牛騰

摘 要：在中國古代，開方遠(yuǎn)比乘方逆運算的范圍要廣，實際上是對一元二次及以上方程求數(shù)值解，它是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的一個重要門類。文章梳理了“開方”及其分類術(shù)語的歷史源流與含義，考察了一些辭書對“開方”等術(shù)語的解釋，并對其中不準(zhǔn)確的解釋進行了糾正。

關(guān)鍵詞：開方，一元二次及以上方程，數(shù)學(xué)術(shù)語，中國古代數(shù)學(xué)史

中圖分類號：O112；N04 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1673-8578.2017.03.015

Some Issues on the Terms about “kaifang” in Ancient Chinese Mathematics//NIU Teng

Abstract：The term “kaifang”（開方） is an important branch of mathematics in ancient China. Its meaning is much wider than the inverse operation of power. In fact， it refers to the methods and operations of finding positive roots of an equation with one unknown of 2 or higher degree. This paper discusses the origin and development of the term “kaifang” and the related terms， analyzes their historical meanings， examines the explanations of these terms in some modern dictionaries， and corrects some statements of the explanations which are not in conformity with historical facts.

Keywords：“kaifang”，equation with one unknown of 2 or higher degree，mathematics terms，history of mathematics in ancient China

一 “開方”及其分類術(shù)語的產(chǎn)生和發(fā)展

我們現(xiàn)在通常所說的“開方”，是指乘方的逆運算，即由A、n，求滿足xn=A的x的運算。有時開方亦特指開平方。這一術(shù)語，來源甚古，但中國古代的開方，范圍比這寬泛得多，內(nèi)容也非常豐富。本文對中國古代的“開方”及其分類術(shù)語做一簡單疏理，特別要糾正前人在這方面存在的若干問題。

現(xiàn)存文獻中，“開方”這一術(shù)語最早見于《周髀算經(jīng)》：“句股各自乘，并而開方除之，得……” [1]21相當(dāng)于直角三角形中，已知勾a、股b，求弦c，c=a2+b2。書中未載具體運算過程，但據(jù)算理可知此書“開方”指的是開平方。值得注意的是，“開方”之后有“除之”二字。因為乘方是乘法的擴展，開方被認(rèn)為是除法的擴展，所以用“除”字。這種情況在古算書中較為常見，如“開立方除之”“開三乘方除之”等?！毒耪滤阈g(shù)》記載的“開方術(shù)”，也是開平方法，用算籌進行運算[2]131。宋《謝察微算經(jīng)》“用字例義”中稱：“開方，即自乘還原也”[3]，意為開方即開平方，程大位《算法統(tǒng)宗》“用字凡例”也采用上述解釋[4]1230，但程氏算書中的“開方”有時并非特指開平方。

其實早在《九章算術(shù)》等書中，“開方”就不單純是指開平方，如《九章算術(shù)》“以出北門步數(shù)乘西行步數(shù)倍之為實，并出南門步數(shù)為從法，開方除之即邑方”[2] 200，《周髀算經(jīng)》趙爽注“以差實減弦實，半其余，以差為從法，開方除之，復(fù)得勾矣”[1]11中的“開方除之”均指帶從開平方，相當(dāng)于解一次項系數(shù)不為0的一元二次方程?！稄埱鸾ㄋ憬?jīng)》[5]291、李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》中有的“開方”[2]136指的是開立方。到北宋賈憲“開方作法本源”圖（見圖1）出現(xiàn)，“開方”所包含的范圍更廣，除了開平方、開立方等，還包含開三乘及以上方以及各種開帶從方問題，所以很多算書都把開方作為一個大的重要門類進行介紹。

