牟小燕

一、什么是數(shù)形結(jié)合？

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要思想方法之一。它既具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。數(shù)形結(jié)合思想----就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合。贊科夫說：“教會學(xué)生思考，這對學(xué)生來說，是一生中最有價值的本錢”，而要教會學(xué)生思考，實質(zhì)是要教會學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想方法。常用的數(shù)學(xué)思想方法有很多，而數(shù)形結(jié)合思想具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想。將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，具有直觀性強(qiáng)，易理解、易接受的特點。將直觀圖形數(shù)量化，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算，常會降低難度，并且使知識的理解更加深刻明了。

二、數(shù)形結(jié)合有哪些功能？

1.有利于記憶

由于數(shù)學(xué)語言比較抽象，而圖形語言則比較形象。利用圖形語言進(jìn)行記憶速度快，記得牢。笛卡爾曾說：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了。因此，用這種方式來表達(dá)事物是非常有益的。”同時，由于圖象是“形象”的，語言是“抽象”的，因此對圖形的記憶往往保持得比較牢固。

2.有助于思考

用圖進(jìn)行思維可以說是數(shù)學(xué)家的思維特色。往往一個簡單的圖象就能表達(dá)復(fù)雜的思想，因此圖象語言有助于數(shù)學(xué)思維的表達(dá)。在數(shù)學(xué)中，有時看到學(xué)生遇到難題百思不得其解時，如能畫個草圖稍加點拔，學(xué)生往往思路大開。究其原因就是充分發(fā)揮了圖象語言的優(yōu)越性。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想？

1.強(qiáng)化意識，體會作用

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”數(shù)形結(jié)合思想方法能巧妙地實現(xiàn)數(shù)與形之間的互換，使得看似無法解決的問題簡單化、明朗化，讓人有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的重要性決定了它在平時的教學(xué)中也應(yīng)該受到重視。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要有意識地溝通數(shù)、形之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生逐步樹立起數(shù)形相結(jié)合的觀點，提高主動運(yùn)用的意識，并使這一觀點扎根到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，成為運(yùn)用自如的思想觀念和思維工具，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)修養(yǎng)與解題能力。

【案例】

學(xué)生學(xué)完長方形和正方形的周長后，有一題是這樣的：用4個邊長為2厘米的正方形拼成一個長方形或正方形，周長最大是多少？最小是多少 ？

面對這樣一個問題，好多學(xué)生都感到很茫然，不去作進(jìn)一步的思考，便會錯誤的這樣列式：2×4×4=32（㎝）。因為學(xué)生的思維大多都是停留在對表面意思的理解：一個正方形的周長是2×4=8（㎝），那么4個小正方形拼在一起周長不就是8×4=32（㎝）了嗎？他們往往沒有去作深層次的思考：小正方形拼在一起后有些邊長被重合在一起了，計算時單純地用1個小正方形的周長再乘4，有些邊長重復(fù)計算，導(dǎo)致新拼成的圖形周長不準(zhǔn)確。那么，這個問題要去思考到底是哪些邊長會重合在一起，對于中等及以下的學(xué)生來說，憑借頭腦憑空想象是有相當(dāng)大的難度的？如何解決這個問題？其實，無需老師多言，讓學(xué)生同桌合作，自己動手拼一拼、擺一擺，再認(rèn)真仔細(xì)的觀察，答案就顯而易見了。學(xué)生通過操作，很快就得出了兩種不同的擺法：

再通過計算，得出了兩種不同的結(jié)果：（8+2）×2=20（㎝） 4×4=16（㎝），問題便迎刃而解。

在這樣的探究過程中，教師把“數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法”有意識的滲透在學(xué)生獲得知識和解決問題的過程中，充分利用直觀圖形，把抽象內(nèi)容視覺化、具體化、形象化，化深奧為淺顯，讓學(xué)生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，看到知識背后負(fù)載的方法、蘊(yùn)涵的思想，那么，學(xué)生所掌握的知識才是鮮活的，可遷移的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)才能得到質(zhì)的飛躍。

2.擴(kuò)大范圍，廣泛應(yīng)用

要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法，首先教師要切實掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，以數(shù)形相結(jié)合的觀點鉆研教材，努力挖掘教材中可以進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法滲透的各種因素，都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法滲透?！皵?shù)形結(jié)合思想方法”包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域教學(xué)中，用得最多的是前者，我們可以把數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法滲透在教學(xué)中的每一內(nèi)容。以數(shù)與形相結(jié)合的原則進(jìn)行教學(xué)。

