郭宇航+周淑容+崔佳+黃宗明

摘要：采用壓桿撓曲線法分析了木節(jié)對軸心受壓膠合木柱穩(wěn)定承載力的影響，分析時考慮了初彎曲、初偏心以及木節(jié)和木材本構(gòu)的彈塑性等因素的影響。在考慮木節(jié)的影響時，模型中將截面分為木節(jié)區(qū)、木節(jié)影響區(qū)和無影響區(qū)，3個區(qū)域分別采用不同的本構(gòu)模型，木節(jié)區(qū)的位置由自編程序隨機產(chǎn)生，以模擬實際工程中木節(jié)在構(gòu)件中的隨機分布。分別計算了木節(jié)率為2%、6%和9%時的穩(wěn)定系數(shù)φ。計算結(jié)果表明，木節(jié)會在一定程度上降低軸心受壓膠合木柱的穩(wěn)定承載力。數(shù)值計算結(jié)果和試驗數(shù)據(jù)的對比表明，數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好。

關(guān)鍵詞：膠合木柱；壓桿撓曲線法；穩(wěn)定性；木節(jié)影響

中圖分類號：TU366.3文獻標(biāo)志碼：A文章編號：16744764（2017）03004406

Abstract：The effect of knot was analyzed on stability of glulam column under Axial Compressive Loading， using the column deflection curve method （CDC method）. The initial bending， eccentricity， wood knots and elasticplasticity of wood were considered for analysis. The member in the model was divided into three areas： knot area， knot influence area and no influence area， and three related constitutive relations were adopted in the process of analyzing. The locations of knots were randomly generated by designed program to simulate the randomly distributed knots in practical components. The stability coefficient φ was calculated considering knot at the rate of 2%， 6% and 9%， respectively. The results showed that the knots could reduce the stability capacity of the glulam column in axial compression in some degree. The numerical data was further compared with the test data and they were fit well each other.

Keywords：glulam column； column deflection curve method； stability； effect of knot

關(guān)于軸心受壓膠合木柱的穩(wěn)定承載力計算方法，通常采用切線模量理論推導(dǎo)出理論計算公式，再通過大量不同長細比、不同強度等級木材的穩(wěn)定承載力試驗，用試驗數(shù)據(jù)擬合公式中的參數(shù)獲得?！赌z合木結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》（GB/T 50708—2012） [1]中軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定計算公式，參照美國木結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[2]轉(zhuǎn)化而來。美國木結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范采用的是Ylinen公式[35]，其參數(shù)c由試驗數(shù)據(jù)擬合得到，體現(xiàn)了木材的初始缺陷的影響。加拿大木結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[6]采用的CRG（Cubic RankineGordon）公式[78]中的形狀系數(shù)N也是由試驗數(shù)據(jù)擬合得到的。事實上，軸心受壓膠合木柱的實際失穩(wěn)形式屬于極值點失穩(wěn)，運用最大強度理論計算軸心受壓膠合木柱的穩(wěn)定承載力比運用切線模量理論更符合構(gòu)件失穩(wěn)的實際狀態(tài)。由于木材種類繁多，膠合木的組坯方式也較多，材料的力學(xué)性能變異性較大。因此，要得到不同強度等級、不同長細比的軸壓構(gòu)件的穩(wěn)定承載力，通常需要做大量試驗，成本較高?；谏鲜鰞牲c原因，運用最大強度理論，借助數(shù)值方法計算軸心受壓膠合木柱的穩(wěn)定承載力具有重要意義。壓桿撓曲線法（簡稱CDC法）是一種常用的數(shù)值方法，在鋼結(jié)構(gòu)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，已被用來分析計算各種鋼結(jié)構(gòu)截面形式和受力條件下的穩(wěn)定問題[911]。初始缺陷是影響軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定承載力的重要因素，軸心受壓膠合木柱的初始缺陷包括初偏心、初彎曲和木材的天然缺陷等。其中，木材的天然缺陷很多，除木節(jié)外還包括斜紋、裂紋、腐朽和蟲蛀等。研究表明，木節(jié)是影響木材均質(zhì)性和力學(xué)性能的重要缺陷，相比之下其他材料缺陷的影響要小得多。已有不少關(guān)于木節(jié)對木材力學(xué)性能影響的研究，包括木節(jié)對抗彎性能、抗拉性能的影響[1215]等，但沒有關(guān)于木節(jié)對軸心受壓木構(gòu)件穩(wěn)定承載力影響的研究。筆者采用CDC法，在考慮初偏心和初彎曲的情況下，分析木節(jié)對軸心受壓膠合木柱穩(wěn)定承載力的影響。

