陳希有， 劉鳳春， 齊 超， 李冠林

(1.大連理工大學(xué) 電氣學(xué)院，遼寧 大連 116023；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

關(guān)于互感元件教學(xué)的三個(gè)問(wèn)題

陳希有1， 劉鳳春1， 齊 超2， 李冠林1

(1.大連理工大學(xué) 電氣學(xué)院，遼寧 大連 116023；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

本文闡述了“電路”課程互感元件教學(xué)中的三個(gè)問(wèn)題：消去互感前后磁鏈的變化；含有漏感和理想變壓器的電路模型；工程上具有特殊工作條件的互感電路模型。在闡述這些問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用了電磁學(xué)原理，銜接前后知識(shí)，聯(lián)系工程案例，呼應(yīng)后續(xù)課程。

互感；去耦；漏感；案例

0 引言

互感元件始終是電路理論教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，這不僅是因?yàn)檫@種元件的理論作用，更是因?yàn)樗c工程實(shí)際密切相關(guān)。在互感元件中，同時(shí)發(fā)生著電到磁和磁到電的雙重轉(zhuǎn)換，還涉及到電磁學(xué)的兩大重要定律:安培環(huán)路定律和法拉第電磁感應(yīng)定律。因此，對(duì)互感元件的教與學(xué)需要下大功夫。例如，文獻(xiàn)[1]研究了全耦合互感并聯(lián)，指出：當(dāng)L1≠L2時(shí)，互感等效為短路；當(dāng)L1=L2時(shí)，互感等效為L(zhǎng)1;文獻(xiàn)[2]用受控源轉(zhuǎn)移法來(lái)消去互感，方法有趣且巧妙，等等。

本文闡述了筆者對(duì)互感元件的某些教學(xué)理解，深化了互感教學(xué)內(nèi)容，聯(lián)系了工程案例，做到了知識(shí)的前后貫通，并呼應(yīng)了后續(xù)課程，可供因材施教時(shí)參考。

1 消去互感前后磁鏈變化對(duì)比

如何消去互感，使其成為簡(jiǎn)單的自感電路，是互感元器件教學(xué)的重要內(nèi)容之一。但在消去互感的過(guò)程中，細(xì)心的學(xué)生會(huì)對(duì)磁鏈的變化產(chǎn)生疑惑。現(xiàn)舉例如下。

利用消去互感原理，將圖1(a)所示電路等效為圖1(b)電路。圖中La=M，Lb=L1-M，Lc=L2-M。再利用電感的并聯(lián)、串聯(lián)等效，又得到圖1(c)。其中，

(1)

圖1 互感的去耦等效

針對(duì)圖1(a)—圖1(c)三個(gè)電路，一些學(xué)生按下述方法分別計(jì)算三個(gè)電路各自的總磁鏈：

ψa=(L1i1+Mi2)+(L2i2+Mi1)

=(L1+M)i1+(L2+M)i2

(2)

ψb=La(i1+i2)+Lbi1+Lci2=L1i1+L2i2

(3)

(4)

學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，上述三個(gè)磁鏈彼此不相等，因此對(duì)消去互感的電路是否對(duì)磁鏈也等效產(chǎn)生疑惑。

初看起來(lái)，上述計(jì)算都有依據(jù)，即各個(gè)電感的磁鏈總和就是這部分電路的總磁鏈。但仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，這種計(jì)算磁鏈的方法，不符合磁鏈的含義。對(duì)某線圈來(lái)說(shuō)，磁鏈等于各線匝磁通的總和，磁通是閉合曲線圍成區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量，即面積分，如圖2所示。所以，在計(jì)算總磁鏈時(shí)，要明確一個(gè)回路，不能不分青紅皂白地把所有電感上的磁鏈加在一起。非同一回路內(nèi)電感的磁鏈相加無(wú)意義。

圖2 磁通的含義

對(duì)圖1中的三個(gè)電路取相同回路，再把回路的總磁鏈進(jìn)行比較，結(jié)果就相同了。例如：

(5)

(6)

圖1(c)：ψc=Leqi=ψa1=ψa2=ψb1=ψb1

(7)

然而，可以驗(yàn)證，圖1中三個(gè)電路的磁場(chǎng)儲(chǔ)能是一樣的，并且可以用每個(gè)電感的能量之和作為總能量，這是符合能量守恒規(guī)律的。即，

=0.5Leqi2

(8)

上述回路總磁鏈與各電感磁鏈的關(guān)系，還可以用對(duì)偶的電容電路來(lái)理解，如圖3所示。若計(jì)算電荷，需要指定節(jié)點(diǎn)，例如a點(diǎn)。簡(jiǎn)單地將三個(gè)電容上的電荷加在一起是沒(méi)有意義的。

