王珍蘭 江守燕 杜成斌 儲(chǔ)冬冬 陳艷麗

(1. 江蘇省水利科學(xué)研究院， 江蘇 揚(yáng)州 225002； 2. 河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院， 南京 210098)

基于頻域內(nèi)動(dòng)力XFEM和人工蜂群算法反演結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷

王珍蘭 江守燕 杜成斌 儲(chǔ)冬冬 陳艷麗

(1. 江蘇省水利科學(xué)研究院， 江蘇 揚(yáng)州 225002； 2. 河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院， 南京 210098)

結(jié)合頻域內(nèi)動(dòng)力擴(kuò)展有限元(Extended Finite Element Methods，XFEM)與人工蜂群(Artificial Bee Colony，ABC)算法的優(yōu)點(diǎn)，建立了反演結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的數(shù)值模型．闡述了動(dòng)力XFEM的基本公式，給出直接濾頻法迭代求解結(jié)構(gòu)自振頻率的過程．在迭代過程中，ABC智能算法通過整體和局部共同搜索，能夠迅速地得到最優(yōu)解，并可有效地避免陷入局部最優(yōu)，XFEM通過水平集函數(shù)表征不連續(xù)區(qū)域，迭代過程中數(shù)值計(jì)算網(wǎng)格不需要進(jìn)行重剖分．結(jié)合XFEM與ABC算法所建立的反演模型有效地減少了迭代的計(jì)算成本．采用頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)的前若干階頻率作為真實(shí)響應(yīng)，考慮了慣性力影響，比靜力響應(yīng)只考慮勁度的變化更全面．結(jié)果表明：所建立的反演結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出結(jié)構(gòu)內(nèi)部單個(gè)缺陷的位置和大?。?/p>

動(dòng)力擴(kuò)展有限元法； 人工蜂群算法； 直接濾頻法； 孔洞； 反演分析

近年來，發(fā)展的結(jié)構(gòu)無損檢測(cè)技術(shù)主要有：超聲波法、紅外成像法、電磁熱效應(yīng)、雷達(dá)法、聲發(fā)射技術(shù)等[1]．由于工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，目前這些無損檢測(cè)方法的結(jié)果受結(jié)構(gòu)幾何邊界條件(尺寸)、試驗(yàn)條件(設(shè)備)、材料均勻性條件以及計(jì)算機(jī)模型工作量的限制，只能對(duì)結(jié)構(gòu)物局部進(jìn)行檢測(cè)，很難給出整體結(jié)構(gòu)中缺陷的準(zhǔn)確形狀、位置分布等[2]．結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性(頻率、振型)和動(dòng)力響應(yīng)與結(jié)構(gòu)物理參數(shù)(如質(zhì)量、剛度、阻尼等)是緊密相關(guān)的，當(dāng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生損傷時(shí)，這些內(nèi)在的物理參數(shù)將或多或少的發(fā)生變化，必將引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的改變[3]．基于結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)部的缺陷進(jìn)行識(shí)別，與局部檢測(cè)方法相比，可全面的對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測(cè)，且操作簡(jiǎn)單快捷，不影響結(jié)構(gòu)正常使用[4]，其可行性已得到室內(nèi)試驗(yàn)的驗(yàn)證[5-7]．

反演分析模型由正分析過程及目標(biāo)函數(shù)極小化迭代兩部分組成．對(duì)于含缺陷結(jié)構(gòu)的正分析問題是一類典型的不連續(xù)問題，擴(kuò)展有限元法(Extended Finite Element Methods，XFEM)是目前處理不連續(xù)問題的最有效數(shù)值方法，它在包含不連續(xù)界面的單元內(nèi)，通過改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)有限元法的位移場(chǎng)近似函數(shù)來捕捉其不連續(xù)性，XFEM能夠有效地解決結(jié)構(gòu)包含孔洞、夾雜和裂紋等缺陷的數(shù)值模擬問題[8-9]，在反分析問題的領(lǐng)域也顯示出了極大的優(yōu)勢(shì)[10-14]．

文中結(jié)合動(dòng)力XFEM和人工蜂群(Artificial Bee Colony，ABC)算法的優(yōu)點(diǎn)，重點(diǎn)研究反演結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷(夾雜)的數(shù)值模型，闡述動(dòng)力XFEM的基本公式，給出直接濾頻法迭代求解結(jié)構(gòu)自振頻率的過程．最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證所建立的反演數(shù)值模型．

1 反分析問題

為確定孔洞、裂縫等缺陷在結(jié)構(gòu)內(nèi)部所處的位置及其大小，需要通過一些智能優(yōu)化算法，建立適當(dāng)?shù)膮?shù)模型，并將計(jì)算得出的結(jié)構(gòu)關(guān)鍵點(diǎn)響應(yīng)值與其相應(yīng)的實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，使二者間誤差最小．

模型中的參數(shù)可以由向量表示為

(1)

式中，n為模型中待求參數(shù)總個(gè)數(shù)．

對(duì)于結(jié)構(gòu)內(nèi)的圓形缺陷，其參數(shù)可表示為

(2)

