■江蘇省常州市第二中學(xué) 黃 雯

立足基本方法 提高思維層次
——例談解析幾何問題的解題策略

■江蘇省常州市第二中學(xué) 黃 雯

圓錐曲線是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,在填空題與解答題中均有體現(xiàn)。填空題綜合性較小,主要考查圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)。解答題除了考查圓錐曲線的通性通法和基本知識,還經(jīng)常與函數(shù)、不等式、向量等知識結(jié)合起來構(gòu)成難度較大的綜合題,往往滲透著數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想。本文圍繞解析幾何題如何優(yōu)化過程、減小運(yùn)算量、提高思維層次、正確解出結(jié)果的話題進(jìn)行研討。

一、最值與范圍問題——構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)

如圖1,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓C1:的一個(gè)頂點(diǎn),橢圓C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑。l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D。

圖1

(1)求橢圓C1的方程;

(2)求△ABD面積S的取值范圍。

解析：(1)橢圓C1的方程為

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0, y0),直線l1的方程為y=kx-1(k一定存在),則直線l2的方程為x+ky+k=0。

解法1:構(gòu)建二次函數(shù)。

感悟：解決圓錐曲線中的最值與范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍。因此,求解這類問題的關(guān)鍵是建立關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù),在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題意把需要的量都用我們選用的變量表示,有時(shí)在建立關(guān)系的過程中也會采用多個(gè)變量,只要在最后求解時(shí)把多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為單個(gè)變量即可,同時(shí)要特別注意變量的取值范圍。在建立了目標(biāo)函數(shù)之后,我們經(jīng)常將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)、雙曲線型函數(shù)、有理分式函數(shù)、三角函數(shù)等,關(guān)鍵是巧用換元法。

二、定點(diǎn)定值問題——從向量的角度轉(zhuǎn)化

已知圓C:(x-3)2+(y-4)2= 4,直線l1過定點(diǎn)A(1,0)。

(1)若l1與圓相切,求l1的方程。

(2)若l1與圓相交于P、Q兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點(diǎn)為N,判斷AM·AN是否為定值。若是,請求出定值;若不是,請說明理由。

解析：(1)①若直線l1的斜率不存在,即直線l1的方程為x=1,符合題意。

②若直線l1的斜率存在,設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0。由題意知,圓心(3,4)到直線l1的距離等于圓C的半徑,即解得k=,此時(shí)直線l1的方程為3x-4y-3=0。綜上可知,直線l1的方程為x=1或3x-4y-3=0。

解法2:設(shè)點(diǎn)N(x,y),因?yàn)镹在直線l2上,所以x+2y=-2。

感悟：處理本題時(shí),若將直線l1的方程y=k(x-1)與圓C的方程聯(lián)立,用k表示出弦PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo),再求出l1與l2的交點(diǎn)N的坐標(biāo),最后代入計(jì)算AM·AN的值,這個(gè)思路清晰,但運(yùn)算繁冗。而向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重屬性,與解析幾何的本質(zhì)同屬一脈,在解決線段長度問題時(shí),可以把長度問題轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行優(yōu)化處理。本題因?yàn)锳共線,所以AM· AN可以用表示,與單純的計(jì)算長度相比,顯得更為方便簡潔。

三、“設(shè)而不求”與“設(shè)而求之”

(1)求橢圓C的方程。

(2)設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P、Q兩點(diǎn)。若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,請說明理由。

解析：(1)橢圓方程為

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),方程為x=±4,此時(shí)S△OPQ=8。

解法1:兩直線l1:x-2y=0和l2:x+ 2y=0可統(tǒng)一表示為x2-4y2=0,由得(1-4k2)x2-8kmx-4m2=0,由韋達(dá)定理,得

感悟：解析幾何的本質(zhì)就是將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為易于計(jì)算的代數(shù)問題,“設(shè)而不求”和“設(shè)而求之”都是解析幾何本質(zhì)的體現(xiàn)。很多時(shí)候,采用“設(shè)而不求”的策略可以使復(fù)雜的問題簡單化,但是再好的方法也有其適用的范圍,且這一方法有時(shí)對解題技巧及思維有較高的要求。例如本題第(2)問的解法2采用“設(shè)而求之”的方法,解題過程自然簡潔,從而收到準(zhǔn)確、快速的解題效果。

四、借形助數(shù)，事半功倍

已知定點(diǎn)A(-1,0),圓C:x2+ y2-2x-23y+3=0。

(1)過點(diǎn)A向圓C引切線,求切線長;

(2)過點(diǎn)A作直線l1交圓C于P、Q兩點(diǎn),且求直線l1的斜率k;

(3)定點(diǎn)M、N在直線l2:x=1上,對于圓C上任意一點(diǎn)R都滿足RN=3RM,試求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：(1)圓C:x2+y2-2x-23y+ 3=0,可化為(x-1)2+(y-3)2=1。如圖2,過點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為T,連接AC、CT,故

(2)解法1:由切割線定理,AT2=AP· AQ,則6=AP·AQ=2AP2,所以AP=PQ= 3,所以圓心C到直線l1的距離,由題意知直線l的斜1率一定存在,設(shè)l1:y= k(x+1),即kx-y+k=0,所以

解法2:如圖3,取線段PQ的中點(diǎn)H,連接CP、CH,設(shè)CH=d,PH=a,則AP=2a。在Rt△CPH中,CH2+PH2=CP2,即a2+d2=1。在Rt△CAH中,CH2+AH2=AC2,即9a2+d2=7。解得以下同解法1。

圖2

圖3

感悟：在解答解析幾何問題的過程中,幾何條件的轉(zhuǎn)化對計(jì)算的難易有時(shí)起著決定性的作用,數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。例如本題第(2)問,如果能將直線與圓相切的條件用好,可以收到事半功倍的效果。

(責(zé)任編輯 王福華)