向 玲， 高雪媛

(華北電力大學 機械工程系，河北保定 071003)

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考慮非線性油膜力的裂紋轉子動力學特性仿真

向 玲， 高雪媛

(華北電力大學 機械工程系，河北保定 071003)

在考慮裂紋軸時變剛度和非線性油膜力的基礎上，建立了含裂紋故障的雙盤轉子-軸承系統(tǒng)的動力學模型，采用數(shù)值積分方法對其求解，結合分岔圖、軸心軌跡圖、Poincaré截面圖和三維譜圖等，分析了轉速、裂紋深度和不平衡對系統(tǒng)響應、分岔情況以及穩(wěn)定性的影響.結果表明：該類系統(tǒng)出現(xiàn)了多周期、擬周期、混沌等豐富的非線性動力學行為；在裂紋較深的情況下，在較低轉速便會發(fā)生倍周期分岔和多周期運動，系統(tǒng)的非線性和不穩(wěn)定性增強；不平衡力的增大簡化了系統(tǒng)的動力學行為，使系統(tǒng)失穩(wěn)滯后，但不影響油膜振蕩.

轉子動力學； 裂紋； 非線性油膜力； 分岔； 混沌

由于轉子材料本身的缺陷和長時間的工作，會逐漸產(chǎn)生疲勞裂紋，進而擴展，導致轉軸剛度降低，從而引起其橫向振動變大，影響機組的正常工作與安全.近年來，國內(nèi)外學者對含有裂紋故障的轉子進行了一系列研究[1-5].甕雷等[6]研究了含汽輪機非線性間隙氣流激振力的裂紋轉子，討論了該激振力和裂紋深度對轉子-軸承系統(tǒng)振動響應特性的影響.何成兵等[7]建立了剛性支承的純彎曲振動、彎扭耦合振動和軸承支承的彎扭耦合振動3種裂紋轉子模型，對比分析了系統(tǒng)響應的分岔、混沌特性.Ricci等[8]提出了一種新的多自由度裂紋轉子模型，采用Floquet理論討論了各向異性和裂紋位置對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.秦衛(wèi)陽等[9-10]以雙盤懸臂裂紋轉子為模型，主要分析了不同參數(shù)對系統(tǒng)進入混沌道路的影響.筆者主要以對稱布置的雙盤轉子為模型，更為全面地分析了參數(shù)變化對系統(tǒng)運動形式、頻率特征的影響.劉長利等[11]采用有限元方法建立了雙盤雙呼吸裂紋轉子系統(tǒng)的動力學模型，給出了不同裂紋深度和裂紋夾角對轉子振動響應的影響.于海等[12]通過改進的正交模態(tài)分解技術(POD)將26自由度的含有裂紋故障的高維系統(tǒng)降為具有2個自由度含有裂紋故障的低維模型，并利用C-L方法對其進行了分岔分析.

已有的關于含裂紋故障的雙盤轉子-軸承系統(tǒng)的文獻較少，大部分又是用有限元法而非數(shù)值方法.因此，筆者建立了油膜支承下含裂紋故障的雙盤轉子系統(tǒng)的動力學模型，考慮轉軸的裂紋時變剛度，采用Runge-Kutta法進行求解，討論轉速、裂紋深度以及偏心量變化對系統(tǒng)動力學特性的影響，為實際中轉子-軸承系統(tǒng)的振動特性分析提供了一定的理論依據(jù).

1 含裂紋故障的轉子系統(tǒng)模型

所研究的含裂紋故障的雙盤轉子-軸承系統(tǒng)，轉子兩端采用對稱結構的滑動軸承支承，如圖1所示.Oi(i=1,4)為軸端軸承內(nèi)瓦幾何中心，Oi(i=2,3)為轉子幾何中心；轉子在軸承處的集中質(zhì)量為m1和m4，轉軸中央圓盤等效質(zhì)量為m2和m3，并在靠近左端圓盤處有一橫向弓形裂紋，如圖1所示；k為無裂紋時轉軸剛度，ci(i=1,4)為轉子在軸承處的結構阻尼，ci(i=2,3)為轉子圓盤處的結構阻尼.Fxi(i=1,4)和Fyi(i=1,4)為滑動軸承作用在轉軸上的非線性油膜力，軸承半徑為R，長度為L，軸承間隙為c.

圖1 含裂紋故障的雙盤轉子-軸承系統(tǒng)

1.1 裂紋模型

圖2所示為轉軸裂紋處橫截面，其中xoy為絕對坐標系，ξo′η為固定在圓盤上并隨圓盤轉動的坐標系，o′ξ為裂紋擴展方向，o′η為裂紋擴展垂直方向.ψ為轉子的渦動角，θ=ωt為自轉角，其中，ω為轉動角頻率，φ=θ-ψ為轉渦差角，e為質(zhì)量偏心，β為裂紋方向與不平衡方向之間的夾角.則在考慮呼吸裂紋后的轉軸剛度矩陣[13]可表示為

(1)

圖2 開閉裂紋模型示意圖

1.2 油膜力模型

本文滑動軸承處所產(chǎn)生的油膜力具有強非線性，理論分析中采用經(jīng)典的Capone圓軸承理論[14]，該模型精度較高，具體表達式如下：

(2)

式中：fx、fy分別為無量綱非線性油膜力在x與y方向上的分量；σ為Sommerfeld修正數(shù).