如楊輝稱“開方乃算法中大節(jié)目”，并將“開方”分為七類：“一曰開平方，二曰（積）[開] 平圓，三曰開立方，四曰開立圓，五曰開分子方，六曰開三乘以上方，七曰帶從開方。”[7]1049朱世杰《算學(xué)啟蒙》中有“開方釋鎖門”一條，其中包含了開平方、開立方、開三乘方等[8]。元末賈亨《算法全能集》稱：“開方之法有三：有平方，有直方，有立方?！盵9]《九章算法比類大全》“習(xí)算之法”中稱“一先要熟讀九數(shù)，二要誦歸除歌法……九要知勾股弦數(shù)，十要知開方各色”，該書最后一卷為“各色開方卷”[10]13-14，包含開三乘方、開四乘方、開五乘方、帶從平方、帶減從開平方、帶減積開平方等等。王文素《算學(xué)寶鑒》引用楊輝的分類，“開方”內(nèi)容更為豐富，除了包含上述七個分類，另外還有“共積開平方”“共積開立方”“三乘以上圓”等較細(xì)分類。周述學(xué)《神道大編歷宗算會》稱“各求方面法，用商除以開其積，謂之開方”[11]，并介紹了開平方、開立方、開三乘方、開四乘方、開五乘方的運算過程，還介紹了各類開帶從方法?！稊?shù)學(xué)通軌》“習(xí)數(shù)法語”也稱“一先要熟讀九數(shù)，……十要知開方各色”[12]1173。該書并未介紹各色開方，但書中最后一部分“九章總義”引用顧應(yīng)祥的說法，對開方有所介紹：“箬溪顧氏曰：……開者，除也；闔者，乘也?！苑e求形，則先得其積，而后求其長短廣狹斜正之形，有非乘除之所能盡者，故必以商除之。然而商除亦不能盡也，而又立正負(fù)廉隅之法以增損附益之，故其為術(shù)也難。予見《測圓海鏡》一書，荊川唐太史所錄，乃元翰林學(xué)士樂城李公冶所著，雖專主于勾股求容圓容方一術(shù)，然其中間如平方、立方、三乘方、帶從、減從、益廉、減廉、正隅、負(fù)隅諸法，凡所謂以積求形者皆盡之矣，故為之分其類而釋其術(shù)以便下學(xué)云耳?！盵12]1209如《數(shù)學(xué)通軌》所述，顧應(yīng)祥《測圓海鏡分類釋術(shù)》和《測圓海鏡》詳注了多種類型的開方，前書共有開平方到開四次方的各種開方細(xì)草60多條，后書也有26條之多。清李長茂《算海說詳》第四卷為開方章，介紹各類開方問題[13]。

楊輝對開方的分類較早，也比較全面，下面就依照楊輝的七個分類：開平方、開平圓、開立方、開立圓、開分子方、開三乘以上方、帶從開方，依次介紹各術(shù)語的產(chǎn)生及發(fā)展。其中第1、3、6項與第7項都有重疊之處。

（一）開平方

《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《緝古算經(jīng)》《開元大衍歷經(jīng)》等書中都用到開平方，但都沒有用“開平方”這一術(shù)語，而是以“開方”表示開平方。目前存留的算書中，《夏侯陽算經(jīng)》中最早出現(xiàn)“開平方”之名[14]，即我們現(xiàn)在所說的開平方。其后的算書中基本都沿用“開平方”術(shù)語指代開平方，但有時亦兼指開帶從平方。如楊輝《田畝比類乘除捷法》卷下引用劉益《議古根源》“置積為實，以不及步為從方，開平方除之”[7]1086，其中“開平方除之”即開帶從平方法，再如《測圓海鏡分類釋術(shù)》中的“負(fù)隅開平方法”[15]1000-1001，相當(dāng)于求解方程1250x2=18000000。所以，在古代對于求一元二次方程的正根，有的算書統(tǒng)稱為“開平方”。

