譚圓之

[摘 要] 水輪轉(zhuǎn)動問題是一個典型的三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，轉(zhuǎn)動水輪上的質(zhì)點所做的簡諧運(yùn)動實際上就是在原地打轉(zhuǎn)，根本就沒有“走”，既然原地打轉(zhuǎn)，三角函數(shù)圖像卻可以跑得很遠(yuǎn).教學(xué)中，利用任意角的三角函數(shù)定義很自然地研究質(zhì)點運(yùn)動與時間的函數(shù)關(guān)系，利用單位圓的正弦線作正弦函數(shù)圖像形成過程建立兩者之間的聯(lián)系，在實際圖形與三角函數(shù)圖像之間需要建立一種默契和信任.

[關(guān)鍵詞] 水輪轉(zhuǎn)動；三角函數(shù)模型；教學(xué)困惑

水輪轉(zhuǎn)動的問題在蘇教版教材作為例題、習(xí)題多次出現(xiàn)，而在調(diào)研試卷中也時隱時現(xiàn). 但是作為簡單的簡諧運(yùn)動，在數(shù)學(xué)中應(yīng)用三角函數(shù)圖像來研究水輪所做的圓周運(yùn)動，尤其是高三文科班學(xué)生，理解起來還是有一定的距離. 今再次審視這部分內(nèi)容，感觸頗深.

[?] 課本例題再現(xiàn)

蘇教版教材必修4第43頁例2：一個半徑為3 m的水輪如圖1所示，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上的點P從水面浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計算時間.

（1）將點P距離水面的高度z（m）表示為時間t（s）的函數(shù)？

（2）點P第一次到達(dá)最高點大約要多少時間？

事實上在這個例題之前的例1，是研究簡諧運(yùn)動的物體對平衡位置的位移x與時間t之間的函數(shù)關(guān)系，其與三角函數(shù)圖像更貼近，而本題是一個有關(guān)圓周運(yùn)動的問題，研究圓周運(yùn)動的點距離平衡位置的高度與時間t之間的函數(shù)關(guān)系，它與三角函數(shù)圖像的聯(lián)系，從表面上看僅僅在于動點P相對x軸上下呈現(xiàn)周期性出現(xiàn)，因此兩者聯(lián)系起來在教學(xué)實踐中顯得稍微抽象些，尤其隨著新課學(xué)習(xí)時間的流逝，特別是進(jìn)入高三以后，在遇到這種類型的問題，總感覺牽強(qiáng)得很.

[?] 為什么水輪轉(zhuǎn)動的問題可以抽象成三角函數(shù)模型

在教學(xué)實踐中，筆者曾經(jīng)嘗試過利用物理概念解釋，也嘗試過用任意角的三角函數(shù)的定義等兩種策略.

1. 物理知識解釋說

在我們的印象中，三角函數(shù)是典型的周期函數(shù)，而水輪轉(zhuǎn)動恰好也是周期運(yùn)動的，從這一點上看，水輪轉(zhuǎn)動和三角函數(shù)有相似之處，把水輪轉(zhuǎn)動的數(shù)學(xué)模型抽象成三角函數(shù)具有一定的合理性，因此我國的高中物理新教材教師用書中說：凡符合正弦或余弦變化的運(yùn)動，都叫簡諧運(yùn)動. 由此看來，簡諧運(yùn)動是被烙上正弦函數(shù)模型的烙印了，所以理科班的學(xué)生理解起來困難不太大，而對于物理不是很精通的文科班學(xué)生就難說了.

為了讓學(xué)生能夠在自己的最近發(fā)展區(qū)里尋找到一點物理的味道，教學(xué)實踐中筆者翻查了物理書中相關(guān)概念，嘗試讓文科班學(xué)生能形成一種認(rèn)同感.

