劉娟娟

【理論篇】

數(shù)學(xué)必備品格的要素之“數(shù)學(xué)理性”

劉娟娟

文章探討了理性和數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵，從數(shù)學(xué)理性形成規(guī)律、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的理解三個(gè)層面分析了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性的必要性，最后提出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性的策略：一是要重視數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)；二是要注重?cái)?shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)；三是要注重質(zhì)疑能力的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)理性；客觀；抽象；精確；定量

數(shù)學(xué)作為人類文化的一部分，不僅包括數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法，還包括數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、思想、精神等。特別是在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)融合發(fā)展中，數(shù)學(xué)將其理性精神發(fā)揮得淋漓盡致，不僅為人類的發(fā)展提供了理性的思維方式和工具，也為人類思想發(fā)展指引了方向。那么如何理解理性和數(shù)學(xué)理性，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性是數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)該面對(duì)的問(wèn)題，本文就是在這方面做的一些思考。

一、理性和數(shù)學(xué)理性

（一）數(shù)學(xué)是一種理性

理性是現(xiàn)代文化中的高頻詞，詞典中的“理性”有兩個(gè)意思：一是指判斷、推理等活動(dòng)（跟“感性”相對(duì)）；二是指從理智上控制行為的能力。不同的文化孕育著不同風(fēng)格的理性，人類對(duì)理性的使用與其所處的社會(huì)歷史環(huán)境有著密切的關(guān)聯(lián)，不是絕對(duì)的，而是歷史的，是隨著歷史的發(fā)展和變遷不斷變化的。但就其共性而言，一般認(rèn)為理性是人類精神活動(dòng)的一種形式，是一種人類特有的思想活動(dòng)，既包括概念、判斷和推理，也包括質(zhì)疑、反駁和辯護(hù)，不僅關(guān)涉到知識(shí)的獲得，而且關(guān)涉到行為目的的正當(dāng)性與辯護(hù)的合理性。所以，理性又可以叫作理性精神，或是理性思想。

數(shù)學(xué)恰恰具備了理性的上述特征，數(shù)學(xué)經(jīng)典名著《什么是數(shù)學(xué)》中寫道：“數(shù)學(xué)，作為人類智慧的一種表達(dá)形式，反映生動(dòng)活潑的意念、深入細(xì)致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺(jué)，分析和推進(jìn)，共性與個(gè)性?！笨梢姡瑪?shù)學(xué)是人類的一種精神活動(dòng)，包含了判斷、推理等活動(dòng)。因此，數(shù)學(xué)是一種理性。

（二）數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)理性起源于古代希臘，是人類重視從數(shù)量和邏輯運(yùn)演的角度來(lái)探索客觀世界的規(guī)律，從而對(duì)世界進(jìn)行定量、精確、邏輯的描述方式。具體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)理性的內(nèi)涵可以從以下四個(gè)方面理解：

1.堅(jiān)持客觀理智的立場(chǎng)。

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象不是客觀世界中真實(shí)存在的，而是人類抽象思維的產(chǎn)物。但是在研究中，我們還是采取純客觀的立場(chǎng)，把它看作一種不依賴人類的獨(dú)立存在，并通過(guò)嚴(yán)格的邏輯分析去揭示其內(nèi)在性質(zhì)和關(guān)系。比如三角形的概念是人類的創(chuàng)造，但是研究其內(nèi)角和的規(guī)律時(shí)，依然要從客觀的角度去思考，并討論在不同幾何體系背景下的內(nèi)角和的差異。

2.注重精確、定量的思維方式。

數(shù)學(xué)理性的“數(shù)學(xué)味”就體現(xiàn)在它的“精確”“定量”上，而不應(yīng)是含糊的、直覺(jué)的。這既是科學(xué)研究的基本方法，也是科學(xué)研究的基本目標(biāo)，即揭示自然界中的數(shù)學(xué)規(guī)律。以“圓周率”為例，從《周髀算經(jīng)》中的“周三徑一”，到“徽率 3.1416”，再到祖沖之算出圓周率在3.1415926到3.1415927之間，再到1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼不僅證明了π是一個(gè)無(wú)理數(shù)，而且還是一個(gè)超越數(shù)……都體現(xiàn)出人類對(duì)圓周長(zhǎng)與直徑關(guān)系精確、定量的追求。小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中安排的探索規(guī)律也都是期望學(xué)生能從數(shù)量上發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律。