式中，(xc，yc)、rc分別為圓形缺陷的圓心坐標(biāo)和半徑．

參數(shù)模型的目標(biāo)函數(shù)可表示為

(3)

因此，該反分析問題可描述為：通過智能算法進(jìn)行搜索迭代，直至尋找一組最佳的參數(shù)

(4)

且

(5)

實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)式(3)最小化．其中，αmax和αmin分別為待求參數(shù)的上、下限值．

2 動(dòng)力問題的擴(kuò)展有限元法

2.1 水平集函數(shù)

對(duì)于圓形缺陷，其水平集函數(shù)為

(6)

式中，xc、rc分別為缺陷的圓心點(diǎn)坐標(biāo)向量和半徑．

在數(shù)值模型中僅儲(chǔ)存單元結(jié)點(diǎn)的水平集值，即φi=φ(xi)，單元內(nèi)部的水平集值需要通過插值得到

(7)

式中，Ni(x)為常規(guī)有限元中結(jié)點(diǎn)i的插值形函數(shù)．

2.2 位移模式

采用動(dòng)力擴(kuò)展有限元法計(jì)算含缺陷結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)(頻率)的估計(jì)值，其單元的位移模式可表示為

(8)

圖1 擴(kuò)展有限元改進(jìn)結(jié)點(diǎn)

2.3 支配方程

根據(jù)擴(kuò)展有限元法單元的位移模式(8)，利用虛功原理，忽略阻尼，可推導(dǎo)出動(dòng)力問題的擴(kuò)展有限元法的支配方程

(9)

3 直接濾頻法

在動(dòng)力平衡方程式(9)中，令{f}為0，便得到結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程，在工程實(shí)際中，阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)自振頻率和振型的影響極小，可略去其影響，故得到無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為

(10)

假定結(jié)構(gòu)作自由振動(dòng)時(shí)，其各點(diǎn)均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且振動(dòng)頻率與初相角一致，而振幅不同，則結(jié)點(diǎn)的位移列陣為

(11)

式中，{u0}為單元結(jié)點(diǎn)的振幅列陣，即振型；ω是圓頻率；θ是初相角．

將式(11)代入式(10)，可得廣義特征方程

(12)

上式{u0}有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣行列式為0，即

(13)

解之可得n個(gè)實(shí)頻率，n為結(jié)構(gòu)自由度總數(shù)．

文中僅需求解結(jié)構(gòu)若干階低頻率，故采用直接濾頻法進(jìn)行迭代求解．采用直接濾頻法求第j個(gè)特征值及其特征向量的具體步驟如下：

1)給出初始迭代向量和計(jì)算常數(shù)

(14)

2)第k次迭代時(shí)，先計(jì)算各振型的濾頻系數(shù)

(15)

3)計(jì)算第k次迭代的特征向量近似值

(16)

當(dāng)j=1時(shí)等號(hào)右端第二項(xiàng)為0．

4) 由Rayleigh商求第k次迭代的λj近似值

(17)

5) 檢查特征值是否滿足精度

(18)

若精度滿足要求，則迭代停止，否則重復(fù)式(15)至式(18)．

4 人工蜂群算法

將人工蜂群算法引入動(dòng)力擴(kuò)展有限元法中，搜索最優(yōu)參數(shù)解．人工蜂群算法的控制參數(shù)主要包括三個(gè)：蜜源的總數(shù)(NFood)、蜜源花蜜量不變時(shí)的蜂群最大搜索次數(shù)(Limit)和蜜蜂群的最大搜索總數(shù)(NIter)．在該算法中，蜜源的位置即為反問題中待求的可行解(缺陷的位置、大小)，蜜源的花蜜量為其可行解的效益(適應(yīng)度函數(shù)值)，這使得算法的空間復(fù)雜度較低，蜜蜂群搜索花蜜的速率可視為可行解的優(yōu)化速率，蜜源的最大花蜜量即為優(yōu)化問題的最優(yōu)解．可行解的適應(yīng)度函數(shù)值f(α)與目標(biāo)函數(shù)值O(α)的相互關(guān)系為

(19)

基于人工蜂群算法進(jìn)行蜜源(式(6)中水平集函數(shù)的缺陷參數(shù))搜索，根據(jù)蜜源的實(shí)時(shí)情況，由動(dòng)力擴(kuò)展有限元法計(jì)算得出結(jié)構(gòu)頻率，并與結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)頻率進(jìn)行對(duì)比，得出當(dāng)前蜜源的花蜜量，即該蜜源的“收益度”．當(dāng)由搜索到的蜜源計(jì)算得出的花蜜量小于允許誤差時(shí)，即確定結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的具體分布及尺寸．人工蜂群算法的具體求解過程為：

(20)

(21)

3)觀察蜂搜索階段．觀察蜂根據(jù)采蜜蜂種群處蜜源花蜜量大小選擇一個(gè)采蜜蜂，并在其鄰域內(nèi)同樣進(jìn)行新蜜源位置的搜索，并按照與采蜜蜂相同的規(guī)則更新其位置．觀察蜂選擇采蜜蜂種群處蜜源的概率計(jì)算公式為

