李曉慧，王 聰

（河海大學 理學院，江蘇 南京 211100）

基于小波框架的非局部曲面去噪

李曉慧，王 聰

（河海大學 理學院，江蘇 南京 211100）

提出了一種基于小波框架的非局部曲面去噪方法。該方法首先平滑了曲面法線方向上的平均曲率，然后根據(jù)基于小波緊框架的變分模型校正了含噪聲曲面。變分模型由正則項和保真項構(gòu)成。其中，正則項為包含小波框架的L1范數(shù)項，保真項為離散曲面的平均曲率和點坐標的最小二乘項之和。最后，進行了數(shù)值實驗驗證了所提出模型和算法的有效性和實用性。

小波框架；非局部曲面去噪；平均曲率；Laplace-Beltrami

現(xiàn)實生活中，使用三維掃描儀獲得曲面的同時往往夾雜著許多噪聲，例如：高斯白噪聲，脈沖噪聲等。從一個非光滑的曲面上去除噪聲并且保持其原有特征，即為曲面去噪。近些年來，曲面去噪越來越受到各國學者的關(guān)注，尤其是三角網(wǎng)格曲面去噪。

變分曲面去噪模型和基于PDE的曲面去噪模型[1-5]，在過去十多年已取得了很大成功。Deschaud[6]提出了一種基于曲面離散點集的非局部去噪方法，即用設計好的距離方程描述局部曲面，近而根據(jù)變分模型去噪。Yoshizawa[7]也提出了類似地非局部去噪方法，不同的是用局部徑向基函數(shù)替代了原先的最小二乘函數(shù)。Gilboa[8]提出一個非局部擴散過程是由一個加權(quán)差分的非局部二次方程的快速下降得到的，近而也得到了相應的快速去噪方法。最近，Dong[9]引進了一個非局部的熱方程用來曲面去噪，即用設計好的距離函數(shù)定義相似權(quán)重，且在一個隱式曲面上，用一個水平集公式解決了PDE演變。

文中一種基于小波框架的非局部曲面去噪方法，不但實現(xiàn)了非局部曲面擴散流在網(wǎng)格曲面上表示，而且實現(xiàn)了小波框架在三家網(wǎng)格曲面的應用。第一步，通過多次迭代過程，光滑了一個三角網(wǎng)格曲面法線上的平均曲率；第二步，操作含噪聲的曲面去適應這個處理過的光滑的法向量曲率場，即建立了曲面去噪的變分模型，并且在變分模型中引入了小波框架。實驗證明，該方法可以有效地去除曲面噪聲且保持曲面細節(jié)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 符號定義

一般地，含噪聲的曲面模型S軌可表示為

其中，ε為噪聲擾動，Nor∈Rn3為曲面離散點的法線，S為原始曲面。令三角形網(wǎng)格M表示一個光滑曲面M的一個分段線性近似。M的圖表集用（Ω，S）表示，Ω奐R2是一個開的參考域，S是相一致的坐標映射。三角網(wǎng)格曲面M由三角形Ti（i=1，…，Ni）的集合T（覆蓋M）和定點Si（i=1，…，Nv）的集合S來定義，這里Si表示第i個頂點。

在變分去噪公式中，本文引入一個關(guān)鍵算子，即Laplace-Beltrami算子。在M上的Laplace-Beltrami算子是作用于一個光滑函數(shù)η上的局部算子，記作ΔM。在三角網(wǎng)格曲面M上Laplace-Beltrami算子ΔM是的離散化，記為L，且其在頂點Si的值由下式給出：

離散的小波緊框架已經(jīng)得到了廣泛應用[11-13]。在離散的情況下，一個圖像是一個二維的數(shù)組，這個數(shù)組可被理解為處于離散網(wǎng)格下的一個向量。離散的小波緊框架的分解可被表示為一個矩陣乘法w，相應地，通過酉擴展原理[14]，可以得到重構(gòu)算子 wT，并且wTw=I。在實現(xiàn)的過程中，兩個矩陣乘法通過用快速的張量積來實現(xiàn)緊小波框架的分解和重構(gòu)，實質(zhì)上就是通過一系列的濾波器做圖像的卷積。