（1）圓周運(yùn)動：一個做勻速圓周運(yùn)動的物體在一條直徑上的投影所做的運(yùn)動即為簡諧運(yùn)動；

（2）簡諧運(yùn)動：如圖2，如果質(zhì)點的位移是隨時間按正弦函數(shù)的規(guī)律變化的，即它的振動圖像（x-t圖像）是一條正弦曲線，這樣的振動叫簡諧運(yùn)動. 由此可見，上述例題水輪所做的圓周運(yùn)動中，點P距離與水面平行的那條直徑的位移，也就是包含正負(fù)號的高度的變換，就完全符合簡諧運(yùn)動的特征，水輪上的點P的位移隨時間，就應(yīng)該按照正弦函數(shù)的規(guī)律變化，即它的振動圖像（x-t圖像）是一條正弦曲線.

2. 任意角的三角函數(shù)定義說

在教學(xué)中，筆者嘗試先搭建幾個臺階：

（1）當(dāng)水輪上的點P從水平直徑右端點開始計時，在t s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為θ，試求出點P距離水直徑的高度y表示為θ的函數(shù).

（2）當(dāng)水輪上的點P從豎直直徑上端開始計時，在t s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為θ，試求出點P距離水直徑的高度y表示為θ的函數(shù).

（3）當(dāng)水輪上的點P從豎直直徑下端開始計，在t s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為θ，試求出點P距離水直徑的高度y表示為θ的函數(shù).

（4）當(dāng)水輪上的點P從水平直徑右端點開始計時，在t s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為θ，試求出點P距離水直徑的高度y表示為時間t（s）函數(shù).

（5）當(dāng)水輪上的點P從剛浮出水面開始計時，在t s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為θ，試求出點P距離水直徑的高度y表示為時間t（s）函數(shù).

[?] 水輪轉(zhuǎn)動中質(zhì)點“運(yùn)動實圖”與三角函數(shù)圖像怎樣建立函數(shù)關(guān)系

水輪轉(zhuǎn)動時，質(zhì)點所做的簡諧運(yùn)動實際上就是在原地打轉(zhuǎn)，根本就沒有“走”，它每次偏離平衡位置最遠(yuǎn)不超過振幅，而且也永遠(yuǎn)逃不出振幅畫定的圈圈之外. 但是，不少學(xué)生就是搞不明白，既然原地打轉(zhuǎn)，為什么三角函數(shù)圖像卻可以跑得很遠(yuǎn)？于是糾結(jié)而不能自拔. 除了利用任意角的三角函數(shù)定義很自然地研究質(zhì)點運(yùn)動與時間的函數(shù)關(guān)系，教學(xué)實踐中筆者也嘗試?yán)脝挝粓A的正弦線作正弦函數(shù)圖像形成過程建立兩者之間的聯(lián)系.

只要稍微回憶一下單位圓作三角函數(shù)圖像，我們不難想象作圓周運(yùn)動的質(zhì)點離開水平線的位移，實質(zhì)上就是單位圓正弦線上以相應(yīng)角度為該運(yùn)動時刻所對應(yīng)的位移. 明白這個道理，不難理解圓周運(yùn)動的質(zhì)點的“運(yùn)動實圖”可以類比單位圓，只不過“運(yùn)動實圖”的半徑不一定是1個單位，進(jìn)而理解“運(yùn)動實圖”模擬正、余弦函數(shù)圖像. 我們就拿前面的五個臺階來討論這個話題：

（1）當(dāng)水輪上的點P從水平直徑右端點開始計時，時間為0，位移也是0，就是說三角函數(shù)圖像過（0，0），之后位移增大，這是標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)y=Asinθ圖像；

（2）當(dāng)水輪上的點P從豎直直徑上端開始計時，時間為0，位移也是A，就是說三角函數(shù)圖像過（0，A），之后位移減小，這是標(biāo)準(zhǔn)的余弦函數(shù)y=Acosθ圖像；

（3）當(dāng)水輪上的點P從豎直直徑下端開始計時，時間為0，位移也是-A，就是說三角函數(shù)圖像過（0，-A），之后位移增大，這是函數(shù)y=-Acosθ圖像；

可見，我們只需要根據(jù)質(zhì)點旋轉(zhuǎn)角終邊位置高度為縱坐標(biāo)，以計時時間為橫坐標(biāo)，確定對應(yīng)三角函數(shù)圖像上的點，比如將水輪上的點P初始位置看作正弦函數(shù)圖像上的一個特殊點，再加上圓周運(yùn)動的周期，最后可以利用代點法不難求出函數(shù)的解析式.