（二）開立方

《九章算術(shù)》記載了開立方法，并有“開立方”這一術(shù)語[2]133，含義與我們現(xiàn)在所說的開立方一致。此術(shù)語也出現(xiàn)在后來的算書中，大部分用來指代開立方法，但如同“開平方”含義的擴展一樣，有時開帶從立方也簡稱為“開立方除之”。如王孝通《緝古算經(jīng)》第15問“冪自乘，倍多數(shù)而一，為實，半多廉法，從。開立方除之”[16]，張爵《九章正明算法》“得四千八十個為實，以二為縱方，三為縱廉，以開立方法除之”[17]，都是對開帶從立方的說明。所以，在古代對于求一元三次方程的正根，有的算書統(tǒng)稱為“開立方”。

（三）開平圓

古代把球稱為立圓，平面上的圓形稱為平圓。開平圓法，即已知圓面積求圓周或半徑的方法，其實開平圓可歸結(jié)為開平方?！毒耪滤阈g(shù)》南宋本中有“開圓術(shù)”這一術(shù)語[18]271，是已知圓面積求圓周的方法。《孫子算經(jīng)》[19]《張丘建算經(jīng)》[5]274-275等書中也有這類問題，至楊輝《乘除通變本末》中出現(xiàn)“開平圓”，明代吳敬、王文素、余楷等都沿用了這一術(shù)語。其中，余楷《一鴻算法》中有“開平圓方歌”[20]，程大位《算法統(tǒng)宗》中有“平圓法歌”[4]1315。清李長茂《算海說詳》“開方章”中有“平圓開方問徑周法”[13]，清代方中通《數(shù)度衍》的“開平圓”分“積求外周法”和“積求內(nèi)徑法”兩部分[21]，清梅瑴成《增刪算法統(tǒng)宗》也載有“平圓法歌”等[22]。

（四）開立圓

開立圓法即已知球體積求立圓徑或立圓周的方法，可歸結(jié)為開立方法?！毒耪滤阈g(shù)》南宋本有“開立圓術(shù)”，是已知球體積求球徑的方法[2]279?！稄埱鸾ㄋ憬?jīng)》中載有已知立圓（球）體積求其直徑的問題[5]290。李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》中說到“祖暅之開立圓術(shù)曰：以二乘積，開立方除之，即立圓徑”[2]137。意思是以2乘體積，對它做開立方除法，就是立圓的直徑。后來這一術(shù)語也發(fā)現(xiàn)于《九章比類》《算學(xué)寶鑒》等書中。其中，《算法統(tǒng)宗》載有“立圓法歌”[4]1324，《算海說詳》“開方章”中有“立圓開方問徑法”一條，《數(shù)度衍》的“開立圓”分“積求外周法”和“積求內(nèi)徑法”兩類，《增刪算法統(tǒng)宗》也載有“立圓法歌”等。

除了開平圓和開立圓問題，王文素《算學(xué)寶鑒》中還載有“三乘以上圓”問題，并有歌訣：“算家若要開圓積，積乘方率通為實。圓率為隅列下張，開方取徑無差失。”[23]927

（五）開分子方

開分子方即分?jǐn)?shù)開方問題，也可歸于開平方、開立方、開三乘以上方等各類中。這里提到兩種情況，一種是分母可以直接開出整數(shù)來，則對分子和分母分別開方；另一種是分母不能直接開出整數(shù)來，這時通過分子、分母同時乘以一個或幾個數(shù)，使分母可以直接開出整數(shù)來，便可化為前一種情況，此術(shù)的重點在于求分子的方根或其近似值。因為強調(diào)分子的開方，所以稱為“開分子方”?！毒耪滤阈g(shù)》詳述了分?jǐn)?shù)開平方和分?jǐn)?shù)開立方問題，如對分?jǐn)?shù)開平方，“若實有分者，通分內(nèi)子為定實，乃開之。訖，開其母，報除。若母不可開者，又以母乘定實，乃開之。訖，令如母而一?！盵18]269對分?jǐn)?shù)開立方也有類似說明[18]277。現(xiàn)存算書中，楊輝《算法通變本末》中始出現(xiàn)“開分子方”術(shù)語[7]，王文素《算學(xué)寶鑒》也載有此類問題，第十六卷有“平方帶分子”[23]560，第三十五卷有“開分子立方”[23]853等?？傮w說來，專門論述分?jǐn)?shù)開方問題的古代算書還是比較少的。

