張春林, 賀國京, 易 錦

(中南林業(yè)科技大學土木工程與力學學院 長沙，410004)

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菱形微位移壓電作動器輸入輸出雜交建模

張春林, 賀國京, 易 錦

(中南林業(yè)科技大學土木工程與力學學院 長沙，410004)

針對某定位裝置，研究了一種新型菱形微位移壓電作動器，該壓電作動器由壓電堆、菱形位移放大機構以及柔性鉸鏈組成。菱形微位移壓電作動器的核心驅動部件為壓電堆，由于壓電材料的遲滯特性，菱形壓電作動器具有非線性遲滯特性。為了消除遲滯對壓電作動器在后續(xù)控制中的影響，發(fā)展了一種Preisach雜交建模的方法,該方法在傳統(tǒng)Preisach模型的基礎上，有效結合了Preisach離散模型和支持向量機(support vector machine，簡稱SVM)，建立了微位移壓電作動器輸入輸出雜交模型。試驗結果表明，SVM有效解決了因1階滯回曲線數(shù)量不足而導致Preisach模型精度低的問題，同時與傳統(tǒng)Preisach模型相比，雜交建模能更準確地描述遲滯特性，具有更高的精度。

位移放大機構； 壓電作動器； 遲滯； 雜交建模

引 言

壓電作動器作為一種微位移、力輸出機構被廣泛應用于工程各領域。由于壓電作動器的微位移輸出特性限制了其應用范圍，因而壓電作動器的應用通常伴隨有位移放大機構[1]。國外學者對放大機構進行了大量的研究，現(xiàn)存的一些位移放大機構主要有杠桿機構[2-3]、Scott-Russell型位移放大機構[4]、cymbal-type壓電作動器[5](鈸型壓電作動器)以及蜂窩桿式位移放大機構[6]等。國內關于位移放大機構的研究主要有：王隆太等[7]研究的柔性鉸鏈位移放大機構；吳家龍等[8]關于液壓微位移放大器的設計與研究；李萬全等[9]基于液壓微位移放大機構的壓電陶瓷執(zhí)行器的設計。筆者的菱形微位移壓電作動器與鈸型壓電作動器結構類似，由壓電作堆、菱形位移放大機構以及柔性鉸鏈組成，同時也具有微位移特性、較好的放大系數(shù)以及提供壓電堆抵抗橫向干擾力的能力[10]。

由于壓電作動器作為整個位移放大機構的核心驅動部分，壓電材料的非線性遲滯導致整個作動器具有非線性遲滯特性，同時壓電堆在使用中表現(xiàn)出的響應和驅動電壓之間的遲滯非線性的不準確描述會嚴重影響控制精度。針對壓電材料具有非線性遲滯特性，對含有菱形放大機構的壓電作動器進行了雜交建模研究。國內外學者提出了很多關于描述遲滯非線性的技術方案，如多項式擬合模型[11]，可以簡單求得逆多項式，用于消除控制系統(tǒng)中的遲滯非線性，但是只能準確描述大環(huán)遲滯曲線，小環(huán)遲滯描述很難精確，從而整體精度不夠高。對于Maxwell[12]模型，環(huán)境參數(shù)的變化會導致該模型無法準確描述作動器遲滯非線性。Preisach[13-14]模型能準確描述形式復雜的遲滯非線性，而且能很方便地轉化為離散形式并應用于控制，然而其精度很大程度上取決于1階滯回曲線的精度與數(shù)量，但實際中很難獲得大量1階滯回曲線。因此，筆者建立了Preisach雜交模型，引入支持向量機來解決1階滯回曲線數(shù)量不足而導致Preisach模型精度低的問題，并將該方法應用于菱形微位移壓電作動器輸入輸出建模問題中，使菱形微位移壓電作動器能更準確地應用于后續(xù)的控制處理。