圖3 與圖1(b)對(duì)偶的電容電路

2 考慮漏感的互感元件等效電路

課堂上講授互感去耦等效時(shí)，會(huì)出現(xiàn)負(fù)電感，負(fù)電感的物理意義難以解釋，使得這種方法只具有計(jì)算意義。工程上往往更加關(guān)心耦合線圈的漏感，所以幫助學(xué)生建立含有漏感的互感電路模型，更加符合工程需要，也能與后續(xù)的電機(jī)與拖動(dòng)課程相呼應(yīng)。為說(shuō)明這一過(guò)程，需要先建立全耦合互感的含理想變壓器電路模型。

2.1 含理想變壓器的全耦合互感元件的電路模型

初級(jí)線圈和次級(jí)線圈緊密并繞在一起時(shí)可以將其近似為全耦合。但為了便于標(biāo)注，仍畫成圖4所示的分離形式，忽略漏磁通，就成為全耦合互感。它可以用圖5所示的含理想變壓器的電路模型來(lái)表示。模型中的變比n和勵(lì)磁電感Lm與L1、L2的關(guān)系，可以基于端口方程一致的等效含義，在數(shù)學(xué)層面上進(jìn)行分析。對(duì)此，一些教科書已有所闡述[3,4]。在此從略。但是，如果能借助物理現(xiàn)象得出n及Lm與L1、L2的關(guān)系，在教學(xué)上則能夠更加突出物理概念。下面是這種方法的思路。

圖4 全耦合互感

圖5 全耦合互感的含理想變壓器電路模型

在全耦合條件下，每匝線圈的磁通都相同，因此不難理解，端口電壓之比(或電動(dòng)勢(shì)之比)等于匝數(shù)之比。同時(shí)，兩個(gè)線圈的自感又分別正比于各自的匝數(shù)的平方(物理學(xué)中已有這樣的結(jié)論)，且比例系數(shù)相同。因此，理想變壓器的變比可以用匝數(shù)和自感計(jì)算如下：

(9)

在圖4的全耦合互感中，次級(jí)開(kāi)路時(shí)，初級(jí)側(cè)的等效電感就是初級(jí)的自感 。在圖5的電路模型中，次級(jí)開(kāi)路時(shí)，從初級(jí)側(cè)得到的等效電感是Lm。因?yàn)閮蓚€(gè)電路等效，所以必然存在Lm=L1。在此關(guān)系下，當(dāng)初級(jí)側(cè)開(kāi)路時(shí)，從圖5的次級(jí)得到的等效電感為L(zhǎng)m/n2=L2，這正是圖4的初級(jí)開(kāi)路時(shí)，從次級(jí)得到的等效電感。由此驗(yàn)證了Lm=L1的正確性。

2.2 含漏感和理想變壓器的互感元件的電路模型

非全耦合互感磁通分布如圖6所示，分為三部分：?jiǎn)为?dú)與初級(jí)交鏈的磁通Φσ1，產(chǎn)生初級(jí)漏磁鏈；單獨(dú)與次級(jí)交鏈的磁通Φσ2，產(chǎn)生次級(jí)漏磁鏈；同時(shí)與初級(jí)和次級(jí)交鏈的公共磁通即主磁通Φm，起到能量傳遞的作用。主磁通就是全耦合時(shí)所考慮的磁通，因此可以用全耦合互感表示主磁通與初級(jí)和次級(jí)的交鏈關(guān)系。然后在全耦合基礎(chǔ)上，通過(guò)增添兩個(gè)線圈，分別表示初級(jí)和次級(jí)的漏磁通，這樣的模型就可以表示非全耦合互感，結(jié)果如圖7所示。這完全是依照磁通的實(shí)際分布進(jìn)行的，合情合理。

圖6 非全耦合互感的磁通分布

設(shè)對(duì)應(yīng)漏磁通的自感即漏感分別為L(zhǎng)σ1和Lσ2，則全耦合互感中的兩個(gè)自感就變成了L1-Lσ1和L2-Lσ2，電路模型如圖8所示[3]。

圖7 用兩個(gè)自感和全耦合互感表示非全耦合互感

圖8 非全耦合互感的一種電路模型

(10)

上式符合k=1時(shí)無(wú)漏磁的結(jié)論。根據(jù)2.1節(jié)對(duì)全耦合互感的闡述，圖8可以用圖9所示的含理想變壓器和漏感的電路模型來(lái)等效。根據(jù)全耦合互感的結(jié)論并考慮到式(10)的關(guān)系，圖9中變比為

(11)

