)值，即礦產儲量或資源量的礦產品實物標的價值。在這一系列計算中，其他變量是固定的，只有礦產品價格是變化的。因此資產標的價值反映的完全是價格的變化，這同金融資產期權直接從市場獲得標的價值略有不同。

至于礦業(yè)權實物資產標的期權執(zhí)行價L，可用由儲量或資源量轉化為礦產品的總成本表示。這個數(shù)字基本是固定的，可視為一個執(zhí)行價格。在做這種實物期權估價的時候，并不是真的存在一個買方或賣方，而是假定有一個買方，期望價格看漲到某個可以套利的幅度；有一個賣方，愿意以盈虧平衡點價格出售他的實物資產。在建立這個假設后，一切就變得簡單了，實物期權標的執(zhí)行價就是全部儲量或資源量轉化為可銷售礦產品的投資成本和稅收，并將其用中性風險利率折現(xiàn)為現(xiàn)值。

在做上述處理后，將礦業(yè)權期權資產標的預期價減去礦業(yè)權期權標的執(zhí)行價，就是礦業(yè)權期權的價值了。由于參與計算的標的資產是儲量或資源量，因此這樣估算出來的結果其實就是礦產儲量或礦產資源量的價值。

圖3 美國2008年3月—2017年3月10年期國債利率變化

5.2 中性風險原理與價格波動率

中性風險原理涉及期權估價中折現(xiàn)率r_f的選取問題。在常規(guī)的礦業(yè)權評估中，折現(xiàn)率的選取通常取8%～10%，甚至12%。折現(xiàn)率選取越高，評估出的資產價值則越低，對買方越有利，對賣方越不利；于是買方總想在算賬時提高一些折現(xiàn)率，而賣方總想降低一些折現(xiàn)率。一個很科學的DCF算法，到這里就變得爭論不休，有點失去科學性了。

按照公式：折現(xiàn)率=無風險報酬率+風險報酬率。無風險報酬率比較固定，不易產生歧見；而風險報酬率涉及人們對風險的認識，就可能仁者見仁，智者見智了。中性風險折現(xiàn)率就是無風險利率。因此，在期權估價中，采用無風險利率折現(xiàn)，既不袒護買方，也不袒護賣方，應該說是公平的了。買賣雙方想在估價中融入多少利益，可以分別用看漲模型和看跌模型來堂堂正正地實現(xiàn)，用不著在利率上爭論。至于買賣能否做成，屬于雙方對價格形勢的判斷，與利率其實無關，不必把它拉進去。這種同一中性風險利率+看漲看跌價格模型是期權估值的核心思路。

許多專家經過研究后認為，短期國債利率大致具有中性風險特征，因此建議將國債市場成熟國家的10年期國債作為實物期權估價無風險利率。圖3顯示了美國2008—2017年10年期國債利率變化，其數(shù)值波動在0.3～1之間，處于很低的水平。澳大利亞要高一些，這期間10年期國債利率在3%左右。世紀礦山無風險利率的取值為7%，似乎偏高，對賣家而言會有所損失，當然買家會樂見其成。

價格波動率σ是期權估值的另一重要參數(shù)，是統(tǒng)計學中均方差，但不是經典統(tǒng)計而是時間序列的均方差，通過歷史數(shù)據(jù)獲得，可作為價格自回歸分析的誤差項。在實物期權估計中，價格誤差項可傳遞到實物資產價值，再傳遞到期權價值。σ是一個風險因子，起到降低期權價值的效果；但是大是小由歷史數(shù)據(jù)確定，具有客觀性，因此買賣雙方應該具有共識，不至引起爭論。

5.3 實物期權估價與DCF估價的對比

礦業(yè)權資產的實物期權估價與DCF估價的原理和基本過程有很多相似之處，如都是將實物資產資本化，都把礦山服務年限作為期權有效期，都要化為現(xiàn)值等。但二者也有許多重要的不同之處。

5.3.1 實物期權估價有交易的選擇權，而DCF估價沒有

選擇權是一切期權估價的本質特征，即買方在期權到期日覺得有利就買，不利就不買，僅支付一些前期費用（英式期權）；或在期權有效期內任何一個時間段覺得有利就買，不利就不買（美式期權）。為了體現(xiàn)這種選擇權，期權估價模型在價值出現(xiàn)負值時設置為零，表示應放棄購買，因此估價結果總是正值，即使其很小很小。DCF則不同，沒有任何選擇性，是正就正，是負就負，毫不含糊。因此看期權估價曲線，由低價到高價，開始有一段近乎平拖的接近為零的曲線，然后是逐步上升的曲線，委托方一眼就能看出應該在曲線的哪個區(qū)間投資。DCF則是一根硬邦邦的直線，由負到正，負值區(qū)間當然委托人不愛看，也不會投資，但不愛看也要讓你看，因為它原本如此。