1 微位移壓電作動器工作原理

位移放大器通常都具有緊湊的結構和一定的輸入輸出放大倍數(shù)，并且都需要與特定的目標裝置相連。圖1為菱形壓電作動器中菱形放大機構工作前后的示意圖，菱形放大機構為對稱結構，可認為由8根桿件與8個柔性轉角組成。假設8根桿件為剛性結構，即忽略作動器在工作過程中桿件的彈性變形。當給壓電堆一個輸入電壓，壓電堆在軸向方向將輸出一定位移ΔL，菱形放大機構將會輸出一個豎向位移2H，從而實現(xiàn)橫向變豎向的位移放大。

圖1 菱形微位移壓電作動器結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of rhombic micro-displacement amplifier

2 壓電作動器輸入輸出試驗

圖2為菱形微位移壓電作動器實物圖，在微位移壓電作動器中，使用的壓電堆為Physik Instrumente P-885.91，該壓電堆正向飽和電壓為120 V，負向飽和電壓為-20 V。壓電陶瓷作動器不能承受大的拉伸載荷，而且收縮驅動性能要顯著弱于伸長驅動性能，為保證作動器安全穩(wěn)定，實際工作電壓范圍取為0～120 V。試驗系統(tǒng)如圖3所示，其組件包括1臺KEYENCE LK-G80激光位移計，測量精度為0.1μm，此外還包括1臺預裝SIMULINK的計算機、dSPACE系統(tǒng)和由西安交通大學自制的功率放大器。

圖2 菱形微位移壓電作動器實物圖Fig.2 Prototype of rhombic micro-displacement amplifier

圖3 1階滯回曲線試驗系統(tǒng)Fig.3 Schematic of the experimental setup for the first-order hysteresis curve test

圖4 測試試驗原理結構框圖Fig.4 The principle flowchart of experimental system

圖5 壓電作動器的輸入電壓Fig.5 Input voltage of PA

圖4為1階滯回曲線測試結構框圖。為了測量1階滯回曲線，首先在計算機生成一組線性分段折返電壓曲線。電壓曲線如圖5所示，盡管壓電堆可施加一定量的負向電壓，但為了系統(tǒng)穩(wěn)定，僅允許系統(tǒng)的最低電壓為0。輸入電壓包含了一組主遲滯回線信號：首先由初始電壓0增大到正向飽和電壓，再降低到0；然后為每次正向飽和電壓增加20 V的折返電壓信號。計算機通過dSPACE系統(tǒng)把數(shù)字信號轉化為電壓信號，再經過功率放大器把電壓施加于微位移壓電作動器。激光位移計測量作動器輸出位移，并通過dSPACE系統(tǒng)把電信號轉變?yōu)閿?shù)字信號。圖6為信號處理后所得到的壓電作動器輸出位移。

圖6 菱形壓電作動器輸出位移Fig.6 Output displacement of rhombic micro-displacement amplifier

圖7為菱形壓電作動器1階滯回曲線，結果表明，機構輸出位移在電壓上升階段和下降階段具有不同的輸出值。導致此種現(xiàn)象的原因是壓電堆壓電遲滯特性，因此需要精確的模型來描述菱形微位移壓電作動器的輸入輸出關系。

圖7 菱形壓電作動器1階滯回曲線Fig.7 First-order reversal curves of amplifier

3 壓電作動器Preisach雜交模型

Preisach 模型能準確描述形式復雜的遲滯非線性，而且能很方便地轉化為離散形式并應用于控制，但其精度很大程度上取決于1階滯回曲線的精度與數(shù)量。為了準確描述壓電作動器具有非線性遲滯特性的輸入輸出關系模型，將建立Preisach雜交模型。Preisach 雜交模型是基于離散經典Preisach模型以及SVM基礎上的。SVM以數(shù)值的方法解決了Preisach模型需要大量1階滯回曲線的問題。

Preisach雜交模型的建立主要分為以下兩步：

1) 離散Preisach模型的建立；

2) Preisach與SVM雜交建模獲得更精細的權值矩陣En(i,j)。

3.1 經典Preisach模型

(1)

