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化歸思想在高中數(shù)學解題中的應用分析

2017-06-30 08:19莫京宇
中學課程輔導·教學研究 2017年8期
關鍵詞:化歸思想高中數(shù)學應用

莫京宇

摘要:數(shù)學對于高中課程當中尤為重要,學習數(shù)學的關鍵在于對數(shù)學知識的掌握和擁有良好且正確的解題思想。在數(shù)學解題應用中,如等價交換思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)思想等這些良好的解題思想我們都可以稱之為化歸思想。本文就化歸思想在高中數(shù)學解題中的實際應用作出簡要分析。

關鍵詞:化歸思想;高中數(shù)學;應用

前言:化歸思想,一種化熟悉為陌生,化未知為己知的思想。這種思想在生活中被我們習慣性地應用著,一個人的成長離不開化歸思想,它是我們思考一切問題的基本習慣。同樣,在高中數(shù)學領域也離不開化歸思想,關于它在高中數(shù)學解題中的應用,我認為可以分為五個方面進行,即在不等式中的應用,在數(shù)列中的應用,在函數(shù)中的應用和在幾何中的應用。

一、化不等式為等式

化歸思想在不等式當中的應用表現(xiàn)最為明顯的是化不等式為等式。因為等號兩端的數(shù)值相同,根據(jù)這一點我們可以進行具體的運算,進而得出答案。舉個例子:題目為若不等式kx-4=2的解集是x1≤x≤3,則實數(shù)k是多少。

通過觀察題目可以解析出kx-4=2的兩個根為1,3 即k-4=23k-4=2 ,可以解得k=2。在這個問題中,我們利用化歸思想將端點之進行帶入,在等號成立的情況下將題解開。在所有高中數(shù)學的不等式的問題之中,只要我們能夠找到不等式之間的關系,將不等式轉(zhuǎn)化為等式,問題就都能夠被解開[1]。

二、轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列

數(shù)列是高中數(shù)學學習當中的重點,同時也是高考數(shù)學的必考內(nèi)容。同樣,化歸思想在高中數(shù)學數(shù)列題型當中也有很好的應用,主要是根據(jù)題目內(nèi)容將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后利用所學習的公式求得答案[2]。

1.在等差數(shù)列當中的應用

在高中數(shù)學的等差數(shù)列習題當中,經(jīng)常出現(xiàn)的像an-an-1=fn這種等差數(shù)列的遞推公式,我們通??梢岳茂B加方法來進行解題。舉個例子。題目為已知an-an-1=n-1,求an。根據(jù)題目可知,an-an-1=n-1,所以我們可以推斷出a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3……所以我們利用疊加法將各項相加,可以得到an-an-1=1+2+3+4+...+n-1,進而可以推算出結果,即an=n2-n+22。

疊加法進行解題時我們可以用它的兩個特點進行觀察,第一個特點是等式的右方求和要更快捷,第二個特點是等式的左方可以錯項互相消掉,從而變成簡單的公式。這種方法的應用也正是化歸思想的數(shù)學解題中應用中常見的證明。

2.在等比數(shù)列當中的應用

在等比數(shù)列當中我們也會使用到化歸思想,由于化歸思想而采用的方法在等比數(shù)列當中有累乘法、迭乘法等等。對于題目上有像anan-1=fn這樣的公式,我們能夠通過后者進行求解。比如這樣的一道題:已知數(shù)列a1=1,anan-1=nn+1求數(shù)列an的通項公式。通過觀察,我們可以推導出a2a1=23,a3a2=34……一直到anan-1=nn+1,將上面的所有等式相乘可以算出ana1=2n+1,進而我可以得出an=2n+1。在這道題中,我們通過利用化歸思想的迭乘法算出了anan-1=fn類型的等比數(shù)列通項公式,當然它也具有一定的要求,即:通過跌乘之后得出的f1f2……fn公式可以進行化簡。

三、數(shù)形轉(zhuǎn)化與動靜轉(zhuǎn)化

函數(shù)一直都是高中數(shù)學學習的重點,其中涵蓋了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等一共七個基本的初等函數(shù),同樣,這也是高考必須涉及的范圍[3]?;瘹w思想在解函數(shù)題型當中的運用主要為數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化和動靜之間的轉(zhuǎn)化。

1.數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化

在一部分函數(shù)題中,數(shù)字和圖形總是互相結合的,我們通過數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)化能夠讓函數(shù)題變得更加簡單,從而解出答案。比如有這么一道題:函數(shù)y=11-x的圖像和函數(shù)y=2sinπx,-2≤x≤4的圖像的所有焦點的橫坐標之和為多少。這是一道選擇題,有四個選項,分別為2,6,8,10。這道題需要我們進行函數(shù)和圖像的結合去進行解題。我們需要作出函數(shù)y=11-x與函數(shù)y=2sinπx,-2≤x≤4的圖像,如圖1所示。