1壓桿撓曲線法

對于兩端鉸接的軸心受壓桿件，當(dāng)不考慮桿件的材料缺陷（彈塑性和木節(jié)等）和幾何缺陷（初偏心和初彎曲）時，桿件失穩(wěn)時的撓曲線是一條正弦半波曲線。當(dāng)計入幾何缺陷后，撓曲線雖然可能不是一條標(biāo)準(zhǔn)的正弦半波曲線，但仍可以通過直接積分得到撓曲線的解析表達式。如果還要同時考慮材料缺陷，要得到撓曲線的解析表達式已經(jīng)不可能了。Chen[16]提出可用數(shù)值積分的方法計算，其基本思想是將桿件劃分為若干個單元段，假定每一段的變形曲線是一條圓弧，然后建立遞推關(guān)系。根據(jù)初始條件即可求得各分段點的撓度、轉(zhuǎn)角和曲率，這樣就可以得到桿件的撓曲線。通過撓曲線可以進一步計算得到桿件的穩(wěn)定承載力Pu。

1.1穩(wěn)定承載力Pu的計算

軸心受壓構(gòu)件失穩(wěn)時的撓曲線是連續(xù)曲線，因此，CDC法建立的撓曲線y（z）是連續(xù)的，它的一階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)角θ（z）也是連續(xù)的，而二階導(dǎo)數(shù)曲率Φ（z）是分段的。圖1所示為兩端鉸接軸心受壓桿件，將桿件劃分為n段，每段長度為a，以每一個單元段左端的曲率Φi代表該單元段的曲率，其值為常數(shù)。這樣就可以通過幾何關(guān)系建立撓度yi、轉(zhuǎn)角θi和曲率Φi之間的遞推關(guān)系式θi =θi-1-aΦi-1（1）

yi=yi-1+aθi-1 -a2Φi-1/2（2）

Mi=P（yi+e0+v）（3）

Φi=f（Mi，P）（4）式（3）中：e0為初偏心；v為初彎曲，可近似假定為最大初始撓度為v0的正弦曲線v=v0sin（πz/l）=v0sin（πi/n）。式（4）需要調(diào)用的MPΦ關(guān)系，將在后文敘述。

對于給定桿長為l的兩端鉸接桿件，支座節(jié)點的初始撓度y0=0，初始曲率Φ0=f（M0，P），M0=Pe0，不計初偏心時為0。計算時，先假定壓力P和初始轉(zhuǎn)角θ0，通過式（1）～（4）的遞推關(guān)系可以求得任一分段截面的撓度yi、轉(zhuǎn)角θi和曲率Φi。若桿件關(guān)于中點對稱，則中點轉(zhuǎn)角θm=0，中點撓度ym為最大撓度值。但如果考慮了木節(jié)（木節(jié)為程序隨機生成得到），桿件將不再關(guān)于中點對稱，所以，不能只計算到中點截面，要計算全長。直到桿件最右端撓度yn=0，如果yn不為0，需要改變初始轉(zhuǎn)角θ0的值，直到y(tǒng)n=0。

如果假定的壓力P小于穩(wěn)定承載力Pu，那么總可以找到合適的初始轉(zhuǎn)角θ0，使得yn=0。這樣便可以得到一條完整的撓曲線，如圖2（a）所示。如果假定的壓力P大于穩(wěn)定承載力Pu，計算過程中要么yn<0，要么出現(xiàn)截面破壞，找不到合適的初始轉(zhuǎn)角θ0，使得yn=0，也就得不到一條完整的撓曲線，如圖2（b）所示。利用這一點，運用二分法可以計算出穩(wěn)定承載力Pu，即桿長為l的桿件所對應(yīng)的穩(wěn)定承載力。