但是，由于曲面和圖像之間的拓撲結(jié)構(gòu)的不同，因此不能直接應用小波框架來進行曲面去噪。最近，F(xiàn)an[15]通過在Hilbert空間里進行雙重Gramian分解，構(gòu)造了非張量積緊小波框架，Dong[11，16]引入了一個曲面的多尺度的表示，構(gòu)造了一個數(shù)據(jù)矩陣和相一致的小波框架矩陣。三角形網(wǎng)格M=（S，T），頂點集S：= {S（k），k=1，2，…，n}，頂點 S（k）的（x，y，z）坐標表示為S（k）=（S1（k），S2（k），S3（k））T。對于每個k=1，2，…，n，如果頂點S（k）的度為6，就可找到S（k）的6個相鄰點，且定義為{P（k，1），P（k，2），…，P（k，6）}。 對于每個i=1，2，3，數(shù)據(jù)矩陣Fi由鄰近點的函數(shù)值的集合和在頂點的函數(shù)值的集合組成，F(xiàn)i是R7×n中的一個矩陣，定義如下

這里，（P1（k，j），P2（k，j），P3（k，j））T，j=1，2，…，6是P（k，j）的（x，y，z）坐標。定義F={F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3}。最后，如果一些頂點的度d小于6，用這d個鄰近點值的平均值來產(chǎn)生剩余的個鄰近點值；如果d大于6，將選取其中6個值來生成。

接下來，Dong[11]定義了一個面具矩陣U∈R7×7，即

其中，U的第1行是一個低通濾波器，U的第2-7行是高通濾波器。

在U中，每個濾波器的系數(shù)與頂點的鄰域是協(xié)調(diào)的。下面定義曲面上的1層小波分解算子為：

這里α：={α1，α2，α3}， 矩陣αi=UFi。 重構(gòu)算子 wT可定義為

行向量u：=[1，1，1，1，0，0，0]是U-1的第一行，且uU=δ0=[1，0，……，0]。因此，定義wT為wT（α）=u（α）= {u（α1），u（α2），u（α3）}，顯然，wTwS=S。

1.2 非局部變分光滑

在定義域Ω上，考慮下面函數(shù)的極小化

其中，λ>0是正則化參數(shù)，W是一個帶權(quán)重的梯度算子。相一致的Euler-Lagrange擴散流可表示為：

其中，x，y∈Ω，W（x，y）是權(quán)重函數(shù)。這里W（x，y）滿足W（x，y）≥0且是對稱的，即W（x，y）=W（y，x）。

在三角網(wǎng)格曲面M上，式（5）的離散化形式為

這里Si表示S在第i個頂點的值（i=1，…，Nv），N（i）是與第i個頂點相連的點的集合。

對于xyz坐標下的Sk（k=1，2，3），式（6）的規(guī)范化形式變?yōu)?/p>

若使Wij=ωij且ωij由式（3）定義，則式（7）可用平均曲率流在M上的空間離散化來表示，即

其中，S0是初始曲面，從左邊起，式（8）的第一項是正則項，第二項是保真項。

由于對于曲面方程來講，平均曲率是一個梯度流，因此，平均曲率流有著很強的正則化作用。在離散背景下，平均曲率流用一定的速度在法線方向上移動每個頂點，等于平均曲率在頂點的離散近似。

