張會初

一、提出問題

湘教版九年級數學（2014年6月第二版）第四章有這樣一道練習題：

如圖，已知銳角ΔABC中，AB=15，AC∶BC=7∶8，sinA=，又CD⊥AB，垂足為點D，AD=7，求CD的長度。

1.解題思路一

根據正弦定理=，=，由已知得：sinB=sinA=×=，從而∠B=60°，又AB=15，AD=7， 所以BD=8，在RtΔCDB中，=tanB，CD=BDtanB=8tan60°=8。

2.解題思路二

由已知CD⊥AB得∠ADC=90°，在RtΔADC中，=sinA=，設CD=4x，則AC=7x，。

已知AD=7，根據勾股定理：AC2=AD2+CD2

（7x）2=72+（4x）2，解得：x=7，從而CD=28。

兩種解法，兩個結果，問題出在哪？

二、推導

由AC∶BC=7∶8，可設AC=7x，則BC=8x，因為AD=7，AB=15，可得BD=8。

∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，在RtΔADC和RtΔBDC中， AC2=AD2+CD2，BC2=BD2+CD2，AC2-AD2=BC2-BD2，

∴（7x）2-72=（8x）2-82。

解得x=1，從而AC=7，BC=8。

此時AC=AD，BC=BD，即斜邊=直角邊。解題思路沒問題，說明條件出了問題。

三、探究

設AD為x，則BD=15-x，由sinA=得cosA==。

∵cosA=，∴AC=x，由解題思路一可知∠B=60°。

∵cosB=，∴BC==30-2x，又∵=，∴=，解得x=。故條件中AD=7不成立。

本題由于多給了條件，且沒有經過驗證，導致問題出現，這無形中增加了學生的解題難度。所以教師在出題時，應多加思考。