張建生，吳璇，王一夫，馬嘯宇，卜平凡

(1.南通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，江蘇 南通 226019；2.常州工學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，江蘇 常州 213002)

正常工作時，磁懸浮軸承因轉(zhuǎn)子與定子之間不存在直接的機(jī)械接觸，具有無摩擦、壽命長、可控性高等優(yōu)點(diǎn)，適用于高速度、高精度控制的系統(tǒng)中[1]。主動磁懸浮軸承能夠更準(zhǔn)確地控制與調(diào)整軸承系統(tǒng)的阻尼系數(shù)、靜態(tài)剛度、動態(tài)剛度和懸浮位置等參數(shù)[2]?？刂破髯鳛楹诵牟考?，直接影響整個系統(tǒng)的性能。磁軸承系統(tǒng)是非線性、開環(huán)不穩(wěn)定的，需要進(jìn)行閉環(huán)控制，常規(guī)的PID控制算法簡單、魯棒性強(qiáng)、可靠性高，因此得到廣泛使用[3]，可用的PID參數(shù)優(yōu)化算法有免疫理論[4]、遺傳算法[5]、粒子群算法[6]、教與學(xué)算法(Teaching-Learning-Based Optimization，TLBO)。其中TLBO算法概念簡單、收斂速度較快、魯棒性較強(qiáng)[7]，但基本TLBO算法通常有易陷入早熟的問題，為此，提出一種改進(jìn)雙種群教與學(xué)算法(Improved Double Populations Teaching-Learning-Based Optimization，IDTLBO)，并通過仿真試驗(yàn)來驗(yàn)證其控制效果。

1 主動磁懸浮軸承控制系統(tǒng)模型

單自由度主動磁懸浮軸承控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其采用雙電磁鐵差動激磁連接方式，系統(tǒng)包括控制器、功率放大器、電磁鐵、轉(zhuǎn)子和位移傳感器5個部分。

圖1 單自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)轉(zhuǎn)子位于平衡位置時，上、下磁極線圈中通有相等的偏磁電流I0；F1，F(xiàn)2為2個電磁鐵產(chǎn)生的電磁力。假設(shè)轉(zhuǎn)子受到擾動后，由平衡位置y0向下偏移y，位移傳感器檢測到該偏移信號并送給位移轉(zhuǎn)換電路，使其轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的電壓信號Uy，再把Uy與期望電壓Ur相比較得到偏差信號Ue，通過控制器計算得出控制信號Uc，最后通過放大器驅(qū)動電路得出控制電流Iy，此時上、下磁極線圈中通過的激磁電流分別為I0+Iy，I0-Iy，電磁力改變，從而使轉(zhuǎn)子向上偏移直至回到初始平衡位置。

作以下假設(shè)：1)忽略轉(zhuǎn)子和鐵芯中的磁阻、磁滯、渦流及繞組漏磁；2)磁路氣隙中的磁場均勻分布，不計鐵芯回路磁損。

由電磁學(xué)理論可得電流所產(chǎn)生的電磁力為

(1)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7H/m;S0為氣隙面積，m2；N為線圈匝數(shù)；i為線圈電流，A；y為轉(zhuǎn)子與電磁鐵之間的距離，m。

圖1中，上、下磁極對轉(zhuǎn)子所產(chǎn)生的電磁合力為

(2)

式中：F的正方向與y相反，N；I0為偏磁電流，A；Iy為控制電流，A；y0為轉(zhuǎn)子平衡位置處的位移，m。將Newton第二定律md2x/dt2=mg-F代入(2)式可得主動磁懸浮軸承單自由度運(yùn)動方程為

(3)

由(3)式可知，電磁力與通過線圈的激磁電流的平方成正比，與氣隙間距的平方成反比，主動磁懸浮軸承數(shù)學(xué)模型是一個關(guān)于電流和位移的二次非線性函數(shù)方程，這是系統(tǒng)不穩(wěn)定的主要根源。通常以近似的線性模型來代替非線性模型，如轉(zhuǎn)子在其平衡位置附近作小位移擾動，則可在靜態(tài)工作點(diǎn)Fm(y0，i0)=mg處進(jìn)行線性化處理，以此來建立線性化數(shù)學(xué)模型，同時將(2)式在平衡點(diǎn)y=y0，i=i0進(jìn)行Taylor級數(shù)展開。為簡化控制，略去高階項(xiàng)作近似處理得到