圖4 某熱液銅礦儲量實物期權估值與DCF估值比較（據(jù)McKnight R.T等，2002）

5.3.2 期權估算的價值要高于DCF估算的價值

由于以下兩個原因，用期權估出的礦業(yè)權資產價值要比用DCF估出的高。原因之一是期權估價使用無風險利率折現(xiàn)，而DCF估價使用無風險利率+風險利率折現(xiàn)。原因之二是期權估價概念要求對收益為負的部分將價值設置為零（選擇放棄購買），而DCF估價模型無此選擇，只能是正即正，是負即負，沒有妥協(xié)余地。

圖4為McKnight R.T等對某未開發(fā)利用銅礦的期權估價與DCF估價例子。這是一個中型銅礦，保有銅儲量22.68萬噸，尚未開發(fā)利用，預計生產10年，投資成本1.5億美元，當前銅價0.8美元/磅，預期的未折現(xiàn)現(xiàn)金流量為1500萬美元/年，總計1.5億美元，按DCF估價，投資收益兩相持平，該礦業(yè)權資產無效益（圖4右側直線）。

左側兩條均為實物期權價值曲線：最左側為10年期權，中間為5年期權。由圖4可見，期權價值最低為零，且在同一礦產品價格處其價值均高于DCF數(shù)值。以10年期期權為例，在銅價為0.8美元處已達到近2500萬美元的期權價值。

5.3.3 期權估價分買方和賣方兩個主體分別設計估價模型，而DCF則雙方使用同一個模型

買賣雙方有不同的利益訴求，用同一個模型難以求同存異。期權估價在基本原理與基本過程保持一致的基礎上，設計了看漲模型與看跌模型，即把屬于公共部分的算法納入基本模型，把屬于買賣雙方自己考慮的部分納入買方模型或賣方模型。這樣一來，模型既遵循了期權估價的基本原理，又細化了個兩個交易主體特定的利益訴求。反正估價完成后，還有一個談判過程。在談判桌上實際上是雙方對其看漲或看跌模型參數(shù)的爭論、妥協(xié)與修訂過程。

5.3.4 期權模型可以融入政策變量，而DCF模型無此功能

在目前的礦業(yè)權資產期權估價中，政策變量主要體現(xiàn)在暫停生產、重開生產、擴大生產和永久關閉4個環(huán)節(jié)。選擇每一個環(huán)節(jié)，都要將相應的成本增添到模型中。在上述世紀鋅礦實例中，決策在期權有效期內永久關閉礦山，關閉成本見表10。

最早將實物期權估價引入礦業(yè)權評估的M.J. Brennan和E.SSchwartz給出了一個熱液銅礦床期權估價的例子。該礦床銅儲量68040噸，屬小型礦床，年產銅4536噸，平均生產成本0.5美元/磅，維護成本50萬美元/年，重開成本20萬美元/年，關閉成本20萬美元/年，所得稅10%，再加上其他零星稅費，構成總成本，即期權估價的資產標的執(zhí)行價。據(jù)此計算的礦業(yè)權實物期權價值見表11。由表11可見，當?shù)V山處于在產狀態(tài)時，如銅價低于0.5美元/磅，選擇關閉；當?shù)V山處于關閉狀態(tài)時，如銅價高于0.7美元/磅，選擇重開。

表11 某小型銅礦實物期權估價（據(jù)Brennan和Schwartz，2002）

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[4]SVETLANA BAURENS.Valuation of Metals and Mining Companies[R].Basinvest:Swiss,2010:81.

Option Valuation of Mineral property

LI Yuwei
(Consulting & Research Center Ministry of Land & Resources,Beijing 100812, China)

Option valuation is a new approach for mineral property appraisal.In contrast with other methods for mineral property valuation, option valuation shows advantage of excellent flexibility in setting up mine policy variables, such as suspending, permanent closing or reopening.Applications of option valuation in mineral property valuation is more difficult than other real properties as the strike price is not available directly but has to be transformed from the capital cost developing mineral reserves or resources.This is the skill of using Black-Scholes option valuation models in real option valuation for mineral properties.In consideration of the importance of including the company operation strategies into the valuation, a mineral property appraised by option valuation with policy variables should be the best choice. At last in this paper, two case studies are introduced to demonstrate the methods and procedures.

Option valuation; mineral property; Black-Scholes model; call option; real option.

F407.1；F062.1

A

1672-6995（2017）07-0004-13

2017-05-23；

2017-05-24

李裕偉（1939—），男，湖南省新化縣人，國土資源部咨詢研究中心研究員，兼任中國礦業(yè)聯(lián)合會常務理事，中國礦業(yè)權評估師協(xié)會常務理事；曾任原地質礦產部副總工程師，中國地質學會常務理事，聯(lián)合國自然資源委員會委員，國際海底管理局法律與技術委員會委員，主要從事礦產經濟研究。