（六）開三乘以上方

“開n乘方”，表示開（n+1）次方，或求一元（n+1）次方程的數(shù)值解。按楊輝的分類，開三乘以上方，包含開三乘方?，F(xiàn)存的中國古代資料中，賈憲最先記載了直接開三乘方的方法，稱為“遞增三乘開方法”[6]1426。其后，秦九韶、朱世杰、吳敬、王文素、程大位等都載有開三乘方等問題。如王文素《算學(xué)寶鑒》中的“置積一千五百二十五億八千七百八十九萬六百二十五尺為實，以一為隅算，開七乘方除之”[23]926，相當(dāng)于求8152587890625。有時開三乘帶從方法亦稱為“開三乘方除之”，如楊輝《田畝比類乘除捷法》的一則題目，術(shù)曰：“倍積，自乘為實。四因積步為上廉，四因徑步為下廉，五為負(fù)隅，開三乘方除之，得矢?！盵7]1093，相當(dāng)于求一元四次方程-5x4+52x3+128x2=4096的數(shù)值解。

（七）帶從開方

帶從開方，也叫開帶從方，不止包含帶從開平方、帶從開立方，還包括帶從開三乘以上方?！毒耪滤阈g(shù)》中就有帶從開平方問題，出現(xiàn)“從法”這一術(shù)語，但是沒有運算過程[2]200，此方法是開平方法求次商及以后各商的程序，所以該書仍用“開方除之”代之，并未出現(xiàn)“帶從開平方”或“開帶從平方”等術(shù)語。此外，《算法全能集》中的“直方”，也可能是指帶從開平方。秦九韶《數(shù)書九章》中的“開連枝三乘方”“開翻法三乘方”“開玲瓏翻法三乘方”等都屬于帶從開三乘方，書中還有“開玲瓏九乘方”，即帶從開九乘方[24]。吳敬、顧應(yīng)祥、周述學(xué)、王文素、程大位等也都載有豐富的帶從開方問題。

另外，不少算書也對“開方不盡”問題進行了闡釋，如《九章算術(shù)》《算學(xué)寶鑒》《算法統(tǒng)宗》等分別對開平方不盡、開立方不盡問題進行了說明，并給出了解決辦法。

綜上，“開方”最開始是指開平方或者開帶從平方，后來針對開立方等也說“開方除之”。隨著數(shù)學(xué)的高度發(fā)展，開方逐漸成為一個大的門類，也能夠解決開四次及以上方以及各類帶從開方問題?？偟膩碚f，在中國古代，開方是求解一元二次及以上方程的數(shù)值解的一類問題。“開平方”“開立方”“開三乘方”等術(shù)語不僅可指開平方、開立方、開三乘方等，有時，帶從開平方、帶從開立方、帶從開三乘方也分別簡稱為“開平方除之”“開立方除之”“開三乘方除之”。“帶從開方”一般專門指帶有“從法”的開方問題。

二 一些辭典對“開方”及其分類術(shù)語的解釋存在問題

我們在研讀工作中發(fā)現(xiàn)，一些辭書中有關(guān)開方的術(shù)語之解釋存在這樣那樣的問題。因此本文將對這些問題做一簡要的討論。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，很早就有籌算開方法，后來在此基礎(chǔ)上又發(fā)展為珠算開方法，因此下面將以涉及“開方”及相關(guān)古算術(shù)語較多的《數(shù)學(xué)辭海》和幾部珠算辭典為主，分析它們對“開方”等術(shù)語的解釋，以考察是否符合其歷史含義。其他辭書如《大辭?！?shù)理化力學(xué)卷》的“中國古算”[25]50、《中國大百科全書·數(shù)學(xué)》的“中國古代數(shù)學(xué)計算方法”[26]部分關(guān)于開方只介紹了“增乘開方法”。