Ky(y-y0)，

(4)

式中：Ki為電流剛度系數(shù)；Ky為位移剛度系數(shù)，負(fù)號表示位移與電磁力的變化相反，即當(dāng)位移減小時電磁力增大。將(4)式代入(3)式中，由于平衡點(diǎn)(y=y0，I=I0)處F(y0，I0)=mg，KiI0+Kyy0=0，所以線性化后的磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(5)

對(5)式進(jìn)行Laplace變換后可得單自由度磁懸浮軸承的傳遞函數(shù)為

(6)

由此可知，系統(tǒng)有2個實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其中一個在正實(shí)軸上，因此該系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定的。只有通過閉環(huán)控制，同時引入適當(dāng)?shù)目刂撇呗?，才能滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。

2 改進(jìn)的教與學(xué)優(yōu)化算法

2.1 基本TLBO算法

整個算法過程主要分為3個階段：

階段1：對班級學(xué)生進(jìn)行初始化

j=1,2,…，NP；i=1,2,…,D,

(7)

式中：rand(0,1)為(0,1)上的隨機(jī)數(shù)，保證個體的多樣性。

階段2：教的過程。先計算出班級所有學(xué)生的適應(yīng)度值，并進(jìn)行排序，取最優(yōu)者(適應(yīng)度值最小者)當(dāng)教師，記為Xteacher。找出學(xué)生與教師之間的差異difference，使學(xué)生按照教師的方向進(jìn)行學(xué)習(xí)并逐漸靠近教師，從而提高全體學(xué)生的平均學(xué)習(xí)水平。教學(xué)公式如下

(8)

difference=rj(Xteacher-TFj×Xmean)，

(9)

階段3：學(xué)的過程。學(xué)生除了在課堂上跟隨教師學(xué)習(xí)，還會在課后和成績優(yōu)異的同學(xué)一起討論學(xué)習(xí)，以更快提高自己的學(xué)習(xí)成績。因此每個學(xué)生Xj可隨機(jī)選擇一個除自己之外的同學(xué)Xk，通過分析兩人的水平差異進(jìn)行學(xué)習(xí)改進(jìn)，學(xué)習(xí)公式為

(10)

式中：rj為(0,1)上的隨機(jī)數(shù)，表示學(xué)生j的學(xué)習(xí)步長，每個學(xué)生都不相同。與教學(xué)過程一樣，對學(xué)生的新舊水平進(jìn)行比較，優(yōu)勝劣汰。

2.2 改進(jìn)的教與學(xué)優(yōu)化算法

在算法優(yōu)化前期，學(xué)生知識少、受教師的影響大。隨著優(yōu)化次數(shù)的增加，學(xué)生自身的學(xué)習(xí)水平逐漸提高，受老師的影響有所減少，不同學(xué)生自身的學(xué)習(xí)能力更加重要。而TLBO算法中并沒有體現(xiàn)出這種學(xué)習(xí)方式的變化，使得班級學(xué)生在優(yōu)勝劣汰下拋棄了學(xué)生的差異性，快速向教師的學(xué)習(xí)水平靠近，教師自身的水平也因沒有學(xué)習(xí)對象而無法提高。這就導(dǎo)致了TLBO算法在全局優(yōu)化過程中容易陷入早熟，且最優(yōu)解精度不夠高。

在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生人數(shù)通常較多，為了效果更好，可選擇分班教學(xué)，由不同的老師分別帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)。參考這種模式，在改進(jìn)的TLBO算法中可對待優(yōu)化種群進(jìn)行分組，將學(xué)生一分為二，采用雙種群教與學(xué)優(yōu)化算法[9]，并在每次優(yōu)化過程中對教師采用反向?qū)W習(xí)[10]策略，實(shí)現(xiàn)教師自身學(xué)習(xí)水平的提高，即解精度的提高。在TLBO算法的學(xué)生學(xué)習(xí)階段中，優(yōu)勝劣汰方法也間接減少了學(xué)生間的差異性，使算法極易進(jìn)入局部最優(yōu)，無法跳出。IDTLBO算法采用在學(xué)生互學(xué)更新后，用變異方法重新替換部分學(xué)生的方式來增加個體間的多樣性，來促進(jìn)算法跳出早熟，獲得最優(yōu)解。