根據(jù)式（2），本文提出了下面的非局部算子，即M上的帶權(quán)的Laplace-Beltrami算子

其中，ωij如（2）定義，而Wij取決于第i個頂點和第j個頂點之間的相似性度量。

2 基于小波緊框架的曲面去噪

設H是三角網(wǎng)格曲面M上的平均曲率，它由曲面的兩個主曲率累加得到，即H（S）=k1+k2。是法線的平均曲率向量場。

對于三角網(wǎng)格曲面，式（9）中權(quán)重的選擇方式，應該描繪兩個局部曲面塊間的相似性，本文采用平均曲率值來刻畫。因此，定義下面的權(quán)重

其中，參數(shù)σ控制兩個區(qū)域塊的相似性大小。

文中提出一種基于小波緊框架的非局部曲面去噪方法。這個曲面去噪方法這個非局部方法由下面的算法描述，在第一步通過一系列線性形式解決式（11），接著在第二步最小二乘問題中，插入光滑的法線平均曲率向量場，通過LSQR迭代方法來解決問題。這里由式（2）定義，Lω由式（9）定義。

算法1

初始化：給定含噪聲曲面S軌步驟1：求解H：

3 數(shù)值實驗

在本節(jié)中，選取了3個最常用的三角網(wǎng)格曲面模型‘bunny’、‘elephant’和‘fandisk’進行驗證算法效果。在數(shù)值實驗模擬中，本文在原始模型的法線上加入了均值為0，方差為0.2的高斯白噪聲。算法的去噪效果如圖1所示。

圖1 自上而下：bunny、elephant、fandisk；自左而右：原始曲面、含噪聲曲面、去噪后曲面

圖2 自上而下：bunny、elephant、fandisk；自左而右：含噪聲曲面、Zhang[17]、Ours

從圖1可以清晰地看出，本文提出的曲面去噪算法的去噪效果極好，有效地保持住了曲面的棱角細節(jié)，例如：bunny模型的耳朵輪廓，elephant模型的眼睛等。

緊接著，文中又將產(chǎn)生的數(shù)值實驗結(jié)果與Zhang[17]中的算法結(jié)果進行了對比。對比結(jié)果見圖2。

由圖2可以看出，本文提出的去噪算法的去噪效果普遍優(yōu)于Zhang[17]中的結(jié)果。尤其是對于bunny和elephant兩個曲面模型的處理，本文提出的算法更能有效地保持特征細節(jié)。

為了進一步說明本文所提出算法的優(yōu)越性，我們又計算了SNR值。見表1。SNR的表達形式定義如下：

表1 SNR值的比較

由表1不難看出，本文得到的去噪結(jié)果的SNR全部高于Zhang[17]，這說明了本文所提出的去噪算法不僅視覺上優(yōu)越于Zhang[17]，而且數(shù)值上也優(yōu)越于Zhang[17]。因此，該算法具有一定的推廣價值。

4 結(jié) 論

文中提出了一個基于小波框架的非局部曲面去噪的變分方法。該方法首先平滑曲面法線方向上的平均曲率，然后根據(jù)含小波緊框架的最小二乘模型校正了曲面。實驗證明該方法能有效地去除曲面上的噪聲，同時保持住有效地曲面細節(jié)特征。因此，在工程應用中，具有一定的推廣意義。

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Wavelet frame based nonlocal surface fairing

LI Xiao-hui，WANG Cong
（College of Science，Hohai University，Nanjing 211100，China）

This paper proposes a wavelet frame based variational model for surface fairing.We extend nonlocal smoothing techniques for image regularization to surface smoothing or fairing，with surfaces represented by triangular meshes.Our method is able to smooth the surfaces and preserve features due to geometric similarities using a mean curvature based local geometric descriptor.We present an efficient two step approach that first smoothes the mean curvature normal map，and then corrects the surface to fit the smoothed normal field.This leads to a fast implementation of a feature preserving fourth order geometric flow.We demonstrate the efficacy of the model with several surface fairing examples.

wavelet frame；nonlocal surface fairing；mean curvature；Laplace-Beltrami

TN919.8

A

1674－6236（2017）10-0178-04

2016-09-22稿件編號：201609203

國家自然科學基金項目（11101120）；中央高校基本科研業(yè)務費專項基金項目（2015B38014）

李曉慧（1992—），女，山東聊城人，碩士研究生。研究方向：小波分析及其應用。