趙秀蘭， 陳麗娟

(1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部， 鄭州450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院， 鄭州451191)

雙重Stone代數(shù)的核理想注記

趙秀蘭1， 陳麗娟2

(1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部， 鄭州450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院， 鄭州451191)

在雙重Stone代數(shù)上引入核理想概念，借助核理想的性質(zhì)反映雙重Stone代數(shù)的結(jié)構(gòu)，在雙重Stone代數(shù)L上構(gòu)造了具有核理想I的最大同余關(guān)系表達(dá)式RI，(x,y)∈RI?(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I。根據(jù)雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算特征，獲得了具有核理想的最小同余關(guān)系與最大同余關(guān)系之間的等式關(guān)系。主要結(jié)果為：設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，則RI=δI∨(G*∧G+)，其中(x,y)∈δI?(?i∈I)x∨i=y∨i；(x,y)∈G*?x*=y*，(x,y)∈G+?x+=y+。所得結(jié)論為其它Ockham代數(shù)類核理想性質(zhì)的研究提供了方法，豐富了Ockham代數(shù)的發(fā)展，為進(jìn)一步研究Ockham代數(shù)類的代數(shù)結(jié)構(gòu)提供理論支持。

Stone代數(shù);對(duì)偶Stone代數(shù);雙重Stone代數(shù);核理想;同余關(guān)系

引言

Ockham代數(shù)[1]是定義在分配格上的一類序代數(shù)，布爾代數(shù)、de Morgan代數(shù)、Stone代數(shù)、偽補(bǔ)代數(shù)等是Ockham代數(shù)的子代數(shù)[1-5]。在序代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中，借助理想和濾子研究代數(shù)結(jié)構(gòu)是學(xué)者的一個(gè)研究方向，特別是核理想與余核濾子是人們研究Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個(gè)重要工具。文獻(xiàn)[6-16]以理想與濾子為工具刻畫(huà)代數(shù)結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[6] 在雙重Stone代數(shù)上引入核理想的概念，構(gòu)造了核理想同余關(guān)系表達(dá)式，獲得了雙重Stone代數(shù)核理想判別定理。根據(jù)雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算特征及主同余表示理論，獲得了核理想同余關(guān)系的若干等價(jià)表達(dá)式并證明了雙重Stone代數(shù)核理想與其同余關(guān)系是同構(gòu)的。方捷和吳麗云[8]證明了PO代數(shù)類上具有余核濾子的最小同余和最大同余。王雷波和方捷在文獻(xiàn)[12]中分別就雙重偽補(bǔ)代數(shù)的假值理想和假值同余和幾乎偽補(bǔ)格的核理想與W-理想[13]給出了特征表示。本文作為文獻(xiàn)[6]的一個(gè)補(bǔ)充,在雙重Stone代數(shù)核理想已有結(jié)論的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步討論雙重Stone代數(shù)核理想同余關(guān)系的性質(zhì)。

1預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個(gè)有界分配格，f是L上的一元運(yùn)算，若:

(1)?x,y∈L，f(x∧y)=f(x)∨f(y),f(x∨y)=f(x)∧f(y)；(2)f(0)=f(1),f(1)=f(0)，則稱(L;∧,∨,f,0,1)是一個(gè)Ockham代數(shù)(簡(jiǎn)記為O)。

定義3[1]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個(gè)有界分配格，其上賦予兩個(gè)一元運(yùn)算*,+，并且(L;∨,∧,*)是Stone代數(shù)，(L;∨,∧,+)是對(duì)偶Stone代數(shù)，稱(L;∨,∧,*,+)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)。

引理1[16]設(shè)(L;∨,∧,*,+)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，任意的x,y∈L，則

(1)x*≤x+；

(2)x+*=x++≤x≤x**=x*+；

(3)0*=1,1*=0,x*=x***,0+=1,1+=0,x+=x+++；

(4)(x∧y)*=x*∨y*,(x∨y)*=x*∧y*；

(5)(x∧y)+=x+∨y+,(x∨y)+=x+∧y+；

(6)x*∨x**=1,x+∨x++=1。

引理2[6]設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的理想，則I是核理想的充要條件是(a∈L)a∈I?a**∈I。

在L上定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系δI:(x,y)∈δI?(?i∈I)x∨i=y∨i。

在文獻(xiàn)[6]中,已論證過(guò)δI∈ConL且I=KerδI。

設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，記I(L)和KI(L)分別為L(zhǎng)的所有理想與所有核理想構(gòu)成的集合。I(L),KI(L)具有下列性質(zhì)。

引理3[6]設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I,J∈KI(L)，則

(1) (?φ∈ConL)I=Kerφ?δI≤φ;