(22)

4)偵察蜂搜索階段．當(dāng)某采蜜蜂陷入某蜜源的局部最優(yōu)，即搜索Limit次后，領(lǐng)域內(nèi)仍然沒有搜索花蜜量更佳的蜜源時(shí)，該采蜜蜂放棄當(dāng)前蜜源位置成為偵察蜂，其位置更新到由式(26)在蜜源空間內(nèi)生成新蜜源處．

5 數(shù)值算例

圖2(a)為含圓形孔洞的簡(jiǎn)支梁示意圖，梁的長度為400 mm，寬度100 mm．?dāng)?shù)值計(jì)算時(shí)，假設(shè)簡(jiǎn)支梁處于平面應(yīng)變狀態(tài)，簡(jiǎn)支梁被離散成20×80的均勻網(wǎng)格，如圖2(b)所示．基體的彈性模量E=22 GPa，泊松比ν=0.167．真實(shí)結(jié)構(gòu)的前5階頻率值暫由XFEM數(shù)值計(jì)算得到．

圖2 簡(jiǎn)支梁尺寸示意圖及XFEM計(jì)算網(wǎng)格/mm

為驗(yàn)證研制的程序的正確性，將XFEM結(jié)合直接濾頻法計(jì)算得到的簡(jiǎn)支梁前5階振型與商業(yè)軟件ABAQUS的有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖3所示，(a1)～(e1)為XFEM計(jì)算結(jié)果，(a2)～(e2)為ABAQUS計(jì)算結(jié)果．可以看出，采用研制的程序計(jì)算得到的簡(jiǎn)支梁前5階振型與ABAQUS計(jì)算結(jié)果吻合較好，從而驗(yàn)證了研制的程序的正確性．

圖3 含一孔洞簡(jiǎn)支梁的前5階振型圖

本算例中，圓形孔洞有圓心坐標(biāo)(xc，yc)和圓的半徑rc，共3個(gè)待求參數(shù)．反演過程中，取蜜源的總數(shù)NFood=100，蜜源花蜜量不變時(shí)的蜂群最大搜索次數(shù)Limit=20，蜜蜂群的最大搜索總數(shù)NIter=300．待反演參數(shù)的限值為xc∈[0 400]，yc∈[0 100]，rc∈[0 50]．圖4中，給出了圓形孔洞半徑分別為5 mm、10 mm及15 mm時(shí)缺陷的反演過程，從圖中可以看出，建立的反演分析模型能夠較為準(zhǔn)確地探測(cè)出缺陷的大小和位置．

圖4 基于實(shí)測(cè)前5階頻率的單個(gè)圓形孔洞的反演過程

6 結(jié) 論

結(jié)合頻域內(nèi)動(dòng)力XFEM和ABC智能優(yōu)化算法的優(yōu)點(diǎn)，建立了反演結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的數(shù)值模型．闡述了動(dòng)力XFEM的基本公式，給出直接濾頻法迭代求解結(jié)構(gòu)自振頻率的過程．文中采用頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)的前若干階頻率作為真實(shí)響應(yīng)，考慮了慣性力影響，比靜力響應(yīng)只考慮勁度的變化更全面．結(jié)果表明：所建立的反演結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出結(jié)構(gòu)內(nèi)部單個(gè)缺陷的位置和大?。?/p>

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[責(zé)任編輯 周文凱]

Identification of Internal Defect by Using Dynamic Extended Finite Elememt Methods in Frequency Domain and Artificial Bee Colony Algotithm

Wang Zhenlan Jiang Shouyan Du Chengbin Chu Dongdong Chen Yanli

(1. Jiangsu Province Water Conservancy Science Research Institute, Yangzhou 225002, China；2. College of Mechanics and Materials, Hohai Univ., Nanjing 210098, China)

This paper proposes an approach for detecting an internal defect by using dynamic extended finite element method(XFEM) in frequency domain and the artificial bee colony (ABC) algorithm. The basic formulation for dynamic XFEM is given. And then the direct filtration of frequencies for solving iteratively the natural frequency of vibration is elaborated. The main advantage of the proposed approach is that the ABC algorithm can effectively avoid the appearance of the local optimum by the global and local searching strategy and the XFEM alleviates the need for remeshing the domain with level set methods used to describe the discontinuous region at each iteration process. The inverse model combined XFEM with ABC algorithm can effectively reduce the amount of calculation for inverse analysis. Compared with the static response, it is more comprehensive for the several order frequency in the frequency domain which is used as the real response considering the effect of inertia force. The results show that the proposed approach can effectively detect the location and shape of the internal defect in materials.

dynamic extended finite element methods； artificial bee colony algorithm； direct filtration of frequencies； void； inversion analysis

2017-01-10

國家自然科學(xué)基金(51579084)；江蘇省水利科技項(xiàng)目(2015030, 2016017)

王珍蘭(1958-)，女，高級(jí)工程師，主要從事水利工程建設(shè)質(zhì)量管理與檢測(cè)研究．E-mail：jsslzj@163.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.03.004

O302

A

1672-948X(2017)03-0015-05