田載今

你知道如何表示點(diǎn)的位置嗎？下面跟著田老師看一看吧。

1.用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置。

幾何學(xué)研究圖形的形狀、大小和位置。幾何圖形是按“點(diǎn)-線-面-體”的順序由簡單到復(fù)雜發(fā)展的。點(diǎn)是構(gòu)成圖形的最基本的元素，在研究它時(shí)，一般只考慮位置，不考慮大小。如何準(zhǔn)確無誤地描述點(diǎn)的位置？這是幾何學(xué)中的一個(gè)基本問題。

如圖1，在線段AB上有點(diǎn)C，D，E，怎樣準(zhǔn)確地說出它們的位置呢？我們可以量出點(diǎn)C，D，E到線段一端點(diǎn)A的距離，如果距離分別為C，d，e，那么可以說點(diǎn)C，D，E在線段AB上且到點(diǎn)A的距離分別為c，d，e。

我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以要表示數(shù)軸上某個(gè)點(diǎn)的位置，只要說出這個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)即可。因此。要表示一條確定直線上的點(diǎn)的位置，只要在這條直線上建立數(shù)軸。即確定正方向、原點(diǎn)和單位長度。直線上的每一點(diǎn)就都有了對(duì)應(yīng)的數(shù)值。

如圖2，一張長方形紙上有點(diǎn)P，O，R，怎樣準(zhǔn)確地說出它們的位置呢？這些點(diǎn)都在同一平面上，但不都在同一直線上，只用一條數(shù)軸已無法表示它們的位置。于是有了用兩條數(shù)軸解決問題的方法。

如圖3，以紙上某定點(diǎn)為原點(diǎn)O。先畫一條水平的數(shù)軸，取向右為正方向，記作x軸；過原點(diǎn)O再畫一條豎直的數(shù)軸，也以點(diǎn)O為原點(diǎn)，取向上為正方向，記作y軸。這就組成一個(gè)平面直角坐標(biāo)系。從點(diǎn)P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別對(duì)應(yīng)x軸上的數(shù)a和y軸上的數(shù)b，這樣點(diǎn)P與有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）對(duì)應(yīng)起來。（a，b）是點(diǎn)P的坐標(biāo)，它以數(shù)量方式表示點(diǎn)P在紙上的位置。按照這種方法。點(diǎn)Q，R的位置也可表示出來。

在一個(gè)平面上，像上面那樣建立平面直角坐標(biāo)系后。平面上任一點(diǎn)都有一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）與之對(duì)應(yīng)，而且不同的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)也不同；反過來，任一確定的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）在平面上只對(duì)應(yīng)唯一的點(diǎn)。因此，有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

在教室里隨意選取點(diǎn)P，Q，R（它們可能在地面或墻壁或頂棚或空中），怎樣準(zhǔn)確地說出它們的位置呢？這些點(diǎn)不一定都在同一直線或同一平面上，只用一條或兩條數(shù)軸已無法表示它們的位置，于是有了用三條數(shù)軸解決問題的方法。

如圖4，以教室內(nèi)某定點(diǎn)為公共原點(diǎn)O，畫三條兩兩垂直（如同長方體同一頂點(diǎn)處的三條棱）的數(shù)軸，分別記作x軸，y軸和x軸，這就組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。從點(diǎn)P分別向三條坐標(biāo)軸作垂線，垂足分別對(duì)應(yīng)x軸上的數(shù)a，y軸上的數(shù)b和z軸上的數(shù)c，這樣點(diǎn)P與有序?qū)崝?shù)組（a，b，c）對(duì)應(yīng)起來。（a，b，c）是點(diǎn)P的坐標(biāo)，它以數(shù)量方式表示點(diǎn)P在教室中的位置。按照這種方法，點(diǎn)Q，R的位置也可表示出來。

在空間中，像上面那樣建立空間直角坐標(biāo)系后，空間中任一點(diǎn)都有一個(gè)有序?qū)崝?shù)組（x，y，zz）與之對(duì)應(yīng)，而且不同的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組也不同；反過來，任一確定的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）在空間中只對(duì)應(yīng)唯一的點(diǎn)。因此，有序?qū)崝?shù)組與空間中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

綜上可知，確定直線上點(diǎn)的位置時(shí)，用一條數(shù)軸組成的直線坐標(biāo)系。點(diǎn)的坐標(biāo)為一個(gè)實(shí)數(shù)，這叫作一維坐標(biāo)。確定平面上點(diǎn)的位置時(shí)，用兩條數(shù)軸組成的平面坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，這叫作二維坐標(biāo)。確定空間中點(diǎn)的位置時(shí)，用三條數(shù)軸組成的空間坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為一個(gè)包含三個(gè)實(shí)數(shù)的有序?qū)崝?shù)組，這叫作三維坐標(biāo)?？傊c(diǎn)的坐標(biāo)是以數(shù)量形式表示點(diǎn)的位置的方式。這種方式使用得很普遍，如電影票、火車票、飛機(jī)票等，都用這種方式來表示座位的位置。

2.用坐標(biāo)法研究圖形。

坐標(biāo)的產(chǎn)生起源于表示點(diǎn)的位置。但是坐標(biāo)的作用并不局限于表示點(diǎn)的位置。數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是數(shù)量關(guān)系（簡稱“數(shù)”）和空間形式（簡稱“形”），兩者密切相關(guān)。用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，為將“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化開辟了道路。

笛卡兒是17世紀(jì)時(shí)法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立了一種研究數(shù)學(xué)的新方法——坐標(biāo)法。這種方法可以使幾何問題代數(shù)化，即用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用關(guān)于坐標(biāo)的方程表示曲線。坐標(biāo)法開創(chuàng)了解析幾何這個(gè)數(shù)學(xué)分支。也為微積分的誕生創(chuàng)造了條件。有人曾這樣評(píng)價(jià)：笛卡兒坐標(biāo)的出現(xiàn)，是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。從此運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。微積分的出現(xiàn)也成為必然結(jié)果。

如何用方程表示曲線（包括直線）呢？我們看個(gè)簡單的例子。如圖5，∠AOB=90°。OC是LA OB的平分線，我們要用方程表示它。以點(diǎn)D為原點(diǎn)，OA，OB所在的直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)射線OC上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)P在∠AOB的平分線上，所以它到x軸和y軸的距離相等，并且橫、縱坐標(biāo)都不會(huì)是負(fù)數(shù)。于是點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）應(yīng)滿足x=y（x≥0，y≥10）。反過來，凡是坐標(biāo)（x，y）滿足方程x=y（x≥0，y≥0）的點(diǎn)都在射線OC上。這就是說，方程x=y（x≥0，y≥0）的解與射線OC上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，它們是同一對(duì)象的兩種不同的表現(xiàn)形式。