(2)I≤J?δI≤δJ。

引理4[6]KI(L)是I(L)的一個(gè)子格。

定義4設(shè)(L;∨,∧,*,+)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，θ是L的格同余關(guān)系，若(x,y)∈θ?(x*,y*)∈θ,(x+,y+)∈θ，則稱θ是L的同余關(guān)系，符號(hào)ConL表示L的全體同余關(guān)系構(gòu)成的集合。

定義5設(shè)(L;∧,∨)是一個(gè)格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想。

對(duì)偶地，F(xiàn)是格L的子格，若x,y∈L，y≥x∈F總有y∈F，稱子格F是格L的濾子。

2核理想的性質(zhì)

設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，考慮定義在L上的下列關(guān)系：(x,y)∈RI?(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I，則關(guān)系RI滿足下面的定理。

定理1設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，則RI是具有核理想I的最大同余。

證明設(shè)I是L的核理想，定義關(guān)系：(x,y)∈RI?

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I,易見(jiàn)，RI滿足自反性和對(duì)稱性。

證RI的傳遞性。

設(shè)(x,y)∈RI,(y,z)∈RI,則

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I

(y*∧z**)∨(y**∧z*)∨(y+∧z++)∨(y++∧z+)∈I

由于

x*∧z**=(x*∧z**)∧(y*∨y**)=

(x*∧z**∧y*)∨(x*∧z**∧y**)≤

(z**∧y*)∨(x*∧y**)∈I

同理可得

x**∧z*=(x**∧z*)∧(y*∨y**)∈I

x++∧z+=(x++∧z+)∧(y+∨y++)∈I

x+∧z++=(x+∧z++)∧(y+∨y++)∈I

于是(x,z)∈RI,故RI是L上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

證RI是L上的一個(gè)格同余關(guān)系。

設(shè)(x,y)∈RI,下證對(duì)于任意的a∈L,(x∧a,y∧a),(x∨a,y∨a)∈RI

由于

(x∧a)**∧(y∧a)*=

x**∧y*∧a**≤x**∧y*∈I

(x∧a)*∧(y∧a)**=

x*∧y**∧a**≤x*∧y**∈I

(x∧a)++∧(y∧a)+=

x++∧y+∧a++≤x++∧y+∈I

(x∧a)+∧(y∧a)++=

x+∧y++∧a++≤x+∧y++∈I

故(x∧a,y∧a),(x∨a,y∨a)∈RI，所以RI是L上的一個(gè)格同余關(guān)系。

證RI∈ConL。

設(shè)(x,y)∈RI，則

α=(x*∧y**)∨(x**∧y*)

∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I

由于在雙重Stone代數(shù)中，?x∈L,有

x***=x*,x+++=x+

x*+=x**,x+*=x++

x*++=(x*+)+=(x**)+=(x*)*+=x***=

x*,x+**=(x+*)+=x+++=x+

將(x*,y*),(x+,y+)代入α，并結(jié)合上述運(yùn)算性質(zhì)得

β=(x**∧y*)∨(x*∧y**)≤α

γ=(x++∧y+)∨(x+∧y++)≤α

因此β，γ∈I，即(x*,y*),(x+,y+)∈RI，于是RI∈ConL。

證I=KerRI。由于在雙重Stone代數(shù)中，0+=1,1+=0,0*=1,1*=0。設(shè)i∈I，由引理2知，i**∈I。由引理1知，i++≤i≤i**，，故i++∈I，從而有i**∨i++∈I。又因

(i*∧0**)∨(i**∧0*)∨(i+∧0++)∨

(i++∧0+)=i**∨i++=i**∈I

因此(i,0)∈RI，即i∈KerRI，所以I?KerRI。

設(shè)x∈KerRI，即(x,0)∈RI，則

(x*∧0**)∨(x**∧0*)∨(x+∧0++)

∨(x++∧0+)=x**∨x++=x**∈I，又因x≤x**，故x∈I，于是KerRI?I，因此I=KerRI。

證RI是具有核理想I的最大同余。

設(shè)θ∈ConL，I=Kerθ，令(x,y)∈θ，則(x*,y*)∈θ,(x+,y+)∈θ。

設(shè)i∈I，有i*∧i**=0，i+∧i++=0，故x*∧y**≡0(θ),x**∧y*≡0(θ),x+∧y++≡0(θ),x++∧y+≡0(θ)。

所以

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y+)≡0(θ)

則

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y+)∈I

從而(x,y)∈RI，故θ≤RI。定理得證。

設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，在L中有兩個(gè)基本同余關(guān)系：G*，G+，它們的定義為：

(x,y)∈G*?x*=y*

(x,y)∈G+?x+=y+

結(jié)合引理1中，雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，易得G*，G+∈ConL。定理1中所定義的RI滿足下列推論。

推論1設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I,J∈KI(L)，則

(1)R({0})=G*∧G+;

