畢顯婷 史小平

摘 要：針對剛性航天器姿態(tài)機動問題設計了能夠有效減小能量損耗的非線性狀態(tài)反饋控制器。由于修正羅德里格斯參數（modified rodriguesparameter， MRP）原始集在特征軸旋轉角為±360°時存在奇異點，而相應的MRP映射集（shadow set）的奇異點處于特征軸旋轉角為0°。將MRP原始集與映射集結合起來，實現全局非奇異姿態(tài)描述，解決了航天器姿態(tài)控制中的退繞（unwinding）問題。利用平方和（SOS）方法設計非線性狀態(tài)反饋控制律，實現航天器全局姿態(tài)漸近穩(wěn)定控制，同時實現更短控制路徑，保證了控制過程中特征軸旋轉角 。仿真結果表明了在干擾條件下該控制方法可有效控制航天器姿態(tài)穩(wěn)定，且對能量損耗給出了定量分析結果。

關鍵詞：平方和法；MRP映射集；全局漸近穩(wěn)定；退繞問題

DOI：

中圖分類號：TP273 文獻標志碼：A 文章編號：

Global attitude stabilization of rigid spacecraft considering unwinding problem

BI Xian-ting， SHIXiao-ping

（Control and Simulation Center， Harbin Institute of Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：A nonlinear state feedback controller which can effectively decrease energy consumption is designed for attitude maneuver of rigid spacecraft. Modified Rodrigues Parameter set possesses a singularity as the principal angle of rotation reaches ±360°， while the singularity of the corresponding shadow set occurs as the principal angle of rotation is 0°. This paper combines the MRP original set and the shadow set for a global non-singularity description， which avoids the unwinding problem in spacecraft attitude control. The nonlinear state feedback control law， which is designed based on sum of squares （SOS） method， can achieves both the global asymptotic stability and also the shorter control path， since the principle angle of rotation is bounded in 180°. Simulation results illustrated that the spacecraft attitude can be stabilizedwith the designed controllerunder perturbation and the energy consumption is also analyzed.

Keywords： sum of squares （SOS）； MRP shadow set；global asymptotic stable； unwinding problem

0 引言

剛性航天器在姿態(tài)機動過程中存在非線性耦合問題，如果利用線性狀態(tài)反饋控制律[1]，雖然控制器容易實現，但是系統為局部收斂，反饋增益的計算與航天器初始狀態(tài)有關，不利于實際應用[2]。而非線性控制律的設計涉及到Lyapunov函數的選取，由于Lyapunov函數通常是根據經驗選取，并沒有系統的方法，這給非線性控制律的設計帶來了難度。

平方和法是近年來提出的利用平方和多項式研究非線性問題的方法。該方法可以用于解決一些正定問題，得到滿足要求的Lyapunov函數并求解滿足漸近穩(wěn)定性的高階多項式形式的狀態(tài)反饋控制律。尤其是最近開發(fā)出來的SOSTOOLS軟件包將問題轉化成半定規(guī)劃問題（semidefinite program， SDP），利用凸優(yōu)化求解工具包，如SeDuMi，可以很方便的求解出來[3]。目前已有文獻將SOS方法應用于航天器姿態(tài)機動問題[4-6]，其中文獻[5]利用修正羅德里格斯參數（modified rodrigues parameter， MRP）對航天器進行運動學建模，直接給出系統的Lyapunov函數和控制律。

雖然MRP可以很好的描述航天器姿態(tài)，但是當特征軸轉動到±360°時，出現奇異點。對此，文獻[7]將MRP一般化，提出投影映射參數，得到奇異點在0°的映射集 。文獻[8][9]應用MRP映射集避免了奇異問題，受此啟發(fā)，本文將MRP的原始集 與映射集 相結合，當 時切換成 ，以保證姿態(tài)參數始終保持在單位球內?？刂七^程相當于當特征軸轉動角 時，控制器控制航天器姿態(tài)收斂到360°，解決了航天器姿態(tài)運動過程中的退繞問題[10-14]，因此與文獻[5]相比，該方法有效減小了控制所消耗的能量。

1 修正羅德里格斯參數

修正羅德里格斯參數（MRP）原始集定義為

， （1）

式中： 為旋轉主軸， 為繞主軸旋轉角。 在 處出現奇異。

修正羅德里格斯參數的映射集定義為：

。 （2）

用 代表通用的MRP，即 包括 和 。 只有在 處為奇異點。

兩者的幾何關系見下圖所示，因此，當 在單位球內時， 被映射在單位球外，反之亦然。

圖1 MRP原始集與映射關系示意圖[7]