(3)

(4)

其中，

式中:x，y為軸承位移；μ為潤滑油黏度.

1.3 轉子系統(tǒng)運動微分方程

假設含裂紋故障的雙盤轉子-軸承系統(tǒng)兩端軸頸的徑向位移為x1、y1、x4和y4，中央圓盤處的徑向位移為x2、y2、x3和y3，忽略陀螺力矩和扭轉振動，只考慮系統(tǒng)的橫向振動，則系統(tǒng)的運動微分方程如式(6)所示.

2 系統(tǒng)運動微分方程求解

2.1 系統(tǒng)運動微分方程的無量綱處理

式(6)中給出了含裂紋故障的雙盤轉子-軸承系統(tǒng)的運動微分方程，綜合考慮了剛度的變化和非線性油膜力的影響，將式(1)中的剛度模型和式(4)中的油膜力代入式(6)中，同時引入無量綱變換：

則無量綱后的運動微分方程如式(7)所示.

(6)

(7a)

(7b)

2.2 參數(shù)設置

表1給出了含裂紋故障的雙盤轉子-軸承系統(tǒng)的主要參數(shù).由于式(7)(包括式(7a)和式(7b))表示一個強非線性系統(tǒng)，采用四階Runge-Kutta法對其進行數(shù)值積分求解，并舍去前300個周期的結果以消除瞬態(tài)響應，進而得到系統(tǒng)的分岔圖等.

表1 系統(tǒng)主要參數(shù)

3 仿真與分析

3.1 轉速對系統(tǒng)響應的影響

圖3給出了系統(tǒng)響應隨轉速變化的分岔圖，此時裂紋剛度變化比Δkζ=0.1，偏心量取0.1 mm，其他參數(shù)如表1所示.由圖3可知，系統(tǒng)歷經(jīng)P-1→ P-2→P-4→混沌→P-8→P-4→P-2→多周期→混沌.系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔的分岔點轉速為ω=390 rad/s，開始出現(xiàn)油膜渦動，從單周期運動進入到雙周期P-2運動，如圖4(a)所示，ω=400 rad/s時，時域波形為周期信號，軸心軌跡為兩圓疊交，頻譜圖上存在油膜失穩(wěn)頻率、基頻以及倍頻nX/2(n=3,4,5…)，且油膜失穩(wěn)頻率為基頻的0.5倍，Poincaré截面圖上存在2個孤立的相點.

而在轉速ω=855 rad/s時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔進入擬周期運動，如圖4(c)所示，當ω=1 000 rad/s時，軸心軌跡呈花環(huán)狀，頻譜圖上存在油膜失穩(wěn)頻率、基頻、基頻的分數(shù)階和高階倍頻，油膜失穩(wěn)頻率約為基頻的0.38倍，Poincaré截面圖上出現(xiàn)“鎖相”現(xiàn)象，此時油膜渦動發(fā)展成為油膜振蕩，故障加重，系統(tǒng)進行擬周期運動.在轉速范圍1 660～1 705 rad/s內(nèi)，系統(tǒng)出現(xiàn)短暫的P-3運動，圖4(d)中ω=1 670 rad/s時，時域圖規(guī)則，頻譜圖上主要是油膜振蕩頻率和基頻，油膜振蕩頻率為基頻的0.33倍，Poincaré截面圖鎖相為3個相點.

圖3 系統(tǒng)響應隨轉速變化的分岔圖

3.2 裂紋深度對系統(tǒng)響應的影響

圖5、圖6分別為Δkζ=0.5和0.9時系統(tǒng)響應隨轉速變化的分岔圖.由圖5和圖6可知，系統(tǒng)首次分岔點分別變?yōu)棣?455 rad/s和ω=340 rad/s，結合圖3可知系統(tǒng)首次分岔點的轉速先增大后減小，說明裂紋從輕度發(fā)展到中度過程中，裂紋的存在會干擾油膜渦動的形成，而在裂紋進行到重度情況時，系統(tǒng)不穩(wěn)定性增強，在較低轉速時便會發(fā)生倍周期分岔和多周期運動.另外，裂紋深度的增加對系統(tǒng)響應的影響還表現(xiàn)在中高速區(qū)域.對比圖3、圖5和圖6可以看出，隨著裂紋深度的增加，系統(tǒng)中速區(qū)發(fā)展為更明顯的多周期、擬周期交替運動；高速區(qū)的P-3運動窗口不僅變寬，而且有所前移.這些現(xiàn)象均說明裂紋的發(fā)展會導致系統(tǒng)的非線性和不穩(wěn)定性增強.