關(guān)于“開方”，《大辭海·數(shù)理化力學(xué)卷》對它的歷史含義解釋得較全面：“中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中指求二次及高次方程（包括二項方程）的正根?！毒耪滤阈g(shù)》少廣章提出了世界上最早的多位數(shù)開平方、開立方程序，宋元時發(fā)展為增乘開方法。”[25]59但更確切地說是求一元二次及高次方程的正根。《數(shù)學(xué)辭?！返?卷稱是“開平方的方法”，并舉例《九章算術(shù)》中的“開方術(shù)”特指開平方運算[27]42，但《九章算術(shù)》有一例解中的“開方除之”指的是帶從開平方法?！妒澜缰樗阃ǖ洹穂28]72《中華珠算大辭典》[29]85和《珠算小辭典》[30]將“開方”均解釋為“乘方的逆運算”，和現(xiàn)代數(shù)學(xué)對開方的解釋相同，不符合珠算開方的含義。

關(guān)于“開平方”，《數(shù)學(xué)辭?！分袥]有對“開平方”一詞的解釋，根據(jù)它對“開方”的解釋，也許它將“開方”當(dāng)成開平方的古算術(shù)語。《世界珠算通典》[28]345《珠算小辭典》[30]對“開平方”的解釋基本相同，均將求非負(fù)實數(shù)方根的運算叫作開平方?！吨腥A珠算大辭典》解釋“開平方除”指開平方運算，簡稱為開方除，并稱“《九章算術(shù)》和其他古算書中，把解二次方程（帶縱開方）的方法，也稱作開方除（之）?！盵29]88除了《中華珠算大辭典》對“開平方”的解釋較符合其本意，其他辭書的解釋都比較片面。

關(guān)于“開立方”，《數(shù)學(xué)辭?！返绒o書均解釋為“開立方的方法”，只有《中華珠算大辭典》做了補充：“《緝古算經(jīng)》等古算書中，把解三次方程（帶從開立方）的方法，也稱作開立方除?！盵29]90

關(guān)于“開平圓”“開立圓”，三部珠算辭典都沒有對這兩個術(shù)語進行解釋和介紹，其實程大位《算法統(tǒng)宗》、李長茂《算海說詳》等珠算書中均載有這兩類問題。《數(shù)學(xué)辭海》沒有介紹“開平圓術(shù)”，對“開立圓術(shù)”進行了解釋：“指已知球體積，求球直徑的方法”[27]42，但開立圓術(shù)還包含已知球體積求球的大圓周長（稱為“求立圓周”）的方法，如《數(shù)度衍》等書中就載有此類問題。

關(guān)于“開帶從平方”，也稱為“帶從開平方”，《數(shù)學(xué)辭?！穼Υ诵g(shù)語解釋如下：“指求形如x2+Bx=AA>0，B>0的一元二次方程的正根的一種解法”[27]48，忽略了二次項系數(shù)不為1，A和B不一定大于0的情況，如《測圓海鏡分類釋術(shù)》中有相當(dāng)于求解形如4x2-1248x-92160=0的一元二次方程的方法，書中稱之為“負(fù)隅減從開平方法”[15]1003；《算法統(tǒng)宗》中求解形如x2-60x-864=0的“減從開平方法”[4]1314，其實都屬于“帶從開平方法”一類?！妒澜缰樗阃ǖ洹穂28]122和《中華珠算大辭典》[29]297的解釋：“古代把二次方程x2+ax=b中的一次項系數(shù)a叫‘從法，后來中算家即把解二次方程稱為‘帶從開平方?！背舜嬖谂c《數(shù)學(xué)辭?！废嗨频腻e誤以外，后半句中忽略了當(dāng)一次方程a=0時，即為開平方法。