其中：f(t)為模型輸出；μ(α,β)為Preisach權函數(shù)，即單元遲滯算子權值分布函數(shù)；u(t)為輸入電壓。

圖8 Preisachα_β平面Fig.8 The Preisach α_βplane

3.2 離散Preisach模型

離散Preisach模型比經典模型更具優(yōu)勢：首先，減少了權函數(shù)求面積積分，節(jié)省大量時間；其次，避免了試驗數(shù)據(jù)得到Preisach權函數(shù)時需要對試驗數(shù)據(jù)求二階導的問題。

將圖8所示的三角平面的電壓在α方向(電壓上升)和β方向(電壓下降)等步長分為n小份，則每個步長的電壓為Δu=(umax-umin)/n。Preisach平面被分成n(n+1)/2個單元，每個單元表示1個Preisach遲滯算子。顯然，隨著n的增加，模型計算的時間復雜度會大幅度增加，所需要的1階滯回曲線數(shù)量也會大量增加。

離散Preisach模型的公式可表達為

(2)

其中：T(i,j)為Preisach平面上的一個單元；En為n×n的矩陣，它表示離散后的權值分布；c為Preisach 模型的一個偏移量，即當系統(tǒng)處于負向飽和狀態(tài)時，Preisach 模型輸出為c。

元素En(i,j)對應單元T(i,j)的權值，它是權函數(shù)在單元T(i,j)內的面積積分

(3)

權值元素En(i,j)可以通過n條1階滯回曲線確定，當輸入電壓從負向飽和狀態(tài)上升到αp，然后由αp下降到βq時系統(tǒng)的輸出位移為

(4)

通過等步長的變換輸入電壓，1階滯回曲線對應點的輸出被記錄下來，從而得到維數(shù)為n(n+1)/2的方程組，求解方程組，n(n+1)/2個位置的權值元素可以被求解出來。以n=3的Preisach模型為例，不同加載過程下對應的一系列fap,βq在Preisach平面上的演化如圖9 所示。

圖9 n=3的離散Preisach模型的幾何描述Fig.9 The geometric description of discrete Preisach model(n=3)

3.3 支持向量機SVM

對于給定的訓練數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xl,yl)∈Rn×R，用線性函數(shù)f(x)=wx+b擬合數(shù)據(jù)(其中w，b為變量)，代入不敏感損失函數(shù)，可以得到對應的線性回歸的優(yōu)化問題

(5)

其中：ξi為允許錯分的松弛變量;C>0為懲罰因子。

引入拉格朗日函數(shù)，并求其鞍點，可得式(5)優(yōu)化問題的對偶問題

(6)

其中：a為拉格朗日乘子。

取值非零的乘子對應的樣本即為支持向量，最優(yōu)超平面只取決于非零的拉格朗日乘子和支持向量，這也是支持向量機的解具有稀疏性的原因。對應的決策函數(shù)為

(7)

3.4 Preisach與SVM雜交建模

利用SVM，根據(jù)由n條1階滯回曲線確定的相對粗糙的權值分布矩陣En(，)，預測得到一個相對細致的權值分布矩陣Em(，)。試驗中1階滯回曲線的數(shù)目n=6，預測得到的相對精細的權值分布矩陣中m=60。權值E60(i,j)為分布于單元T60(i,j)中的權系數(shù)μ(α,β)的面積積分

(8)

權系數(shù)矩陣En(i,j)可以表示為所處單元Tn(i,j)內權系數(shù)μ(α,β)的平均值與單元面積的乘積，因此對于n=6的權系數(shù)矩陣

(9)

(10)

該過程可以描述為以下幾步：

2) 求得每個單元形心處的坐標，將這些坐標構成支持向量機訓練集的輸入部分，對應位置的權系數(shù)構成支持向量機訓練集的輸出部分，選取合適的訓練參數(shù)，訓練得到描述權值函數(shù)的支持向量機模型；

原理圖如圖10所示。

圖10 SVM-Preisach雜交模型原理圖Fig.10 The principle flowchart of the hybrid model

4 Preisach雜交模型試驗驗證

通過試驗測得的6組上升階段和下降階段的數(shù)據(jù)見圖6，聯(lián)立式(2)，求得的單元權值E6(i,j)為

(11)