IDTLBO算法的具體實(shí)現(xiàn)如下：

階段1：將班級分為2組，對選出的2位教師進(jìn)行反向?qū)W習(xí)。

定義2(利用反向解優(yōu)化)：若存在某個可行解X，其反向解為X′，若f(X′)

教師反向?qū)W習(xí)算法(OBL)：

1)輸入Xj(t)，設(shè)置迭代次數(shù)為t=0；

3)若不滿足結(jié)束條件，則t=t+1，轉(zhuǎn)上一步；

階段2：在學(xué)生向其他同學(xué)比較學(xué)習(xí)后，通過變異方法對部分較差學(xué)生的成績重新替換，變異公式為[9]

(11)

式中：ω為變異因子，取0.6；r1和r2為(0,1)上的隨機(jī)數(shù)；xi為學(xué)生的第i維變量值。

提出的改進(jìn)算法與基本算法的區(qū)別見表1。

表1 2種優(yōu)化算法的區(qū)別

IDTLBO算法基本流程如圖2所示。

圖2 IDTLBO算法基本流程圖

IDTLBO算法的步驟如下：

1)初始化種群，隨機(jī)產(chǎn)生所有個體的學(xué)習(xí)成績。

2)計算出個體的適應(yīng)度值f(Χj)，取出最小的2個分別為教師Xteacher1和Xteacher2。將其余學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)分組，若學(xué)生人數(shù)為偶數(shù)，則2組人數(shù)相同；若為奇數(shù)，則對較優(yōu)秀的教師多分一名學(xué)生。

3)記迭代次數(shù)t=0；2位教師同時根據(jù)(2)，(3)式分別對自己的學(xué)生進(jìn)行教學(xué)；教學(xué)結(jié)束后，教師自身進(jìn)行反向?qū)W習(xí)。

4)2組學(xué)生可從對方組中任選一人，根據(jù)(10)式進(jìn)行互相學(xué)習(xí)；更新結(jié)束后選出部分差生，根據(jù)(5)式對其進(jìn)行變異操作，替換原來成績。

5)優(yōu)化結(jié)束后，對比2位老師水平，取最優(yōu)者保存，同時將2組學(xué)生合并為一組。

6)迭代次數(shù)t=t+1，此時若達(dá)到優(yōu)化滿意結(jié)果或達(dá)到最大迭代次數(shù)T，則終止循環(huán)，輸出保存數(shù)據(jù)中的最優(yōu)者；否則，轉(zhuǎn)到2)繼續(xù)循環(huán)。

3 系統(tǒng)優(yōu)化與仿真

3.1 IDTLBO-PID參數(shù)優(yōu)化問題

PID控制器包括比例環(huán)節(jié)P、積分環(huán)節(jié)I與微分環(huán)節(jié)D，其傳遞函數(shù)為

(12)

PID控制器的優(yōu)化問題就是確定一組合適的參數(shù)，即l=(KP，KI，KD)，使系統(tǒng)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。在采用IDTLBO算法優(yōu)化PID控制參數(shù)時，需將待整定參數(shù)組l看作一個三維個體，將相應(yīng)的指標(biāo)J看作個體的適應(yīng)度函數(shù)f，在所有可行解中能夠使適應(yīng)度值達(dá)到最小的即為最優(yōu)解。選用常用的ITAE誤差性能指標(biāo)作為PID參數(shù)整定的適應(yīng)度函數(shù)，能夠準(zhǔn)確反映出系統(tǒng)的動態(tài)性能，其定義為

(13)

PID參數(shù)優(yōu)化過程如圖3所示。將個體的空間位置Xj對應(yīng)參數(shù)組l代入控制系統(tǒng)中，得出相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差信號并計算個體適應(yīng)度值J。在Simulink模塊中搭建控制模型，采用MATLAB平臺編制仿真程序。