1.2MPΦ關(guān)系的建立

將截面劃分為若干個微小的單元，每個單元的面積為Ai，距彎曲軸的距離為xi，如圖3所示。

要得到彎矩M、軸力P和曲率Φ三者的關(guān)系，可以先給定軸力P和曲率Φ，而后得到相應(yīng)的彎矩M。這時需要假定初始值ε0，通過式（5）～（7）計算得到F。不斷修正ε0，使得F=P。再通過式（8）計算得到彎矩M，計算結(jié)果如圖4所示。圖4給出了不同壓力等級作用下彎矩M與曲率Φ的關(guān)系曲線（其中Pc=fcA，為桿件軸心受壓強度破壞承載力）。為了方便對比，圖4同時給出了考慮木節(jié)和不考慮木節(jié)時的彎矩–曲率關(guān)系。由圖4可以看出，在同樣的壓力作用下，木節(jié)的存在降低了截面的抗彎承載力。當(dāng)Φ=0時，有木節(jié)的截面彎矩不為0。說明木節(jié)造成了截面的偏心，從而產(chǎn)生了附加彎矩。

2木節(jié)的影響

在木材的天然缺陷中，木節(jié)對木材性能的影響最大。清材小試件的順紋抗拉強度大于順紋抗壓強度，而足尺試件的順紋抗拉強度小于順紋抗壓強度。這是因為木節(jié)對順紋抗拉強度的影響最大，對順紋抗壓強度影響最小[17]。在木材受拉且拉力較小時，木節(jié)與周圍木材斷裂而退出工作。而在木材受壓時，木節(jié)與周圍木材一起承擔(dān)壓力。因此，在模擬計算時，木節(jié)區(qū)域可考慮為只壓單元（即受壓時強度不折減，而受拉時應(yīng)力為0）。

木節(jié)對木材力學(xué)性能的影響不僅取決于木節(jié)的大小和位置（位于受拉區(qū)還是受壓區(qū)），還受由木節(jié)引起的徑切面斜紋的影響。甚至在某些情況下，由木節(jié)引起的徑切面斜紋較木節(jié)直徑的影響更大[15]。如圖5所示，木節(jié)的存在使膠合木弦切板產(chǎn)生渦紋。但由于板面較寬，木節(jié)周圍彎曲的纖維基本是連續(xù)的。而在其剖面（徑切面）上，由于板材厚度較小，木材纖維被切斷。所以，徑切面斜紋對強度和剛度的影響較弦切面渦紋大。

1考慮木節(jié)和斜紋的影響，在計算模擬時采用如圖6所示的模型。模型分為3個區(qū)域：木節(jié)區(qū)、木節(jié)影響區(qū)和無影響區(qū)。對于木節(jié)區(qū)，如前所述，采用只壓模型；對于木節(jié)影響區(qū)，采用強度和剛度折減的辦法，分別對順紋抗拉強度、順紋抗壓強度和彈性模量進行折減?！赌z合木結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》（GB/T 50708—2012）分別采用（或（9）和（10））Hankinson公式計算木材的斜紋抗壓強度和斜紋抗拉強度

木節(jié)的尺寸一旦確定，影響構(gòu)件穩(wěn)定承載力的就是木節(jié)的位置和木節(jié)的數(shù)量。筆者在模擬木節(jié)時，木節(jié)的位置在程序中隨機產(chǎn)生，而木節(jié)的數(shù)量通過木節(jié)生成的概率（木節(jié)率）來控制。圖8為生成的某一有代表性的計算模型。其中，按前期試驗統(tǒng)計，木節(jié)尺寸多數(shù)在20～30 mm范圍內(nèi)，相當(dāng)于文獻[1]中膠合木層板Ⅱd等材的材質(zhì)等級規(guī)定的最不利木節(jié)尺寸限值，因此，模擬時木節(jié)寬度按文獻[1]的限值取為板面寬度的1/3，木節(jié)率取為2%。

