文︳張新春

非十進(jìn)位值制

文︳張新春

選擇十進(jìn)制，顯然與人類長有10個手指頭有關(guān)。這一點亞里士多德早就注意到了。在《問題集》XV卷里，亞里士多德給出了人類采用十進(jìn)制的各種可能的解釋。其中有的與畢達(dá)哥拉斯有關(guān)，畢氏學(xué)派認(rèn)為10是一個完美的數(shù)，并給它披上神秘的外衣。首先，10是最小的4種類型的數(shù)之和：1+2+3+4＝10，其中1非素數(shù)也非合數(shù)，2是偶素數(shù)，3是奇素數(shù)，4是合數(shù)。另一種解釋是1代表點，2代表線（兩點確定一條直線），3代表面，4代表體……。最后，亞里士多德指出：是否因為每個人都有10個手指？事實上，前面幾種解釋都難以站住腳。

其實，在位值制記數(shù)法中，以哪個數(shù)為基并不是本質(zhì)問題。因此，除了十進(jìn)位值制記數(shù)法外，還有非十進(jìn)位值制記數(shù)法。

以下一段摘自丹齊克的《數(shù)，科學(xué)的語言》（上海教育出版社）。

設(shè)想：要是人類沒有屈伸自如的手指，而只有兩只“不分關(guān)節(jié)”的禿拳，整個文化史會成個什么樣子？這是一個有趣的問題。在這種情形之下，假如最終也發(fā)展出某種記數(shù)法的話，它很可能是二進(jìn)制的。

人類采用十進(jìn)制即是一種生理上的湊巧。如果相信從一切事物里都可以看出上帝的匠心，就不得不承認(rèn)上帝是一位蹩腳的數(shù)學(xué)家。因為十進(jìn)制的基底除了生理上的優(yōu)點外，本身沒有多少可以稱道之處。幾乎一切其他的基底，除了9以外，都和它一樣高明，也許還強(qiáng)一些。

老實說，如果讓一群專家來選擇基底的話，我們也許會看到實用家和數(shù)學(xué)家之間的爭論。實用家堅持要用有最多因數(shù)的數(shù)，如12為基底；而數(shù)學(xué)家則要用質(zhì)數(shù)，如7或11為基底。事實上，18世紀(jì)后期的大博物學(xué)家布封曾經(jīng)提議舉世公用十二進(jìn)制。他指出：12有4個除數(shù)，而10只有2個。他堅持說，正是由于我們的十進(jìn)制，世世代代以來，人們都感到極為不便，所以雖然10是舉世公用的基底，而在大多數(shù)的度量衡中，都有以12為基底的輔助單位。

另一方面，大數(shù)學(xué)家拉格朗日宣稱：用質(zhì)數(shù)作基底有絕對的好處。他指出：用了質(zhì)數(shù)基底，每個整分?jǐn)?shù)就都不能化簡，因此表示該數(shù)的方法就只有一種。在我們現(xiàn)在的命位記數(shù)法中，譬如0.36，代表著許許多多個分?jǐn)?shù)：這種曖昧不明之處就大大減少了。

不管我們委托選擇基底的賢人們決定采用質(zhì)數(shù)還是合數(shù)作基底，我們敢肯定，10甚至是根本不會被考慮的，因為它既非質(zhì)數(shù)，又不含足夠多的因數(shù)。

在非十進(jìn)位值制中，最有特點的應(yīng)該是二進(jìn)制。相對于十進(jìn)制需要用10個數(shù)碼來說，二進(jìn)制需要的數(shù)碼少得多，只需0和1兩個。比如，十進(jìn)制的6用二進(jìn)制表示就是1102，其中的下標(biāo)2即表明這個數(shù)是二進(jìn)制，從而區(qū)別于十進(jìn)制的110。最高位上的1表示為1個22，即1個4（若按十進(jìn)制的說法，應(yīng)該把這個數(shù)位叫“四位”）。而右起第二位（應(yīng)該叫“二位”）上的1表示為1個21。右起第一位（還叫“個位”）的記數(shù)單位為20。一般地，任意一個大于0的自然數(shù)N都可以表示為：

其中，a0，a1，a2，…，ak∈{0，1}且ak≠0并簡記為下標(biāo)2表示為二進(jìn)制。

除了使用符號少外，二進(jìn)制的計算法則也非常簡單。二進(jìn)制的加法，就是“0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10”這四條規(guī)則。我們可以把這幾條規(guī)則列成一個表：

+ 0 1 0 0 1 1 1 10

在此，我們不妨考慮一下，對于十進(jìn)制的加法而言，類似的表應(yīng)該是什么樣的。這四條規(guī)則還可以簡化為“0與任何數(shù)相加得這個數(shù)本身”和“1+1=10”。相對于十進(jìn)制的九九表，二進(jìn)制乘法表可以說是一一表，因為只有一句“一一得一”。有了這一條，再加上“0與任何數(shù)相乘得0”以及我們熟悉的乘法運算律，就可以進(jìn)行任意兩數(shù)的乘法運算了。比如，計算5×6，用二進(jìn)制計算的過程如右圖所示。

這里確實只用了“一一得一”這一句口訣。

正因為使用符號少，運算規(guī)則簡單，二進(jìn)制記數(shù)法在計算機(jī)中普遍使用。使用二進(jìn)制必須付出的一個代價是：一個數(shù)寫出來很長！比如，一千零九十三，用十進(jìn)制記為1093，而用二進(jìn)制則要記成10001000101。人類愿意在小時候多學(xué)幾個符號，多記幾句口訣，也不愿意把數(shù)寫得這么長。而計算機(jī)則恰好相反：一個符號就需要用一種物理狀態(tài)表示，找到10種穩(wěn)定的物理狀態(tài)畢竟太難，而有兩種穩(wěn)定狀態(tài)的東西就多了，比如開關(guān)的斷開與閉合、電位的高與低、晶體管的導(dǎo)通與截止等，都可分別用0與1表示。簡單的計算規(guī)則對計算機(jī)來說也是非常重要的。而計算機(jī)恰恰不在乎多用幾個位置記錄一個數(shù)，于是數(shù)被記成很長對它來說影響不大。

從而有：105=11010012。

二進(jìn)制數(shù)與偉大的萊布尼茨密切相關(guān)。萊布尼茨是與牛頓分享微積分發(fā)明權(quán)的數(shù)學(xué)家。與牛頓不同的是，他是一位“樣樣皆通的大師”，“可以說萊布尼茨不止活了一生，而是活了好幾世。他作為一個外交官、歷史學(xué)家、哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，在每一個領(lǐng)域中都完成了足夠普通人干一輩子的事情”。（[美]E·T·貝爾，數(shù)學(xué)大師，上海科技教育出版社，2004）用拉普拉斯的話來說，“萊布尼茨在他的二進(jìn)位算術(shù)中看到了宇宙創(chuàng)始的形象。他想象1代表上帝，而0代表虛無，上帝從虛無中創(chuàng)造出所有的實物，恰如在他的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中用1和0表示了所有的數(shù)”。

數(shù)學(xué)教育的真功夫是對數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的把握，唯此才能成就好的數(shù)學(xué)課堂。湖南數(shù)學(xué)教師的老朋友，《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號“與數(shù)學(xué)老師談心”，請關(guān)注。