Fig.1 MRP original set and shadow set[7]

因此兩者結合時，可以實現航天器姿態(tài)的全局非奇異描述。此外，當航天器姿態(tài)角大于180°時，若以映射集為被控量，姿態(tài)角將收斂到360°，繞主軸旋轉角始終保持在180°范圍內，為最短收斂路徑，解決了退繞問題，有利于降低能量消耗。

2 剛性航天器數學模型建立

對于剛體航天器，基于MRP的運動學方程為

， （3）

式中： 為航天器本體坐標系相對于慣性坐標系的修正羅德里格斯參數集， 為航天器角速度在慣性坐標系下的矢量形式。方程（3）中的矩陣 ，具體形式為：

， （4）

式中 為斜對稱矩陣。

。 （5）

航天器動力學模型為：

， （6）

式中： 是剛體的慣量矩陣， 為控制輸入， 為 的斜對稱矩陣， 為干擾力矩，本文采用重力梯度力矩。

對剛性航天器的動力學模型（6）和運動學模型（3）進行整理，得到名義狀態(tài)空間模型為：

， （7）

式中 ；

其中 ～ 與 ～ 對應；

。

3 控制器設計

定理1.對于系統（7），如果存在矩陣 ，滿足如下約束：

（8）

則存在保證系統漸近穩(wěn)定的控制律 ，且不存在退繞問題。其中， ； ， 為多項式函數。

證明：

選取Lyapunov函數：

， （9）

其沿狀態(tài)軌跡（7）的導數為：

， （10）

設計非線性狀態(tài)反饋控制律的形式為：

， （11）

代入方程（10）得到：

。 （12）

因此，若要保證系統漸近穩(wěn)定性，需要 ，即要求如下不等式：

。 （13）

對該式兩端同乘 ，整理得到第2個約束條件。

根據MRP定義可知，當特征軸轉角 時， ； 時， ； 時， 。根據（8）中第3個約束條件，模型在 處發(fā)生切換?？紤]到

。（14）

為保證 始終在單位圓內，當 或 時，即滿足（8）中第三個約束條件時時發(fā)生切換。

證畢。

注釋1：與文獻[1][2]相比，該控制器設計過程與系統初始狀態(tài)無關。

4 仿真驗證

本文考慮由重力梯度力矩 產生的干擾。 ，其表達式[11]為：

， （15）

。 （16）

式中： ， 為地心引力常數， 為航天器質心與地球質心距離， ， ， 為由MRPs表示的方向余弦矩陣：

。 （17）

假設航天器轉動慣量矩陣為 ，運行在400km圓軌道上，軌道傾角40°，此時軌道角速度為 ，根據公式（15）-（17），得到重力梯度力矩如圖2所示。

利用SOSTOOLs工具包，求解得（8）中的三個約束條件，得到控制律：

（18）

本文采用文獻[5]設置的參數進行仿真，以便于比較。為說明問題，本文對繞特征軸 旋轉 所對應的姿態(tài)參數 ，初始角速度為零，根據控制律（18），對干擾力矩作用下的剛性航天器進行大角度姿態(tài)控制，得到仿真結果如圖3-6所示，由于MRP不具有明顯的物理意義，為便于工程理解，本文將其轉化成歐拉角顯示。

由于初始MRP的原始集 ，因此切換成映射集 ，如圖3所示，對應歐拉角從-180°方向向0°收斂，如圖4所示。整個控制過程中，控制力矩限制在±4N·m內，且在20s內達到穩(wěn)定狀態(tài)。針對本文中加入的重力梯度力矩干擾，具有魯棒性。

為了對能量損耗進行定量分析，定義能量函數：

。 （19）

分別對文獻[5]中所設計的控制律和本文所設計的控制律計算能量函數，結果如圖7所示。該仿真結果顯示，文獻[5]中所設計控制律控制系統達到穩(wěn)定狀態(tài)所需能量為304.5，利用本文所設計控制律所需能量為2.19，明顯低于文獻[5]中的結果。