圖3 PID優(yōu)化過程框圖

3.2 系統(tǒng)仿真試驗(yàn)

主動磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制圖如圖4所示。圖中，KA為功率放大器增益；KS為位移傳感器增益。參數(shù)分別為：I0=2 A，m=12 kg，Ky=-2.102 8×106N/m，Ki=420.56 N/A ，KS=5 000 V/m，KA=3.6 A/V。在程序中初始化種群參數(shù)，粒子群總數(shù)N=30，D=3，T=100，參數(shù)KP，KI，KD值設(shè)為[0，200]。

圖4 主動磁懸浮軸承系統(tǒng)控制圖

為了驗(yàn)證IDTLBO算法的有效性，將其與遺傳優(yōu)化算法(GA)、基本TLBO算法進(jìn)行比較。采用這3種優(yōu)化算法對系統(tǒng)輸入單位階躍信號進(jìn)行仿真，使轉(zhuǎn)子由初始位置起浮，保證懸浮氣隙穩(wěn)定在0.25 mm，即系統(tǒng)最終在y0=0.25 mm時保持平衡，并在t=0.45 s處給系統(tǒng)施加幅值為0.01 mm的擾動信號，其仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，IDTLBO算法下系統(tǒng)超調(diào)量為4.01%，在t=0.1 s處轉(zhuǎn)子達(dá)到平衡，并保持穩(wěn)定；GA算法的調(diào)節(jié)時間為t=0.25 s；TLBO算法下系統(tǒng)的超調(diào)量為10.22%，調(diào)節(jié)時間t=0.38 s。受

圖5 控制系統(tǒng)仿真圖

到同一幅值的干擾信號時，IDTLBO算法反應(yīng)最快，在0.05 s后恢復(fù)到平衡狀態(tài)；GA算法次之；TLBO算法反應(yīng)最慢，時間約為0.15 s。

經(jīng)優(yōu)化后，得出3種算法最優(yōu)適應(yīng)度值迭代變化圖如圖6所示，IDTLBO算法的KP，KI，KD參數(shù)迭代變化圖如圖7所示。

圖6 最優(yōu)適應(yīng)度值迭代圖

圖7 KP，KI，KD參數(shù)迭代變化圖

由圖6可知，最優(yōu)適應(yīng)度值迭代次數(shù)反映了該磁懸浮軸承控制系統(tǒng)的整體性能，其中IDTLBO算法收斂速度最快，在迭代20次時，J值已接近并穩(wěn)定在全局最小值；TLBO算法前期收斂速度較快，后期陷入局部最優(yōu)難以跳出；GA算法最優(yōu)值介于兩者之間，但收斂速度比較緩慢。由圖7可知，參數(shù)KP在迭代20次時基本穩(wěn)定，KI數(shù)值基本不變，KD在迭代25次時開始穩(wěn)定。3種算法下KP，KI，KD最優(yōu)參數(shù)見表2。

由表2可知，IDTLBO算法在收斂的快速性和穩(wěn)定性上明顯優(yōu)于GA算法和基本TLBO算法；考慮系統(tǒng)的超調(diào)量和最優(yōu)適應(yīng)度值，則進(jìn)一步可知IDTLBO的系統(tǒng)動態(tài)性能也是最優(yōu)；因此IDTLBO算法在主動磁懸浮軸承控制系統(tǒng)中能夠有效實(shí)現(xiàn)。

表2 PID最優(yōu)參數(shù)表

4 結(jié)束語

通過仿真結(jié)果可知，提出的IDTLBO算法與其他一些傳統(tǒng)優(yōu)化算法(GA，TLBO算法)相比，優(yōu)化速度更快，使系統(tǒng)穩(wěn)定所需時間減少了一半；抗干擾能力最強(qiáng)，恢復(fù)穩(wěn)定時間最短；最優(yōu)控制參數(shù)值精度更高，使PID控制器對系統(tǒng)的控制保持了更好的魯棒性和更優(yōu)的動態(tài)性能。一定程度上改進(jìn)了磁懸浮軸承系統(tǒng)的非線性和開環(huán)不穩(wěn)定性，為智能群體算法在磁懸浮軸承系統(tǒng)中的應(yīng)用提供了有效的參考方案。