歐陽(yáng)敏華

（暨南大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)博士后科研流動(dòng)站，廣州510632）

STAR模型下初始條件對(duì)退勢(shì)單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的影響研究

歐陽(yáng)敏華

（暨南大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)博士后科研流動(dòng)站，廣州510632）

在STAR模型框架下，文章分析了不同初始條件下OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)水平和檢驗(yàn)勢(shì)的特征，發(fā)現(xiàn)OLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)隨初始條件的增大而上升，GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)隨初始條件的增大而下降，這與通常忽略初始條件影響下GLS退勢(shì)比OLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量有更高檢驗(yàn)勢(shì)的結(jié)論不一致。為此，進(jìn)一步探討了考慮初始條件情況下STAR模型中的退勢(shì)單位根檢驗(yàn)策略。

STAR模型；單位根；退勢(shì)；KSS統(tǒng)計(jì)量

0 引言

在單位根檢驗(yàn)實(shí)踐中，若經(jīng)濟(jì)和金融時(shí)間序列中含有潛在的確定性趨勢(shì)成分，應(yīng)選擇退勢(shì)單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，以提高單位根檢驗(yàn)的功效。Muller和Elliot[1]以及Harvey等[2]的研究發(fā)現(xiàn)，初始條件是影響退勢(shì)單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)勢(shì)的重要因素，且在不同退勢(shì)方式下的影響程度存在差異。在單位根檢驗(yàn)中，所謂初始條件指的是時(shí)間序列的初始值與單位根檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭性O(shè)定的潛在趨勢(shì)之間的偏離程度。在線性模型下，OLS退勢(shì)ADF單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)隨初始條件的增大而上升，而GLS退勢(shì)ADF單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)卻隨初始條件的增大而急劇下降。這與通常忽視初始條件情形下，GLS退勢(shì)ADF單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)要高于OLS退勢(shì)的結(jié)論大相徑庭。初始條件對(duì)退勢(shì)單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的影響不僅是理論問(wèn)題，在單位根檢驗(yàn)實(shí)踐中也應(yīng)引起足夠的重視。

Kapetantios等[3]建立的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（以下簡(jiǎn)稱KSS統(tǒng)計(jì)量）是目前STAR模型框架下單位根檢驗(yàn)實(shí)踐中廣泛應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)量。這一統(tǒng)計(jì)量相對(duì)ADF等線性模型下的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有更高的檢驗(yàn)勢(shì)?？紤]時(shí)間序列的確定性線性趨勢(shì)成分，Kapetantios等[3]建議直接采用OLS退勢(shì)方式將趨勢(shì)成分剔除，然后再對(duì)殘差序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。Kapetanios和Shin[4]建立了KSS統(tǒng)計(jì)量的GLS退勢(shì)版本，Monte Carlo模擬研究的結(jié)果表明GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量比OLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量有更高的檢驗(yàn)勢(shì)。劉雪燕[5]在ESTAR和LSTAR模型中對(duì)OLS和GLS退勢(shì)單位根檢驗(yàn)小樣本性質(zhì)的比較研究也發(fā)現(xiàn)，對(duì)時(shí)間序列退勢(shì)能不同程度改善單位根檢驗(yàn)的檢驗(yàn)勢(shì)，GLS退勢(shì)單位根檢驗(yàn)的優(yōu)勢(shì)相對(duì)更為明顯。然而，Kapetanios和Shin[4]、劉雪燕[5]等的研究都沒(méi)有考慮初始條件的影響。目前對(duì)于STAR模型框架下初始條件對(duì)退勢(shì)單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量影響的研究還是空白。為此，本文擬對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行探索，比較分析初始條件對(duì)GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量和OLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)的影響，探討考慮初始條件情況下STAR模型中的退勢(shì)單位根檢驗(yàn)策略。