結(jié)果仍然是兩個(gè)自感之比的平方根。

圖9 非全耦合互感含漏感和理想變壓器電路模型

圖9中的各個(gè)元件對(duì)應(yīng)的物理現(xiàn)象是明確的：Lσ1、Lσ2對(duì)應(yīng)漏磁；理想變壓器對(duì)應(yīng)能量傳遞；Lm對(duì)應(yīng)耦合電感建立的磁場(chǎng)。

實(shí)施上述教學(xué)須在學(xué)完理想變壓器之后，再前瞻到互感元件，因而加強(qiáng)了前后內(nèi)容的有機(jī)聯(lián)系。

圖10 變壓器初級(jí)回路的T形等效電路

3 依賴于工作條件的互感電路-工程案例

工程上存在一些互感，它們有特殊的工作條件。針對(duì)這些特殊條件，可以建立相應(yīng)的電路模型。下面舉出兩例，可用于案例教學(xué)。

3.1 四線圈共模變壓器

圖11 電力傳動(dòng)中共模電壓抑制電路

下面著重分析共模變壓器部分。根據(jù)圖11中的耦合方式，可以建立共模變壓器的電壓與電流相量關(guān)系。相對(duì)雙線圈互感，共模變壓器雖然相互耦合的線圈為四個(gè)，但獨(dú)立的線圈電流仍然是兩個(gè)，它們與線圈電壓的關(guān)系如下：

(12)

根據(jù)這些關(guān)系可以得到圖12所示的共模變壓器電路模型。這樣的教學(xué)，可以使學(xué)生初步了解建模過(guò)程，擴(kuò)展學(xué)生對(duì)磁耦合器件的認(rèn)識(shí)廣度。圖中出現(xiàn)的受控源，可以讓學(xué)生理解受控源在電路建模中的作用，用它來(lái)表示不同端口電壓與電流之間的依賴關(guān)系。

圖12 含受控源的共模變壓器電路模型

3.2 Z源逆變器中的互感

圖13是可用于新能源發(fā)電和電力傳動(dòng)中的Z源逆變器簡(jiǎn)化電路。在電路設(shè)計(jì)中已保證L1=L2，并且i1=i2。由于這兩個(gè)電感存在上述參數(shù)關(guān)系和電流關(guān)系，因此，可以把它們纏繞在同一個(gè)磁路上，構(gòu)成耦合互感，如圖14所示。對(duì)電壓電流關(guān)系分析如下：

圖13 新能源發(fā)電與電力傳動(dòng)中的Z源逆變器

圖14 Z源逆變器中電感的實(shí)現(xiàn)

(陳希有等文)

(13)

因?yàn)閳D13和圖14中的電壓和電流不是正弦量，因此上面使用了微分方程。

4 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了針對(duì)重要的互感元件知識(shí)點(diǎn)，需要深入挖潛教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和工程案例，使學(xué)生能夠從不同的角度，加深對(duì)互感元件的認(rèn)識(shí)。深究概念、前后銜接、聯(lián)系實(shí)際、聯(lián)系后續(xù)課程，這些方法都可以起到很好的教學(xué)效果。

[1] 于歆杰，許軍，朱桂萍.關(guān)于全耦合的一道習(xí)題的討論[J]. 南京. 電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào). 2012,34(3):1-3.

[2] 李盛才，李新. 消去互感的一種新方法[C]. 電工理論與新技術(shù)2004年學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集. 北京. P. 284-286.

[3] 李瀚蓀. 簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)(M). 高等教育出版社，北京。2002.7.

[4] 胡翔駿.電路分析(第2版)(M). 高等教育出版社，北京. 2001.6.

[5] 孫建忠，劉鳳春. 電機(jī)與拖動(dòng)(第2版)(M). 機(jī)械工業(yè)出版社. 北京. 2013.4.

Three Issues about the Mutual Inductor Teaching in Circuit Course

CHEN Xi-you, LIU Feng-chun， QI Chao，LI Guan-lin

(1.SchoolofElectricalEngineeringofDalianUniversityofTechnology,Dalian116023,China；2.SchoolofElectricalEngineeringofHarbinInstituteofTechnology,Harbin150001，China)

This paper described three issues in the Circuit course teaching: the variations of magnetic flux before and after mutual inductance eliminated; the circuit models of coupling inductor which contains the leakage inductance and ideal transformer; the circuit models of coupling inductor working at the special conditions. In the introduction of these issues, the principles of electromagnetism are used, pre order and subsequent knowledge is joined, the engineering cases are demonstrated, and the follow-up courses are echoed.

mutual inductor; decoupling; leakage flux; case

2016-05-17;

2016-06-12

陳希有(1962-)，男，博士，教授，主要從事電能變換的教學(xué)與科研，E-mail：chenxy@dlut.edu.cn

TM13

A

1008-0686(2017)02-0099-05