3.要有批判的精神和開放的頭腦。

批判的精神讓我們時(shí)刻提醒自己不要淪為權(quán)威主義者，而要重視用可靠的論證來(lái)判斷真理，正如亞里士多德的名言所述“吾愛吾師，但吾更愛真理”。開放的頭腦是對(duì)批判精神的重要補(bǔ)充，這就是要以真理為目標(biāo)，在探索真理的過(guò)程中，保持頭腦的開放性，不斷接納別人的想法，修正自己的觀點(diǎn)。美國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·波利亞稱前者是“理智上的勇氣”，稱后者為“理智上的誠(chéng)實(shí)”。

4.保持抽象、超驗(yàn)的思維取向。

自然科學(xué)研究的目的是為了超越直觀經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)抽象思維達(dá)到對(duì)事物本質(zhì)普遍規(guī)律的認(rèn)識(shí)，只要保持這種抽象、超驗(yàn)的思維取向，才能將特殊轉(zhuǎn)化為一般，感性上升為理性，透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，將眼前的現(xiàn)實(shí)轉(zhuǎn)化為未來(lái)的永恒。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性的必要性

美國(guó)數(shù)學(xué)家M·克萊因說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性精神。正是這種精神激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活；試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問(wèn)題；努力去理解和控制自然；盡力去探求已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完善的內(nèi)涵?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)作為一種理性精神有著重要的價(jià)值和作用，那么培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性十分必要。

（一）從數(shù)學(xué)理性形成的規(guī)律來(lái)看

數(shù)學(xué)理性作為一種需要借助數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推理，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，其形成過(guò)程必然與個(gè)體對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)的掌握程度，推理規(guī)則的熟悉程度以及推理經(jīng)驗(yàn)的多寡等有著密切的聯(lián)系。學(xué)生的數(shù)學(xué)理性不是天生具備的，在生活中有意識(shí)地培養(yǎng)數(shù)學(xué)理性的機(jī)會(huì)也很少，因此特別需要教師在數(shù)學(xué)課堂中重視數(shù)學(xué)理性的培養(yǎng)，這樣才能使其由弱變強(qiáng)，如若不加重視和強(qiáng)化，數(shù)學(xué)理性也是會(huì)減弱和喪失的。

追求數(shù)學(xué)理性精神有助于學(xué)生充分感受人類理性思維的力量，增強(qiáng)其利用推理獲得成功的信念和面對(duì)失敗的承受力，提高思維的抽象性、概括性、嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性和批判性等品格，養(yǎng)成心平氣和地待人、簡(jiǎn)明扼要地說(shuō)話、抓住本質(zhì)看問(wèn)題、從全局考慮事情等品格。

（二）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育上看

2016年發(fā)布的 《面向未來(lái)：21世紀(jì)核心素養(yǎng)教育的全球經(jīng)驗(yàn)》研究報(bào)告，讓核心素養(yǎng)被越來(lái)越多的人所關(guān)注。對(duì)照核心素養(yǎng)的界定，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)被認(rèn)為是“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力”。人們對(duì)“關(guān)鍵能力”的關(guān)注較多，需要特別關(guān)注的是，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組專家根據(jù)教育部的要求，提出高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，但是其中聚焦的都是關(guān)鍵能力層面的。

南京師范大學(xué)喻平教授指出：“各學(xué)科核心素養(yǎng)成分的確定多是由一批專家綜合各方面意見討論而定，這種基于思辨的研究，基于專家的理論見識(shí)，有不可替代的作用，但是這種小群體的價(jià)值信念也可能會(huì)出現(xiàn)以偏概全的缺陷。對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)成分的研究，應(yīng)當(dāng)采用思辨提出框架、實(shí)證加以驗(yàn)證的方法?！彼ㄟ^(guò)因子分析和聚類分析，得到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)除了數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理（或數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理）、空間能力外，還應(yīng)包括問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)文化品格。其中數(shù)學(xué)文化品格包括理解數(shù)學(xué)文化傳承、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)理性精神、數(shù)學(xué)審美等。

（三）從對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的理解上看

盡管數(shù)學(xué)被人們看作是由理論、方法、問(wèn)題和符號(hào)等多種成分組成的多元復(fù)合體，但是有一點(diǎn)我們不可忽視，那就是“數(shù)學(xué)是一種完全的可靠的知識(shí)，是一種科學(xué)，它給人以理性”。愛因斯坦在談到數(shù)學(xué)時(shí)說(shuō)：“為什么數(shù)學(xué)相比其他科學(xué)受到特殊的尊重，一個(gè)理由是它的命題是絕對(duì)可靠的和無(wú)可爭(zhēng)辯的，而其他一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭(zhēng)辯的，并且經(jīng)常處于會(huì)被新發(fā)現(xiàn)的事實(shí)推翻的危險(xiǎn)之中?！薄皵?shù)學(xué)之所以有這么高的聲譽(yù)，還有另一個(gè)理由，那就是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒(méi)有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的?！迸囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性，可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“精確性”“定量性”“抽象性”“邏輯性”等的理解，可以幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