1 STAR模型下的退勢(shì)單位根檢驗(yàn)

考慮如下包含確定性線性趨勢(shì)成分的STAR模型：

其中，εt～iid(0，σ2)。β′dit表示確定性線性趨勢(shì)項(xiàng)，考慮含常數(shù)項(xiàng)d1t=1以及含常數(shù)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)d2t=(1，t)′兩種情況，β為相應(yīng)的待估計(jì)參數(shù)。G(θ，c;yt-k)為平滑轉(zhuǎn)換函數(shù)，θ為平滑參數(shù)，c為門限參數(shù)，k為時(shí)滯參數(shù)。一般地，G(θ，c;yt-k)取指數(shù)函數(shù)或Logistic函數(shù)。遵循Kapetantios等[3]，取G(θ，c;yt-k)=1-exp(-θy2t-1)，θ≥0。當(dāng)G(θ，c;yt-k)→0時(shí)，式（1）退化為一個(gè)包含確定性線性趨勢(shì)成分的單位根過(guò)程。當(dāng)-2＜?＜0，且G(θ，c;yt-k)≠0時(shí)，式（1）為一個(gè)局部存在單位根但整體平穩(wěn)的ESTAR過(guò)程；當(dāng)yt-1在均衡點(diǎn)附近時(shí)可以是隨機(jī)游動(dòng)的，而一旦yt-1遠(yuǎn)離均衡點(diǎn)時(shí)，將存在內(nèi)生機(jī)制使得其向均衡點(diǎn)回復(fù)，回復(fù)速度取決于平滑參數(shù)以及偏離均衡點(diǎn)的距離。在經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列計(jì)量分析實(shí)踐中，整體平穩(wěn)的ESTAR模型常常用來(lái)描述一些重要的經(jīng)濟(jì)和金融時(shí)間序列變量呈現(xiàn)出來(lái)的非線性均值回復(fù)的動(dòng)態(tài)特征。

判斷時(shí)間序列yt是否為一個(gè)單位根過(guò)程，可建立檢驗(yàn)原假設(shè)H0∶θ=0，備擇假設(shè)為H1∶θ＞0。在原假設(shè)下，式（1）中的參數(shù)?不可識(shí)別，因此，不可直接在原假設(shè)下建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。為此，Kapetantios等[3]建議在θ=0處，將G(θ，c;yt-k)一階Taylor展開為多項(xiàng)式函數(shù)，建立如式（2）所示的輔助回歸模型：

其中，εt為隨機(jī)誤差項(xiàng)。在輔助回歸模型中，對(duì)時(shí)間序列yt是否為單位根過(guò)程的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)比較容易實(shí)施，可直接建立一個(gè)t統(tǒng)計(jì)量對(duì)原假設(shè)H0∶δ=0和備擇假設(shè)H1∶δ＜0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

由于式（2）中包含確定性線性趨勢(shì)成分，為提高檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)，通常需要先對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行退勢(shì)處理，然后再對(duì)退勢(shì)后的殘差序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。式（2）中的時(shí)間序列yt為確定性趨勢(shì)成分與隨機(jī)趨勢(shì)成分之和的形式，因此，可以直接采用基于回歸的方式將確定性趨勢(shì)成分剔除掉。一般地，按回歸方式退勢(shì)的過(guò)程可概括為兩步，首先將時(shí)間序列yt與dit進(jìn)行回歸，得到參數(shù)β的估計(jì)值β?，然后將原序列中的確定性趨勢(shì)成分剔除掉，便可以得到退勢(shì)后的序列y~t，y~t=yt-β?′dit。對(duì)參數(shù)β采用不同的估計(jì)方法，便形成了不同的退勢(shì)方式，如OLS退勢(shì)和GLS退勢(shì)。參數(shù)β的OLS估計(jì)為：

將時(shí)間序列yt按OLS或GLS退勢(shì)后，式（2）所表示的輔助回歸模型以退勢(shì)序列~t重新表示為：可以得到對(duì)原假設(shè)H0∶δ=0統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量：

在原假設(shè)成立條件下，可以推導(dǎo)出OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的漸近分布為：

OLS和GLS退包含時(shí)間趨勢(shì)情形，即式（2）中d2t=(1，t)′，

需要注意的是GLS退均值后的殘差序列的漸近性質(zhì)與不含漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走過(guò)程是一致的，因此其漸近服從于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，而與cˉ無(wú)關(guān)。GLS退勢(shì)包含時(shí)間趨勢(shì)時(shí)，Kapetanios和Shin[4]根據(jù)Elliott等[6]點(diǎn)最優(yōu)的原則建議cˉ取值為-17.5。由式（4），OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的漸近分布為非標(biāo)準(zhǔn)分布函數(shù)形式，需要采用Monte Carlo數(shù)值模擬的方式得到其漸近臨界值。

2 初始條件對(duì)OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)水平和檢驗(yàn)勢(shì)的影響

本文采用Monte Carlo數(shù)值模擬的方式探索初始條件對(duì)OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平和檢驗(yàn)勢(shì)的影響。為便于比較，遵從Kapetanios和Shin[4]中的數(shù)據(jù)生成過(guò)程（DGP），設(shè)定Δyt=?yt-1[1-exp(-θy2t-1)]+εt，t=1，…，T，其中εt～N(0，1)。初始條件y0=ξσy，表示初始值與趨勢(shì)項(xiàng)之間的偏離程度，其中，ξ={0，±1，±2，…±6}，σy表示序列yt的標(biāo)準(zhǔn)差。ξ=0表示初始值在模型設(shè)定的趨勢(shì)上，不存在偏差；ξ取值為正時(shí)表示初始值與潛在趨勢(shì)間是正的偏離，取值為負(fù)時(shí)表示負(fù)的偏離；ξ的絕對(duì)值越大表示偏離程度越大。σy通過(guò)隨機(jī)模擬yt樣本數(shù)據(jù)的方式計(jì)算得到，即根據(jù)yt的數(shù)據(jù)生成過(guò)程，Monte Carlo模擬初始值為零，樣本量為T的序列yt10000次，然后計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差的平均值。