關(guān)于“開帶從立方”，也稱為“帶從開立方”，各辭典對此術(shù)語的解釋仍出現(xiàn)了同上對“開帶從平方”解釋不全面的問題。如《數(shù)學(xué)辭?！方忉尀椋骸爸盖笮稳鐇3+Bx2+Cx=AA>0，B>0，C>0的一元三次方程的正根的一種方法?！盵27]48《世界珠算通典》稱，中國古代將形如x2x+p=qp，q>0；xx+p2=qp，q>0；xx+px+q=rp，q，r>0之三次方程的解法稱為帶從開立方或開帶從立方[28]121。這個說法是很不準(zhǔn)確的，其實這類形式中有些只存在于列出開方式的過程中，還沒有進入到馬上可以開方的階段?！吨腥A珠算大辭典》說：“解含有一次項的三次方程，稱為‘帶從開立方。”[29]297上述解釋都忽略了三次項系數(shù)不等于1、二次項系數(shù)不為0的一元三次方程的情況，對各項系數(shù)符號的說明也過于片面。如《九章比類》中有相當(dāng)于求解3x3+60x2+400x-304000=0的一元三次方程的方法，吳氏稱之為“帶從方廉隅算開立方法”[10]314。

關(guān)于“開三乘以上方”（相當(dāng)于求4次或更高次方程的數(shù)值解），以上辭書沒有解釋。《數(shù)學(xué)辭?！分杏小伴_諸乘方”與之相關(guān)，其解釋為：“將開平方、開立方算法推廣到開更高次方，是中國古代數(shù)學(xué)家在《九章算術(shù)》‘開方術(shù)基礎(chǔ)上，借助于‘開方作法本源圖發(fā)展起來的一種算法”[27]52，但也不甚準(zhǔn)確，因為有的四次以上開方并不用“開方作法本源圖”（即賈憲三角），如開高次方的增乘開方法就不用這個圖表，明代朱載堉（1536—1611）開12次方時也不用，而是化為兩次開平方、一次開立方來解決。

關(guān)于“開帶從方”，也稱為帶從開方，以上辭書中均未對此術(shù)語進行介紹，也沒有對開三乘帶從方等開方法的解釋和說明，這類問題在《數(shù)書九章》《四元玉鑒》《九章比類》《算學(xué)寶鑒》《測圓海鏡分類釋術(shù)》《神道大編歷宗算會》等算書中均有涉及。如朱世杰《四元玉鑒》卷上“和分索隱”門第13問中有：“得一百六十九萬五千二百五十二為益實，三千九百六十為從方，一千七百二十九為從上廉，二千六百四十為益下廉，五百七十六為從隅，三乘方開之，得平?！盵31]，相當(dāng)于解四次方程576x4-2640x3+1729x2+3960x-1695252=0[32]。

根據(jù)上述對一些辭書在解釋有關(guān)“開方”及其分類術(shù)語時存在的問題之分析，我們可以用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言將修正后的結(jié)果概括如表1。

三 結(jié) 語

上面簡要論述了“開方”及其分類術(shù)語的使用和含義的歷史發(fā)展。同時，我們也發(fā)現(xiàn)，一些辭典對這些術(shù)語的解釋不少地方不符合歷史事實。一個普遍的問題是縮小了不少術(shù)語本身的含義。特別是各類珠算辭典對開方的介紹，沒能充分體現(xiàn)出珠算開方法本身的特點，比如用算盤可以求一元二次及高次方程的正根，并有相應(yīng)珠算開方法，但這些珠算辭典卻只是對有關(guān)開方的術(shù)語做出籠統(tǒng)的介紹，掩蓋了算盤的功能。所以，建議各類書籍或辭典在介紹開方的歷史，或解釋中國古代有關(guān)開方的術(shù)語時，應(yīng)盡量全面、真實而完整地反映歷史事實，做到既符合本義，又能起到普及的作用。

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