(2)I≤J?RI≤RJ。

證明(1)設(shè)(x,y)∈R{0}，由定理1得(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y++)=0，又由雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，x**=y**,x++=y++，因此(x,y)∈G*∧G+，故R({0})?G*∧G+。

另一方面，設(shè)(x,y)∈G*∧G+，則x*=y*,x+=y+，

于是得

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨

(x+∧y++)∨(x++∧y++)=0

故有(x,y)∈R{0}。所以R({0})=G*∧G+。

(2)設(shè)I,J∈KI(L)，且I≤J。由RI,RJ的定義知，RI≤RJ。另一方面，若RI≤RJ，則KerRI≤KerRJ，又由定理1的證明知，I=KerRI,J=KerRJ,所以I≤J。

設(shè)i∈(x**]∩I，則i≤x**，i∈I。因?yàn)閥*∧i=y*∧i∧x**=(y*∧x**)∧i≤s∧i=0，故i≤y**，從而i∈(y**]∩I，因此(x**]∩I?(y**]∩I。

同理(y**]∩I?(x**]∩I。所以(y**]∩I=(x**]∩I。

另一方面令i∈(x++]∩I，則i≤x++，i∈I。

因?yàn)?/p>

y+∧i=y+∧i∧x++=(y+∧x++)∧i≤s∧i=0

從而i≤y++，故i∈(y++]∩I，因此(x++]∩I?(y++]∩I。

反之，設(shè)(x,y)∈α，則(x**]∩I=(y**]∩I，

(x++]∩I=(y++]∩I。

于是

(x**∧y*]∩I=(y**∧y*]∩I=0

(x++∧y+]∩I=(y++∧y+]∩I=0

同理(y**∧x*]∩I=0，(y++∧x+]∩I=0。所以，對(duì)于任意的i∈I，

[(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)

∨(x++∧y++)]∧i=0

故

(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨

設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I∈KI(L)，由定理1知，關(guān)系RI是具有核理想I的最小同余，由引理2和引理3知，關(guān)系δI是具有核理想I的最大同余。它們滿足下列的等式關(guān)系。

定理3RI=δI∨(G*∧G+)

證明設(shè)(x,y)∈RI，則α=(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y++)∈I，根據(jù)雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，x**∨α=y**∨α，x++∨α=y++∨α。由同余關(guān)系δI，G*，G+的定義可得

所以

(x,y)∈G*∨δI,(x,y)∈G+∨δI

因此

(x,y)∈(G*∨δI)∧(G+∨δI)=

(G*∧G+)∨δI

于是得RI≤δI∨(G*∧G+)。

另一方面，由引理2知I=KerδI,又推論1知δI≤RI，易見(jiàn)G*∧G+≤RI，故δI∨(G*∧G+)≤RI。

綜上即得RI=δI∨(G*∧G+)。

3結(jié)束語(yǔ)

理想是研究Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個(gè)重要工具，結(jié)合核理想的性質(zhì)，使人們對(duì)抽象的相關(guān)Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，有助于了解雙重Stone代數(shù)的結(jié)構(gòu), 所得結(jié)論為其它Ockham代數(shù)類核理想性質(zhì)的研究提供了方法, 同時(shí)豐富了序代數(shù)結(jié)構(gòu)理論。

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A Note on the the Kernel Ideal on Double Stone Algebras

ZHAOXiulan1,CHENLijuan2

(1.Department of Mathematics and Physics, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China;2.College of Science, Henan Institute of Engineering, Zhengzhou 451191,China)

The concept of kernel ideal on double Stone algebras is introduced , the expression of the largest congruenceRIon a double Stone algebraLwith kernel idealIis constructed, (x,y)∈RI?(x*∧y**)∨(x**∧y*)∨(x+∧y++)∨(x++∧y+)∈I.According to the operational characteristics of double Stone algebras, some equivalent expressions of the double Stone algebras are obtained. The main results are as follows:LetLbe a double Stone algebra, ifIis an kernel ideal ofLthenRI=δI∨(G*∧G+)，where(x,y)∈δI?(?i∈I)x∨i=y∨i；(x,y)∈G*?x*=y*，(x,y)∈G+?x+=y+.The conclusion provides a method for the study of the properties of the other Ockham algebras, and enriches the theory of ordered algebraic structures.

Stone algebras; dual Stone algebras; double Stone algebras; kernel ideal; congruence

2017-04-03

國(guó)家自然科學(xué)基金(11302072)；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究(152300410129)

趙秀蘭(1982-)，女，河南商水縣人，副教授，碩士，主要從事序代數(shù)結(jié)構(gòu)方面的研究，(E-mail)xiulanz@126.com

1673-1549(2017)03-0089-05

10.11863/j.suse.2017.03.18

0153.1

A