李蕾

數(shù)學(xué)中的美無(wú)處不在，優(yōu)美且和諧的黃金分割、神奇且神秘的函數(shù)、美麗且誘人的幾何圖形，數(shù)學(xué)處處蘊(yùn)含著豐富而又純凈的美.古往今來(lái)，“對(duì)稱(chēng)”一直是人們所追求的，而這種美在數(shù)學(xué)中也表現(xiàn)的淋漓盡致.下面我們就通過(guò)2017年江蘇高考數(shù)學(xué)解析幾何題的對(duì)稱(chēng)解法去感受這種美.感受之余層層推進(jìn)，揭開(kāi)這種美的本質(zhì)根源.

1 直觀對(duì)稱(chēng)，數(shù)學(xué)之美

圖1例題 （2017年江蘇17）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為12，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限.過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.

（1） 求橢圓E的方程；

（2） 若直線l1、l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

對(duì)于命題組提供的答案此處不作具體介紹.下面筆者利用圖形的對(duì)稱(chēng)性給出如下分析：

第（1）問(wèn)易得橢圓E：x24+y23=1（過(guò)程略）.

對(duì)于第（2）問(wèn)，因?yàn)镻F2⊥QF2，由圓的性質(zhì)可知：點(diǎn)F1，F(xiàn)2在以PQ為直徑的圓上.結(jié)合圓和橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，P，Q只可能出現(xiàn)以下兩種情況：

圖2第①種情形：P，Q在x軸的上方（如圖2所示）.

由圓和橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，P，Q應(yīng)該關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此可設(shè)P（x，y），則Q（-x，y）.因?yàn)镻F2⊥QF2，所以yx-1·y-x-1=-1，化簡(jiǎn)得：y2=x2-1.又點(diǎn)P在橢圓上，所以x24+y23=1，聯(lián)立解得x=477，

y=377. 所以此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（477，377）.

第②種情形：P，Q在x軸的異側(cè)（如圖3所示） .

圖3由圓和橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，P，Q應(yīng)該關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此可設(shè)P（x，y），則Q（-x，-y），因?yàn)镻F2⊥QF2，所以yx-1·-y-x-1=-1，化簡(jiǎn)得：y2=1-x2.又點(diǎn)P在橢圓上，所以x24+y23=1，所以x24+1-x23=1，化簡(jiǎn)得：x2=-8，方程無(wú)解.

綜合①②可知滿足題意的點(diǎn)P有且只有（477，377）一個(gè)，如果去掉象限限制，由對(duì)稱(chēng)性可知有四個(gè)點(diǎn)滿足.

2 反思探究，層層推進(jìn)

反思1 對(duì)于第②種P，Q在x軸的異側(cè)的情形，是否所有的橢圓都不存在這樣的點(diǎn)P滿足題意呢？

探究1 一般化不妨設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2），

設(shè)P（x，y），則Q（-x，-y）.因?yàn)镻F2⊥QF2，所以yx-c·-y-x-c=-1，化簡(jiǎn)得：y2=c2-x2.又點(diǎn)P在橢圓上，所以滿足x2a2+y2b2=1，所以x2a2+c2-x2b2=1，

化簡(jiǎn)得：x2=a2（c2-b2）c2……（※）

如不考慮象限限制，顯然有以下結(jié)果：

當(dāng)c=b時(shí)，（※）式有一解，滿足題意的點(diǎn)有兩個(gè)；

當(dāng)c>b時(shí)，（※）式有兩解，滿足題意的點(diǎn)有四個(gè)；

當(dāng)c 而江蘇的這道考題中c=1 反思2 對(duì)于第①種情形，化簡(jiǎn)之后點(diǎn)P滿足y2=x2-1，即x2-y2=1，我們發(fā)現(xiàn)這是以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線的方程，從而點(diǎn)P即為此等軸雙曲線與橢圓的交點(diǎn).那么不禁聯(lián)想：對(duì)于一般的橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2）與以其焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線F：x2-y2=c2的交點(diǎn)是否都能夠滿足題意？

圖4探究2 設(shè)P（x0，y0）為兩曲線的交點(diǎn)，要證明點(diǎn)P滿足題意，即證PF2⊥QF2（其中點(diǎn)Q為雙曲線與橢圓的另一交點(diǎn)，且與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)），故只需證明：y0x0-c·y0-x0-c=-1，化簡(jiǎn)后只需證明x20-y20=c2.又因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線F：x2-y2=c2上，所以x20-y20=c2顯然成立，從而一般化的結(jié)果也成立.

3 揭開(kāi)面紗，回歸本源

在探究2的證明過(guò)程中，不難發(fā)現(xiàn)，只要點(diǎn)P在等軸雙曲線F：x2-y2=c2上，點(diǎn)P就會(huì)滿足PF2⊥QF2，于是我們有了如下漂亮的結(jié)論：

結(jié)論 點(diǎn)P，Q是等軸雙曲線F：x2-y2=c2上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則以PQ為直徑的圓必過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)A，B.

此結(jié)論的證明與探究2的證明類(lèi)似，此處不再重復(fù).

進(jìn)一步，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知kAP=-kBQ，結(jié)合之前的證明可知kBP·kBQ=-1，所以kBP·kAP=1，看到這一結(jié)果，我們很快聯(lián)想到雙曲線一個(gè)耳熟能詳?shù)慕Y(jié)論.

圖5本源 雙曲線F：x2a2-y2b2=1上異于頂點(diǎn)A，B的點(diǎn)P滿足：kBP·kAP=b2a2.

而此前的等軸雙曲線的結(jié)論只不過(guò)是其特例罷了.

至此我們利用對(duì)稱(chēng)，層層推進(jìn)，揭開(kāi)了此道高考題的神秘面紗，回歸本源.

4 總結(jié)回顧，反思提高

通過(guò)這道2017年江蘇高考題的對(duì)稱(chēng)解法的欣賞以及其本源的探究，筆者認(rèn)為我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注重以下幾點(diǎn)：

4.1 注重基本方法、基本能力的培養(yǎng)

事實(shí)上，對(duì)于本題命題組給出的參考答案以及筆者所教學(xué)生反饋的方法基本都是聯(lián)立直線和橢圓方程，解到交點(diǎn)之后再代入橢圓方程，有一定的運(yùn)算量.但這是最樸實(shí)的方法，也是絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)這道題的第一反應(yīng).我們應(yīng)該尊重自己的第一反應(yīng)，因此教學(xué)時(shí)必須重視基本方法（通解通法）、基本能力（如運(yùn)算能力）的培養(yǎng).

4.2 注重分析能力，探究能力的培養(yǎng)

對(duì)于本文的例題，圓錐曲線對(duì)稱(chēng)性的利用，以及此題轉(zhuǎn)化為要證明以PQ為直徑的圓必過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)，層層推進(jìn)，揭示問(wèn)題本質(zhì)根源的過(guò)程，都需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中注意培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比聯(lián)想，轉(zhuǎn)化化歸的能力.我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生擁有一顆質(zhì)疑探究的心，激勵(lì)學(xué)生擁有永不止步的勇氣.長(zhǎng)此以往，學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)必定會(huì)得到很大的提高.

正所謂：夯實(shí)基礎(chǔ)，便可行遍天下路；插上思維的翅膀，我們定能展翅翱翔.