5 結論

本文利用SOS方法對剛性航天器進行大角度姿態(tài)控制律設計。通過MRP原始集與映射集的切換，解決了退繞問題。由于MRP原始集與映射集本質相同，滿足相同的運動學方程，因此所設計的控制律不變，只需要在程序中進行參數判斷與切換，容易實現；與此同時，原始集與映射集的結合保證了系統全局無奇異點，實現了系統全局漸近穩(wěn)定。這在工程實際中也具有應用價值。在以后的研究中，將考慮傳感器測量時延導致的參數切換抖顫現象。

參考文獻

[1] CHUNODKAR A， MARUTHI A. Attitude stabilization with unknown bounded delay in feedback control implementation[J]. Journal of Guidance， Control，and Dynamics， 2011， 34（2）： 533-542.

[2] 史小平， 畢顯婷， 楊婧. 基于擴張狀態(tài)觀測器的航天器時延狀態(tài)反饋控制[J]. 系統工程與電子技術， 2016（3）： 624-628.

SHI Xiaoping， BI Xianting， YANG Jing. Spacecraft time-delay state feedback control based on extended state observer[J]. Systems Engineering and Electronics， 2016（3）： 624-628.

[3] Prajna S，Papachristodoulou A，Parrilo PA. SOSTOOLS：Sumofsquaresoptimization toolbox for MATLAB[EB/OL].（2013-8-16）[2016-07-6].http：//www.mit.edu/～parrilo/sostools.

[4] Gollu N， Rodrigues L. Control of large angle attitude maneuvers for rigid bodies using sum of squares[C]. American Control Conference， 2007： 3156-3161.

[5] 何朕，孟范偉， 王廣雄等. 衛(wèi)星大角度姿態(tài)機動控制的SOS設計[J]. 中國空間科學技術， 2013， 33（5）： 69-75.

HE Zhen， MENG Fanwei， WANG Guangxiong， et al. SOS design for control of large attitude maneuvers of satellites[J]. Chinese Space Science and Technology， 2013， 33（5）： 69-75.

[6] 何朕，王廣雄，孟范偉. 非線性H∞控制的SOS設計[J]. 電機與控制學報， 2015， 19（1）： 82-89.

HE Zhen， WANG Guangxiong， MENG Fanwei. SOS design for nonlinear H∞ control[J]. Electric Machines and Control， 2015， 19（1）： 82-89.

[7] SCHAUB H， JUNKINS JL. Stereographic orientation parameters for attitude dynamics： a generalization of the rodrigues parameters[J]. Journal of the Astronautical Sciences， 1995， 44（1）： 13-15.

[8] BINETTE M， DAMAREN C， PAVEL L. Nonlinear H∞ attitude control using modified Rodrigues parameters[J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2014， 37（6）： 2017-2020.

[9] KEEFE S， SCHAUB H. Shadow set considerations for modified Rodrigues parameter attitude filtering[J]. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2014， 37（6）： 2030-2034.

[10] CHATURVEDI N A， SANYAL A K， Mcclamroch N H. Rigid-body attitude control： Using rotation matrices for continuous， singularity-freecontrol laws[J]. IEEE Control Syst Mag， 2011， 31（3）： 30–51.

[11] SAFA A， BARADARANNIA M， et al. Global attitude stabilization of rigid spacecraft with unknown input delay[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 82（4）： 1623-1640.

[12] 崔祜濤，程小軍.考慮有界干擾和輸入飽和的航天器姿態(tài)抗退繞機動控制[J]. 中國科學：技術科學，2012， 42（9）： 1004-1015.

CUI H T，CHENG X J.Anti-unwinding attitude maneuver control of spacecraft considering bounded disturbance and input saturation[J].Science China：Technology Science， 2012，42（9）：1004-1015 .

[13] 何朕，王廣雄. 姿態(tài)控制中的散開現象[J]. 電機與控制學報， 2015， 19（7）：101-105.

HE Zhen， WANG Guangxiong. Unwinding phenomenon in attitude control[J]. Electric Machines and Control， 2015， 19（7）： 101-105.

[14] 胡慶雷， 李理.考慮輸入飽和與姿態(tài)角速度受限的航天器姿態(tài)抗退繞控制 [J].航空學報，2015，36（4）：1259-1266.

HUQinglei， LILi. Anti-unwinding attitudecontrol of spacecraft considering in input saturation and angular velocity constratint[J]. ActaAeronauticaet AstronauticaSinica，2015，36（4）：1259-1266.