三、數(shù)學(xué)理性的培養(yǎng)策略

學(xué)生數(shù)學(xué)理性的形成是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過(guò)程，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)理性的培養(yǎng)需要教師提高自身對(duì)數(shù)學(xué)理性的認(rèn)識(shí)和理解，才能在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的培養(yǎng)。

1.要重視數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)抽象就是從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度抽取事物的本質(zhì)特征，從而提煉數(shù)學(xué)概念、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，創(chuàng)新數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)中重視數(shù)學(xué)抽象意味著幫助學(xué)生從客觀的角度來(lái)看待研究對(duì)象，從定量化、精確化等角度把握事物的本質(zhì)特征。

例如：在蘇教版三上《間隔排列》的教學(xué)中，教師通過(guò)介紹間隔排列的概念，讓學(xué)生明確該排列由兩種物體構(gòu)成，再通過(guò)讓學(xué)生自由創(chuàng)造間隔排列的實(shí)例和排隊(duì)活動(dòng)，進(jìn)一步感受其中的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，接著通過(guò)出示判斷“下面兩種物體能不能組成間隔排列？”“4支鉛筆，4塊橡皮”“5朵藍(lán)花，4朵紅花”“4 棵柳樹，7 棵楊樹”“100個(gè)鍵盤，101個(gè)鼠標(biāo)”，讓學(xué)生進(jìn)一步感受能間隔排列的兩種物體的數(shù)據(jù)規(guī)律，之后再對(duì)能夠間隔排列的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行分類研究，最終得到“能間隔排列的兩種物體，如果兩端相同，它們的數(shù)量相差1；如果兩端不同，它們的數(shù)量正好相等”。整個(gè)教學(xué)始終突出對(duì)數(shù)量的感知，使得數(shù)量關(guān)系的抽象水到渠成，凸顯數(shù)學(xué)理性。

2.要注重?cái)?shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。

自新課程改革以來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)特別倡導(dǎo)讓學(xué)生采用“觀察和實(shí)驗(yàn)”的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，但是如果學(xué)生始終停留在“實(shí)驗(yàn)和歸納”的水平上是不夠的，不能真正獲得數(shù)學(xué)理性。因?yàn)閿?shù)學(xué)理性強(qiáng)調(diào)有條理、有依據(jù)地探究問(wèn)題和解決問(wèn)題，因此教學(xué)中需要重視“驗(yàn)證和推理”。

例如：在探索乘法分配律時(shí)，通過(guò)讓學(xué)生觀察大量實(shí)例得到規(guī)律后，還可以讓學(xué)生看看能否找到反例，如果找不到反例，也就增強(qiáng)了規(guī)律的正確性；另一方面可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)驗(yàn)證，如圖1所示。

（圖 1）

3.要注重質(zhì)疑能力的培養(yǎng)。

追求數(shù)學(xué)理性，要學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)的真實(shí)性、精確性、可靠性、正確性等進(jìn)行質(zhì)疑，對(duì)推理過(guò)程的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性進(jìn)行反思，這樣才能不斷地提升數(shù)學(xué)理性水平。在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力，首先要營(yíng)造民主平等的氛圍；其次要重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感覺(jué)；再次就是要注重質(zhì)疑方法的引導(dǎo)，比如可以從問(wèn)題條件的充分性，問(wèn)題解決過(guò)程的邏輯性，問(wèn)題答案的正確性等角度進(jìn)行質(zhì)疑；最后還要對(duì)質(zhì)疑進(jìn)行合理的評(píng)價(jià)。

最后，值得一提的是，要辯證地看待數(shù)學(xué)理性。一方面不要走到純粹主義數(shù)學(xué)的老路上，肯定數(shù)學(xué)理性重要性的同時(shí)，也要清楚地認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)理性不是唯一的理性形式，也要重視其他的理性形式，如中國(guó)古代數(shù)學(xué)偏重實(shí)用主義的理性精神也是需要我們學(xué)習(xí)的。另一方面數(shù)學(xué)理性也有其局限性，數(shù)學(xué)理性并不能代表數(shù)學(xué)的全部。

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1005-6009（2017）33-0007-03

劉娟娟，南京曉莊學(xué)院教師教育學(xué)院（南京，211171）副教授，美國(guó)佛羅里達(dá)大學(xué)教育學(xué)院訪問(wèn)學(xué)者，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)、小學(xué)數(shù)學(xué)教師教育研究。