用此模型進行計算，隨機生成木節(jié)，木節(jié)率分別取為2%、6%和9%，大致相當(dāng)于《膠合木結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范》的目測分級層板材質(zhì)等級標(biāo)準(zhǔn)的Ⅰd、Ⅱd和Ⅲd的材質(zhì)等級。將每種木節(jié)率所計算的穩(wěn)定系數(shù)φ（穩(wěn)定承載力與木材順紋抗壓強度的比值）與沒有木節(jié)的計算結(jié)果進行比較，見表1。為了方便比較，表中采用相對長細比λ =λ/π（fc/E），各種木節(jié)率下的柱子曲線（穩(wěn)定系數(shù)與長細比的關(guān)系曲線）如圖9所示。

從表1和圖9可以看出，對于每種木節(jié)率下的穩(wěn)定系數(shù)φ的偏差，隨相對長細比的變化趨勢是先減小后增大，且在相對長細比λ=1附近最小。在相對長細比λ=2附近時，考慮木節(jié)與不考慮木節(jié)的穩(wěn)定系數(shù)φ的偏差與木節(jié)率大致相等。

3試驗驗證

試件采用同等組合的膠合木，強度等級為TCT24，由4層北美進口花旗松目測分級規(guī)格材層板加工而成。試件按設(shè)計長細比50、70、90、110分為4組，分別對應(yīng)A、B、C、D組。具體試驗方法和加載裝置等見文獻[18]。4組試件的設(shè)計參數(shù)見表2。試驗加載圖見圖10。

初始偏心e0根據(jù)每個試件在循環(huán)加載階段的應(yīng)變片的數(shù)據(jù)計算得到。分別計算每個試件的e0絕對值，算得平均值為l/2 500，該值包含了試件初彎曲和荷載初偏心的共同影響。因初彎曲和荷載初偏心都很小，將該值作為等效初偏心來考慮。

A、B、C、D 4組試件中，較為顯著的缺陷是直徑為20～30 mm的木節(jié)。在用CDC法計算時，分段的長度和單元的尺寸也在此范圍內(nèi)。針對這類較大的缺陷，對4組試件進行統(tǒng)計，得出每組試件出現(xiàn)木節(jié)的平均概率，將其作為每組試件的木節(jié)率代入模型進行計算。

將每種長細比桿件計算30次，然后取平均值。將每種長細比下穩(wěn)定系數(shù)的數(shù)值計算結(jié)果的平均值與試驗結(jié)果的平均值進行比較（見表3）。從表3可以看出，用CDC法計算的穩(wěn)定系數(shù)φ與試驗得到的穩(wěn)定系數(shù)φ很接近。其中B、C、D組差值很小，在2%左右，A組相對較大，但都沒超過8%。由于木材的力學(xué)性能變異性較大，試驗獲得的各組試件的穩(wěn)定承載力的變異系數(shù)在7%～11%，因此，8%以內(nèi)的偏差算合理的范圍。

4結(jié)論

用CDC法對軸心受壓膠合木柱的穩(wěn)定承載力進行了數(shù)值分析，計算了木節(jié)率分別為2%、6%和9%的穩(wěn)定系數(shù)φ，并將數(shù)值計算結(jié)果和試驗結(jié)果進行了對比，得出以下結(jié)論：

1）在木材的初始缺陷中，木節(jié)是影響膠合木穩(wěn)定承載力的重要因素。在長細比較大時，考慮木節(jié)與不考慮木節(jié)的穩(wěn)定系數(shù)φ的偏差與木節(jié)率大致相等。對于短柱和長柱，木節(jié)對穩(wěn)定承載力的影響相對較大；對于中等長度的柱，木節(jié)對穩(wěn)定承載力的影響較小。

2）穩(wěn)定系數(shù)的數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果很接近，說明CDC法的計算模擬效果較好，計算數(shù)據(jù)較可靠。因此，后期可用此模型分析其他強度等級、其他截面形式軸心受壓膠合木柱的穩(wěn)定承載力，還可以用于壓彎構(gòu)件穩(wěn)定承載力的計算。

3）CDC法作為穩(wěn)定計算的重要方法，已在鋼結(jié)構(gòu)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。通過分析可以看出，將其運用于木結(jié)構(gòu)也是一種計算精度較高的方法。

參考文獻：

[1] 膠合木結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范： GB/T 50708—2012 [S]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社，2012.