在上述DGP設(shè)定下，令?=0，即時(shí)間序列yt為單位根過(guò)程，考察初始條件對(duì)OLS和GLS退勢(shì)單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)水平的影響。根據(jù)原假設(shè)下序列yt的數(shù)據(jù)生成過(guò)程，樣本量T分別取50、100、200，Monte Carlo模擬生成樣本數(shù)據(jù)，模擬次數(shù)10000次。給定顯著性水平為0.05，由各種情形下隨機(jī)模擬生成的樣本數(shù)據(jù)分別計(jì)算OLS、GLS退勢(shì)單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，并統(tǒng)計(jì)實(shí)際檢驗(yàn)水平，結(jié)果列于表1。由于ξ取值為正和負(fù)，三種退勢(shì)單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平和檢驗(yàn)勢(shì)呈現(xiàn)出相似的特征，因此，在表1和表2中只列出了ξ取值為正情形下的檢驗(yàn)水平和檢驗(yàn)勢(shì)。根據(jù)表1，OLS、GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的實(shí)際檢驗(yàn)水平總體比較穩(wěn)定，與名義顯著性水平相當(dāng)，不存在檢驗(yàn)水平扭曲的現(xiàn)象；且在不同樣本量下未發(fā)現(xiàn)正的和負(fù)的初始條件對(duì)檢驗(yàn)水平可能產(chǎn)生的影響。

表1 考慮初始條件下OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平（α=0.05）

在備擇假設(shè)成立條件下，在上述DGP中設(shè)定?={-0.1，-0.5，-1},θ={0.01，0.05，0.1}。參數(shù)?，θ取值的不同組合，可以形成多種平滑轉(zhuǎn)換速度快慢不同的STAR模型，且各種模型與原假設(shè)下的單位根過(guò)程之間差異程度也是大小不一的；有些模型比較接近單位根過(guò)程，有些模型中平滑轉(zhuǎn)換的非線性特征更為突出。參數(shù)?，θ取值的不同組合下，按上述DGP設(shè)定的模型的特征比較豐富。ξ取不同值，樣本量為100、200，按?，θ取值不同組合下的數(shù)據(jù)生成過(guò)程，Monte Carlo模擬各種情形下序列yt的樣本數(shù)據(jù)各10000次。給定顯著性水平為0.05，由各種情形下隨機(jī)模擬生成的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算OLS、GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的值落入拒絕域的次數(shù)，即可得到各統(tǒng)計(jì)量在檢驗(yàn)勢(shì)上的特征。表2中列出了參數(shù)θ=0.05，?={-0.1，-0.5，-1}各種組合下OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)；θ取其他值與?={-0.1，-0.5，-1}的各種組合下檢驗(yàn)勢(shì)的特征與表2是一致的。由表2，OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)勢(shì)具有如下特征：（1）不考慮初始條件的影響，GLS退勢(shì)方式的檢驗(yàn)勢(shì)要高于OLS退勢(shì)。（2）OLS退均值和退包含時(shí)間趨勢(shì)的KSS統(tǒng)計(jì)量（ols，1和ols，2）的檢驗(yàn)勢(shì)隨初始條件的增大而增大。（3）GLS退均值的KSS統(tǒng)計(jì)量（gls，1）的檢驗(yàn)勢(shì)隨初始條件的增大呈現(xiàn)出先逐漸下降而后逐漸上升的特征，但上升和下降的幅度并不大，特別是在平滑轉(zhuǎn)換非線性特征較為明顯的情形下。然而，GLS退包含時(shí)間趨勢(shì)的KSS統(tǒng)計(jì)量（gls，2）的檢驗(yàn)勢(shì)卻隨初始條件的增大出現(xiàn)了快速的下降，且當(dāng)初始條件很大時(shí)，檢驗(yàn)勢(shì)近乎為零。（4）增大樣本容量可以提高OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)，但并不能改變初始條件對(duì)檢驗(yàn)勢(shì)的影響。