[?] 水輪轉(zhuǎn)動計時的不同，對正弦函數(shù)y=Asin（ωt+φ）的哪些量有影響

水輪轉(zhuǎn)動計時開始的時間就是轉(zhuǎn)動時間t=0的時刻，那么它直接決定了函數(shù)圖像與y軸的交點的位置，相當(dāng)于三角函數(shù)圖像開始的位置，那么t=0的時刻就可以得到圖像的一個點的坐標(biāo). 同時，根據(jù)水輪轉(zhuǎn)動的方向和點P位移的增減，還可以判斷函數(shù)圖像的變換趨勢.

可見，水輪轉(zhuǎn)動計時開始的時間就是轉(zhuǎn)動時間t=0的時刻，由t=0的時刻可以得到圖像的一個點的坐標(biāo)，再用代點法可以求出變量φ，而其他基本量沒有形成直接影響. 當(dāng)然至此我們也能獲得振幅、角速度、周期、初相位等概念在圓周運(yùn)動中的實際意義：振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離，在圓周運(yùn)動中，R是勻速圓周運(yùn)動的半徑；角速度ω是勻速圓周運(yùn)動的單位時間內(nèi)所旋轉(zhuǎn)的角度；周期是做簡諧運(yùn)動的物體完成一次全振動所需要的時間，也就是轉(zhuǎn)動一周的時間；初相位φ是t=0時勻速圓周運(yùn)動的物體偏離該直徑的角度（逆時針為正方向）.

[?] 點P距離水面的高度與到水面的距離有何區(qū)別

教學(xué)中，部分學(xué)生對于例題中高度是否需要加絕對值，總要糾結(jié)一番. 其實，高度的概念，和在學(xué)生剛剛認(rèn)識負(fù)數(shù)的時候接觸到的海拔高度的概念、溫度的度數(shù)等概念一樣，本身應(yīng)該有正負(fù)之分，也就是說在水面上方為正，下方為負(fù)，這一點在題目中不像單擺運(yùn)動、質(zhì)點簡諧振動那樣要規(guī)定哪個方向為正.但是只要研究距離，當(dāng)然應(yīng)該是高度或者位移的絕對值.

[?] 水輪轉(zhuǎn)動問題動點P相對的平衡為何總是指向水平直徑而簡諧運(yùn)動卻選點

在教學(xué)中，我們也會不自覺地產(chǎn)生一種莫名的疑惑，為什么水輪轉(zhuǎn)動問題總是研究P到水平直徑的高度或者位移？動點P到水輪的任一條直徑的位移都是一種三角函數(shù)模型，但是我們經(jīng)常要研究動點到水面的高度的變化規(guī)律，所以把水平直徑作為平衡才具有現(xiàn)實意義.

試問，為何不選擇軸心作平衡位置？這個問題很簡單，因為水輪上的點P到軸心距離不變，研究它干什么？當(dāng)然這并不意味著“點”不可以作為平衡位置.

案例3 如圖4所示，點O為做簡諧運(yùn)動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3 cm，周期為3 s，且物體向右運(yùn)動到平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計時.

評注：本題屬于質(zhì)子振動問題，也可以仿效水輪轉(zhuǎn)動問題研究，除了不能直接在實物圖上簡歷直角坐標(biāo)系，只能利用待定系數(shù)法. 題中物體向右運(yùn)動到平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計時，實際上說明正弦函數(shù)圖像經(jīng)過點（0，3），這是求φ的關(guān)鍵條件.當(dāng)然本題既然知道三角函數(shù)圖像的這一特征，實際上我們在設(shè)函數(shù)時也可以直接設(shè)y=Acos（ωt）.