通過對圖像的觀察,我們可以知道那兩個函數(shù)圖像都是關于(1,0)這個點對稱的,所以相交的點也就是關于這個點對稱的。而再看圖像,我們還可以觀察到這圖像當中,在y=11-x,y=2sinπx,-2≤x≤4函數(shù)圖像在區(qū)間(-2,4)里面存在了8個相交的點。所以根據(jù)公式,我們可以算出橫坐標是答案C,有8個。這道題就是利用了數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)換,將一個乍看很復雜的題變得簡單了。

2.動靜之間的轉(zhuǎn)化

動靜之間的轉(zhuǎn)化指的是我們在解函數(shù)題時,利用變化與運動的思路去分析題目,去將題目中有用的信息利用函數(shù)的形式進行表現(xiàn),去將靜止的數(shù)字變成變量,實現(xiàn)動靜之間的相互轉(zhuǎn)化,進而解決問題,這在高中函數(shù)題中同樣常見,比如這樣的一道題:20001999和19992000哪個數(shù)值更大?第一眼看起來這兩個數(shù)字都很大,通過目測看不出來誰打誰小,好像無法進行比較。不過我們通過動靜轉(zhuǎn)化可以慢慢得出答案,第一步轉(zhuǎn)化為對數(shù)和指數(shù),假設ab>ba,那么我們現(xiàn)在把參數(shù)相同的轉(zhuǎn)化為不等式的一端,在兩端都取自然的對數(shù),可以算出blna>alnb,lnaa>lnbb。這是我們在靜態(tài)和靜態(tài)之間的轉(zhuǎn)化,也是第一步的轉(zhuǎn)化,接下來進行第二步,通過構成公式y(tǒng)=lnxx(x>1),然后把a與b當作是這個公式的自變量,通過計算我們便可以進行比較看看20001999和19992000這兩個數(shù)值的哪一方數(shù)值更大了。

四、化歸思想在幾何中的應用

幾何也是高中數(shù)學的重要組成部分,化歸思想同樣在幾何中多有應用,具體可以分為立體幾何和解析幾何。

1.高維轉(zhuǎn)化低維

立體幾何都是三維的,在直接運算上很困難,這時我們需要將題目中的立體幾何轉(zhuǎn)化為二維的平面圖形,然后再進行運算,比如圖二中的立體圖形,題目給定條件為這是一個正三棱錐S-ABC,它的底邊長度是a,而側棱長是2a,現(xiàn)在過A點作與側棱SB、SC全部相交的AEF截面。求該面的最小周長。

在解決這道問題時,我們需要利用化歸思想。周長的距離可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的線長問題,所以我要要將沿著SA把這個三維立體的側面打開,得到圖3,進而只求A和A′之間的最短距離長度就可以了。

2.代數(shù)與平面轉(zhuǎn)化

代數(shù)和平面幾何的相互轉(zhuǎn)化主要體現(xiàn)在有圓錐曲線的題型之中,這樣的化歸思想方法可以將問題簡單化。比如有這樣一道題:F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0)是兩個頂點,N為x2+y2=1這個圓形O上的任意一個點,現(xiàn)在M點和F1(-2,0)關于點N對稱,F(xiàn)2M和F1M這條線段的中垂線相交于P,點P的軌跡是什么。有四個選項ABCD,分別對應為雙曲線、橢圓、拋物線和圓。

通過題目所給條件,我們可以進行一定的轉(zhuǎn)化得出圖3。

然后連接O和N這兩點,因為這兩點是F1F2和F1M的中點,所以通過計算能夠得出F2M=2,所以PM-PF2=2,PF1=PM,PF1-PF2=2。因此,可以算的這道題的答案是A,雙曲線。

兩者都是化歸思想在幾何當中的應用,除此之外還有著定點定值的轉(zhuǎn)化、位置關系的轉(zhuǎn)化和動點和定點之間的轉(zhuǎn)化等。

結論:綜上所述,化歸思想在高中數(shù)學的學習當中十分廣泛,想要學好高中數(shù)學,就必須具有良好的化歸思想,然而,化歸思想的強化與化歸能力的提升并不是一朝一夕的事,還需要老師的教導以及學生的自我鍛煉。

參考文獻:

[1]楊社鋒.化歸思想在高中數(shù)學解題中的應用[D].河南大學,2014.

[2]李昀晟.化歸思想在高中數(shù)學解題過程中的應用分析[J].數(shù)學理論與應用,2015,04:124-128.

[3]王志惠.化歸思想在高中數(shù)學教學中的應用研究[D].內(nèi)蒙古師范大學,2015.

(作者單位: 長沙麓山國際實驗學校G1509班 410006)endprint

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