圖4 不同轉速下的系統(tǒng)響應

圖5 Δkζ=0.5時系統(tǒng)響應隨轉速變化的分岔圖

圖6 Δkζ=0.9時系統(tǒng)響應隨轉速變化的分岔圖

3.3 不平衡對系統(tǒng)響應的影響

在實際轉子系統(tǒng)中，由于轉子本身加工誤差導致的質(zhì)量不均勻、安裝偏心等原因，不可避免的存在轉子不平衡情況，此處將分析不平衡力對含裂紋故障的雙盤轉子-軸承系統(tǒng)振動響應的影響，而在一定轉速下，偏心量的大小決定了不平衡力的大小.

圖7和圖8為裂紋剛度變化比Δkζ=0.1，偏心量e=0.2 mm和0.3 mm時的系統(tǒng)分岔圖.對比圖3、圖7和圖8可知，隨偏心量的增大，不平衡力也會增大，較大的不平衡力會簡化系統(tǒng)的運動形式，系統(tǒng)的分岔情況相對變得簡單.從圖3、圖7和圖8可以看出，系統(tǒng)首次分岔點的轉速發(fā)生后移，從圖3中的ω=390 rad/s變?yōu)棣?850 rad/s和ω=1 030 rad/s，說明偏心量的增大會使系統(tǒng)失穩(wěn)滯后.其次，原中速區(qū)的混沌窗口縮小并且后移，高速區(qū)的P-3運動窗口也發(fā)生后移.圖9給出了偏心量取0.1 mm、0.2 mm和0.3 mm時系統(tǒng)的三維譜圖，圖中可觀察到油膜失穩(wěn)頻率f0、基頻fr以及基頻的多個高階倍頻(fr+f0,2fr).此外，偏心量的增大使出現(xiàn)油膜渦動頻率的轉速增大，但并沒有影響油膜振蕩，這一點與圖7和圖8的結果相符.

圖7 e=0.2 mm時系統(tǒng)響應隨轉速變化的分岔圖

圖8 e=0.3 mm時系統(tǒng)響應隨轉速變化的分岔圖

(a) e=0.1 mm

(b) e=0.2 mm

(c) e=0.3 mm

4 結 論

(1) 在轉速的影響下，系統(tǒng)出現(xiàn)了多周期、擬周期、混沌等豐富的動力學行為，并歷經(jīng)多次倍周期分岔進入混沌運動和Hopf分岔進入擬周期運動.

(2) 隨著裂紋深度的增加，裂紋干擾了油膜渦動的形成，使系統(tǒng)首次分岔點的轉速增大，但在裂紋較深的情況下，在較低轉速便會發(fā)生倍周期分岔和多周期運動，并且在中速區(qū)發(fā)生更加明顯的多周期、擬周期交替運動，系統(tǒng)的非線性和不穩(wěn)定性增強.

(3) 不平衡力的增加會簡化系統(tǒng)的非線性動力學行為，使系統(tǒng)失穩(wěn)滯后，且原中速區(qū)的混沌窗口會縮小、后移.后續(xù)將在轉子試驗臺上進行相關試驗，研究各參數(shù)變化對系統(tǒng)響應的影響，以對比、驗證該模型下的數(shù)值計算結果.

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Simulation on Dynamic Characteristics of a Cracked Rotor Considering Nonlinear Oil Film Force

XIANG Ling, GAO Xueyuan

(Department of Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, Hebei Province, China)

Considering the time varying stiffness and nonlinear oil film force, a dynamic model was established for the double disc rotor-bearing system with crack faults, and subsequently numerical integration method was used to solve the model, so as to study the effects of rotating speed, crack depth and unbalance force on the response, instability and bifurcation of the system by using bifurcation diagram, axis orbits, Poincaré maps and cascade spectrum. Results show that when the rotating speed changes, rich nonlinear dynamic behaviors would occur to the system, such as multiple periodic, quasi-periodic and chaotic motions. Under deep crack conditions, double period bifurcation and multi period motion would appear at a lower speed, when the system nonlinearity and instability tend to be enhanced. The increase of unbalance force simplifies the dynamic behavior of the system, makes the appearance of system instability lag behind, but does not affect the oil-whip.

rotor dynamics; crack; nonlinear oil film force; bifurcation; chaos

2016-06-20

2016-07-19

國家自然科學基金資助項目(51675178)

向 玲(1971-),女,湖北隨州人,教授,博士,研究方向為非線性動力學和故障診斷.電話(Tel.)：15032496266; E-mail：ncepuxl@163.com.

1674-7607(2017)06-0454-07

TH113

A

470.30