表2 考慮初始條件下OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)（θ=0.05,α=0.05）

根據(jù)表2，整體上，GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)在初始條件可忽略或較小情形下的檢驗(yàn)勢(shì)要好于OLS退勢(shì)；而在初始條件較大情形下，OLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)要好于GLS退勢(shì)。根據(jù)這一特征，可以采用Harvey等[2]提出的聯(lián)合檢驗(yàn)的策略以充分利用OLS和GLS退勢(shì)方式在不同初始條件下檢驗(yàn)勢(shì)上的優(yōu)勢(shì),提高單位根檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性。因此，進(jìn)行聯(lián)合檢驗(yàn)時(shí)，給定顯著性水平，拒絕原假設(shè)H0的條件為：ols，i小于其在顯著性水平下的臨界值或gls，i小于其在顯著性水平下的臨界值。例如，給定顯著性水平為0.05，對(duì)退包含常數(shù)和時(shí)間趨勢(shì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)的聯(lián)合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：UR2=tgls，2I(tgls，2＜-2.93) +tols，2I(tgls，2≥-2.93)，其中I(·)為示性函數(shù)。若UR2= tgls，2，則當(dāng)UR2＜-2.93時(shí)，拒絕原假設(shè)；若UR2=tols，2時(shí)，則當(dāng)UR2＜-3.40時(shí)，拒絕原假設(shè)。在單位根檢驗(yàn)實(shí)踐中初始值與確定性趨勢(shì)之間的偏離程度往往是未知的，采用這一聯(lián)合檢驗(yàn)的策略可以在一定程度上避免初始條件的影響，保持較高的檢驗(yàn)功效。圖1比較了樣本量T=200，模型參數(shù)θ=0.05，?=-0.1，OLS和GLS退均值KSS統(tǒng)計(jì)量（ols，1、gls，1）和退包含時(shí)間趨勢(shì)的KSS統(tǒng)計(jì)量（ols，2、gls，2）以及兩個(gè)退勢(shì)統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（UR1、UR2）的檢驗(yàn)勢(shì)隨初始條件的變化情況。由圖1，無(wú)論是退均值還是退包含時(shí)間趨勢(shì)情形，聯(lián)合檢驗(yàn)的策略可以在一定程度上避免OLS退勢(shì)在初始條件較小情形以及GLS在初始條件較大情形下檢驗(yàn)勢(shì)較低的問(wèn)題。

圖1 OLS、GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量以及UR統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)勢(shì)的特征

3 結(jié)束語(yǔ)

本文比較分析了不同初始條件下OLS和GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)水平和檢驗(yàn)勢(shì)的特征?？紤]初始條件的影響，GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)高于OLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的結(jié)論不再成立，特別是，在初始條件較大情形下，GLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)非常低。在單位根檢驗(yàn)實(shí)踐中，初始條件大小往往是未知的，甚至無(wú)從判斷，借鑒Harvey等[2]提出的聯(lián)合檢驗(yàn)的策略可以保留GLS退勢(shì)和OLS退勢(shì)KSS統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢(shì)在不同初始條件下的優(yōu)勢(shì)，這為STAR模型框架下的退勢(shì)單位根檢驗(yàn)提供了一種簡(jiǎn)單且實(shí)用的工具。

[1]Muller U K,Elliott G.Tests for Unit Roots and Initial Condition[J]. Econometrica,2003，(71).

[2]HarveyDI,LeybourneSJ,TaylorAMR.UnitrootTestinginPractice: Dealing with Uncertainty over the Trend and Initial Condition[J]. Econometric Theory,2009，(25).

[3]Kapetanios G,Shin Y,Snell A.Testing for a Unit Root in the Nonlinear STAR Framework[J].Journal of Econometrics,2003，(112).

[4]KapetaniosG,ShinY.GLS Detrend-Based Unit Root Tests in Nonlin?ear STAR and SETAR models[J].Economics Letters，2008，(100).

[5]劉雪燕.STAR模型中退勢(shì)單位根檢驗(yàn)的小樣本性質(zhì)[J].統(tǒng)計(jì)研究, 2009，(3).

[6]ElliottG,RothenbergTJ,StockJH.Efficient Tests for an Autoregressive unitroot[J].Econometrica,1996(64).

（責(zé)任編輯/亦民）

Impacts of the Initial Condition on Unit Root Test Using De-trending Procedures in STAR Models

Ouyang Minhua
(Statistics Postdoctoral Research Station，Jinan University，Guangzhou 510632,China)

This paper investigates the power and size performance of the KSS unit root test using OLS and GLS de-trending procedures under uncertain initial conditions in STAR models.Results show that the KSS test using GLS is more powerful than the OLS-based test for the case without consideration of initial condition.However,the power of GLS-based KSS test decreases drastically as the initial deviation gets large,while the power of OLS-based KSS test increases.The paper further discusses the unit root testing strategy under initial conditions in STAR models.

STAR models;unit root;de-trending;KSS test

F224

A

1002-6487（2017）10-0035-04

中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014M562245）

歐陽(yáng)敏華（1981—），男，江西永新人，博士，講師，研究方向：經(jīng)濟(jì)計(jì)量理論與方法。