在開始訓練之前，需要確定支持向量機的訓練參數(shù)，過程如下。

1) 對于多維問題，若輸入特征的維數(shù)為d，則徑向基函數(shù)(radial basis function，簡稱RBF)核的寬度系數(shù)χ滿足χd∈(0.1,0.5)，這里1/2χ2=γ。文獻[15]證明了這樣取值可以使SVM訓練得到的模型在回歸問題中有良好的表現(xiàn)。本研究中，訓練數(shù)據(jù)集的輸入部分為形心在Preisach平面中的坐標值，因此維數(shù)d為2，則γ∈(1,5)。

確定訓練參數(shù)后，就可以通過訓練得到能夠描述權系數(shù)分布的SVM模型，通過這個模型就可以預測出限制三角形內任意一點的權系數(shù)。通過SVM預測得到精細的E60權值分布如圖11所示。

圖11 SVM預測得到的權值分布Fig.11 Predicted weighting distribution of SVM

檢驗一：為了檢驗獲得的雜交模型的性能，一組(0 V，120 V)三角波形電壓信號被施加于壓電作動器上，電壓的變化率du/dt為8 V/s。經典離散模型、雜交模型和實測的實際輸出位移之間的對比如圖12所示。其中：圖12(a)為位移輸出對比圖；圖12(b)給出了兩種模型的輸出同實際輸出之間的滿刻度范圍(full scale range，簡稱FSR)誤差的對比；圖12(c)為輸出位移-輸入電壓的滯回曲線對比圖。

檢驗二：以1階遲滯試驗為檢驗對象。圖13(a)為Preisach經典離散模型、雜交模型和實測的實際輸出位移之間的對比圖；圖13(b)給出兩種不同模型FSR誤差；圖13(c)為輸出位移-輸入電壓的滯回曲線。

圖12 三角波激勵下經典離散模型、雜交模型和實測輸出對比圖Fig.12 Comparison of classical discrete model, hybrid model and the actual output under triangular wave excitation

圖13 線性分段折返激勵下經典離散模型、雜交模型和實測輸出對比圖Fig.13 Comparison of classical discrete model, hybrid model and the actual output under linear piecewise turn-back excitation

通過雜交模型輸出位移與實際位移的對比，檢驗一中Preisach經典離散模型的平均FSR誤差為1.06 %，最大誤差為7.13%；雜交模型的平均FSR誤差為0.797 6 %，最大誤差為2.76 %。檢驗二中Preisach經典離散模型的平均FSR誤差為1.501 %，最大誤差為4.46 %;雜交模型的平均FSR誤差為0.881 6 %，最大誤差為3.954 %。Preisach經典離散模型與雜交模型相比，雜交模型的誤差低，模型更精確。

5 結束語

針對某定位裝置的位移輸出問題，筆者研究了一種新型菱形微位移壓電作動器。為了消除遲滯對壓電作動器在后續(xù)控制中的影響，發(fā)展了一種Preisach雜交建模的方法。該方法在傳統(tǒng)Preisach模型的基礎上，有效結合了Preisach離散模型和SVM，并建立了微位移壓電作動器輸入輸出雜交模型。其中，SVM有效解決了因1階滯回曲線數(shù)量不足而導致Preisach模型精度低的問題，同時與傳統(tǒng)Preisach模型相比，雜交建模能更準確描述遲滯特性，具有更高的精度。試驗結果表明，在兩種不同電壓輸入情況下，Preisach經典離散模型的平均FSR誤差分別為1.06 %和1.501 %，雜交模型的平均FSR誤差分別為0.797 6 %和0.881 6 %，具有較高精度,說明了雜交模型在遲滯現(xiàn)象的建模上有著很好的準確性和獨特的優(yōu)勢。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.03.016

國家自然科學基金資助項目(E080503)

2015-04-27；

2015-07-09

TP183； TH703.65

張春林，男，1988年2月生，博士生、講師。主要研究方向為振動主動控制、智能結構設計等。曾發(fā)表《Active control of honeycomb sandwich plate using MFC piezoelectric actuators》(《Applied Electromagnetics and Mechanics》2014,Vol.45)等論文。

E-mail：zhangchunlin01@126.com