Technical code of glued laminate timber structures： GB/T 507082012 [S]. Beijing： China Architecture & Building Press， 2012. （in Chinese）

[2] National Design Specification for Wood Construction： ANSI/AF & PA NDS2012 [S]. American Forest & Paper Association， 2012.

[3] MALHOTRA S K. A rational approach to the design of solid timber columns [R]. Applications of Solid Mechanics， Study No7， University of Wateloo， Ontario， Canada， 1972： 311324.

[4] ZAHN J J. Design of wood members under combined load [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 1986， 112（9）： 21092125.

[5] ZAHN J J. Reexamination of the Ylinen and other column equations [J]. Journal of Structural Engineering， ASCE， 1991， 118（10）： 27162728.

[6] Engineering Design in Wood： CSA O8609 [S]. Canadian Standards Association， 2010.

[7] NEUBAUER L W. A realistic and continuous wood column formula [J]. Forest Products Journal， 1973， 23（3）： 3844.

[8] JOHNS K C. A continuous design formula for timber columns [J]. Canada Journal of Civil Engineering， 1991， 18： 617623.

[9] 王永華，李開禧.用CDC法計算變軸力桿件的臨界力[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報， 2002， 24（3）： 4346，52.

WANG Y H， LI K X. The critical load of variedaxialforce beamcolumn calculated by CDC method [J]. Journal of Chongqing Jianzhu University， 2002， 24（3）： 4346， 52.（in Chinese）

[10] 余洋，李開禧.不等端彎矩作用下薄壁梁臨界彎矩的計算分析[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報，2004， 26（6）： 4043，48.

YU Y， LI K X. Calculation and analysis on critical moment of thinwalled beams under unequal end moment [J]. Journal of Chongqing Jianzhu University， 2004， 26（6）： 4043，48.（in Chinese）

[11] 崔佳，諶紅榮，龍莉萍.制作及安裝誤差對冷彎薄壁C型鋼軸心壓桿承載力的影響[J].工業(yè)建筑，2006，36（7）：7983.

CUI J， CHEN H R， LONG L P. The effect of facture and fixing error on bearing capacity of coldformed thinwalled C steel column [J]. Industrial Construction， 2006， 36（7）： 7983.（in Chinese）

[12] 鐘永， 任海青， 婁萬里. 木節(jié)對規(guī)格材抗彎強度影響的試驗研究[J]. 建筑材料學(xué)報， 2012， 15（16）： 875878.

ZHONG Y， REN H Q， LOU W L. Experimental research on the effects of knot on the bending strength of dimension lumber [J]. Journal of Building Materials， 2012， 15（16）： 875878.（in Chinese）

[13] BAO V， ARRIAGA F， SOILN A， et al. Prediction of bending load capacity of timber beams using a finite element method simulation of knots and grain deviation [J]. Biosystems Engineering， 2011， 109： 241249.

[14] PABLO G， JUAN O. The utility of lowcost photogrammetry for stiffness analysis and finiteelement validation of wood with knots in bending [J]. Biosystems Engineering， 2013， 114： 8696.

[15] 蘇學(xué)良，王振家.木節(jié)對板材抗拉強度影響的研究[J].哈爾濱建筑工程學(xué)院學(xué)報， 1986（3）： 1628.

SU X L， WANG Z J. Study of the effect of knots on tensile strength of lumber [J]. Journal of Haerbing Construction Engineering College， 1986（3）： 1628. （in Chinese）

[16] CHEN W F. 梁柱分析與設(shè)計[M].北京：人民交通出版社，1997.

CHEN W F. Beam column analysis and design [M]. Beijing： People's Communications Press， 1997. （in Chinese）

[17] 潘景龍，祝恩淳. 木結(jié)構(gòu)設(shè)計原理[M]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社， 2009.

PAN J L，ZHU E C. Design principles of timber structures [M]. Beijing： China Architecture and Building Press， 2009： 9. （in Chinese）

[18] 周波.花旗松膠合木軸心受壓柱穩(wěn)定承載力試驗及研究[D].重慶：重慶大學(xué)， 2016.

ZHOU B. Experimental research on stability bearing capacity of DouglasFir glulam axial compressive column [D]. Chongqing： Chongqing University， 2016. （in Chinese）

（編輯胡英奎）