周會(huì)會(huì)

廣東海洋大學(xué) 理學(xué)院,廣東 湛江 524088

倒向隨機(jī)微分超前方程適應(yīng)解的穩(wěn)定性

周會(huì)會(huì)

廣東海洋大學(xué) 理學(xué)院,廣東 湛江 524088

本文研究了倒向隨機(jī)微分超前方程（超前BSDE）適應(yīng)解的穩(wěn)定性問題，從理論上證明了在Lipschitz條件下超前BSDE的適應(yīng)解具有穩(wěn)定性。

倒向隨機(jī)微分超前方程;適應(yīng)解;穩(wěn)定性

1 引言

Pardoux和Peng[1]引入了非線性倒向隨機(jī)微分方程（BSDE），并證明了在Lipschitz條件下非線性BSDE適應(yīng)解的存在唯一性。BSDE在隨機(jī)控制、偏微分方程、數(shù)理金融、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，吸引了眾多學(xué)者對(duì)其研究[2-6]。

Peng和Yang[7]引入了一類新的倒向隨機(jī)微分方程，即倒向隨機(jī)微分超前方程（超前BSDE），形式如下：

其中δ（·）和ξ（·）是定義于[0，T]上取值于R+上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)且滿足下列條件(1)和(2)，

(1)存在常數(shù)K≧0K≥0，使得?S∈[0,T]，有

(2)存在常數(shù)L≧0L≥0，使得?t∈[0,T]及非負(fù)可積函數(shù)g(·)，有

并證明了在Lipschitz條件下超前BSDE適應(yīng)解的存在唯一性，參見引理1。

令(Ω,F,P)表示完備的概率空間，假設(shè)(W(t))t∈[0,T]是概率空間(Ω,F,P)中的d維布朗運(yùn)動(dòng)，{Ft}t∈[0,T]是由W產(chǎn)生的自然代數(shù)流。文中用到下面的概率空間，L2(Ft;Rd)表示Rd值的Ft-可測(cè)的隨機(jī)變量且滿足表示Rd值的Ft-適應(yīng)的隨機(jī)過程且滿足表示中的連續(xù)過程且滿足

引理1[7]設(shè) f滿足(H1)和(H2)，δ、ζ滿足(1)和(2)，則對(duì)任意給定的終端條件超 前 BSDE(1)有 唯 一 解 ， 即 存 在 唯 一 一 對(duì) F-適 應(yīng) 過 程t滿足方程(1)。

2 超前BSDE適應(yīng)解的穩(wěn)定性

Hu和Peng[8]中給出了BSDE適應(yīng)解的穩(wěn)定性定理，考慮到超前BSDE存在唯一適應(yīng)解，下面來討論超前BSDE適應(yīng)解的穩(wěn)定性。

考慮下面具有參數(shù)ε≥0的超前BSDEs，

當(dāng)ε→0時(shí)，我們做如下假設(shè)，

定理1假設(shè)超前BSDE滿足(H3)，(H4)和(H5)，我們有

兩邊平方并取期望可得

從而由Gronwall不等式，可得

又由于方程(2)滿足(H3)，(H4)和(H5)，從而Cε(t)在0≤t≤T上關(guān)于ε是一致有界的，因此特別地，當(dāng)ε→0時(shí)，然后用同樣的方法可證明在區(qū)間［T - 2δ,T -δ］，［T - 3δ,T - 2δ ］,…上結(jié)果亦成立。

3 結(jié)論

考慮到具有Lipschitz條件的超前BSDE存在唯一適應(yīng)解，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了超前BSDE適應(yīng)解的穩(wěn)定性問題，從理論上得到了超前BSDE的適應(yīng)解具有穩(wěn)定性，對(duì)超前BSDE有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

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Stability of Adaptive Solutions for BackwardStochastic Differential Equations

ZHOU Hui-hui
College of Science/Guangdong Ocean University,Zhanjiang 524088,China

This paper focuses on the stability of adaptive solutions for backward stochastic differential anticipated equations (advanced BSDE).It is proved theoretically that the adaptive solutions of anticipated BSDE are stable under Lipschitz conditions.

Anticipated backward stochastic differential equations;adapted solutions;stability

O211.6

:A

:1000-2324(2017)03-0456-03

2015-05-15

:2015-09-06

廣東省高校創(chuàng)新強(qiáng)校工程(2014KQNCX080)

周會(huì)會(huì)(1984-),女,碩士,講師.主要從事金融數(shù)學(xué)、倒向隨機(jī)微分方程的研究.E-mail:huihui0325@126.com