（1）數(shù)的認(rèn)識方面。例如在教學(xué)《1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》這節(jié)課教學(xué)中利用小立方體有效的幫助學(xué)生構(gòu)建知識，以及初步感知十進(jìn)制的計數(shù)方法。數(shù)數(shù)的難點就是接近整百的數(shù)，學(xué)生無法感受抽象的數(shù)數(shù)之間滿10的變化，那么我們就將數(shù)數(shù)的抽象思考方式放大，將思維暴露出來，讓學(xué)生通過觀察小方塊的變化，一對一的數(shù)數(shù)，在數(shù)到9變成10時，通過演示讓學(xué)生理解10的由來同時強(qiáng)化十進(jìn)制關(guān)系。同時通過 “形”來感知數(shù)的多少，既形象又深刻，培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)感。

（2）數(shù)的運(yùn)算方面。借助“形”來幫助學(xué)生理解非常重要，如在教學(xué)退位減法時利用小棒等實物或圖形來理解算理，幫助學(xué)生建構(gòu)“破十法”的原理；教學(xué)進(jìn)位加法時利用小棒等實物或圖形，幫助學(xué)生建構(gòu)“滿十進(jìn)一”的算理；教學(xué)中我們還可以豐富其內(nèi)容，如：被減數(shù)中間有0的減法，可以利用計數(shù)器有效的突破難點等等。

（3）問題解決方面。借助數(shù)形結(jié)合能化抽象為形象，幫助學(xué)生建立直觀模型，讓數(shù)量關(guān)系更形象、更清晰。

【案例】公雞有50只，比母雞少15只，母雞有幾只？

這類“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）多少的數(shù)是多少的問題”學(xué)生往往憑借經(jīng)驗“多加少減”胡亂答題，而不去真正的理解題意。單單憑借教師枯燥乏味的去給學(xué)生講解兩個量之間的多少關(guān)系，聽得學(xué)生云里霧里，最終弄不清楚到底哪個量多，還不如換一種思維方式，把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為直截了當(dāng)?shù)膱D形——線段圖，從線段圖中很直觀地看出母雞的只數(shù)由兩部分組成：與公雞同樣多的部分和多出來的部分，列式 50+15=65（只）整個過程數(shù)形結(jié)合，在直觀圖示的導(dǎo)引下，使問題化難為易，化抽象為具體，學(xué)生通過看圖便一目了然了。與此類問題相類似的還有這樣一種問題：

果園里有150棵蘋果樹，梨樹的棵樹比蘋果樹的2倍少50棵，梨樹有多少棵？

果園里有150棵梨樹，梨樹的棵樹比蘋果樹的2倍少50棵，蘋果樹有多少棵？

這兩個相似的問題不仔細(xì)辨別，認(rèn)為兩個題目是一樣的，而實際上兩個問題由于“1倍量”及倍數(shù)關(guān)系的不同，導(dǎo)致兩個問題的解題思路不同。恰好也就是這樣的問題，學(xué)生很容易把兩個問題搞混淆，原因是什么？原因就是學(xué)生不能正確根據(jù)文字描述的題意理解清楚，如果能把這兩個問題的文字描述轉(zhuǎn)化為線段圖來幫助理解，學(xué)生就很容易根據(jù)圖意正確列出算式了。

（4）常見的量方面。例如在教學(xué)《24時記時法》的教學(xué)中可以利用鐘表上的刻度，1個大格代表1小時，24小時就是鐘面上的時針走了2圈，同時形象的理解了0時和24時在同一點上，讓具體的“形”與抽象的數(shù)相輔相成，從而建立起感性認(rèn)識。

（5）式與方程方面。例如，等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，都是以天平秤為載體，通過以加、減、乘、除等方式不斷的改變天平秤兩邊的數(shù)量，從而引導(dǎo)學(xué)生得出“等式的兩邊同時加或減一個相同的數(shù)，結(jié)果仍然是等式；等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），結(jié)果仍然是等式”的等式基本性質(zhì)；在方程意義的教學(xué)中，同樣也是利用天平來幫助學(xué)生建立方程存在的等量關(guān)系，從而認(rèn)識什么是方程。

（6）幾何方面的運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應(yīng)用就更為普遍了。比如：“繩子圈羊”活動、“玩泥巴、捏泥人活動”、“切蘿卜活動”等等，以及平時在教學(xué)中還用到的許多類似的方法，都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。目的就是使題意更加形象、直觀，便于學(xué)生更好的理解。

四、數(shù)形結(jié)合有哪些方法？

數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科里最常用的一種方法，它包含了轉(zhuǎn)化、配方、分類討論、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法，可見數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)中極具綜合性的思想方法。在平常的教學(xué)活動中讓學(xué)生學(xué)到數(shù)形結(jié)合的方法。教師可以采用多種方式精心組織學(xué)生訓(xùn)練，讓學(xué)生置身于具體的教學(xué)過程，才能在教師的引導(dǎo)下逐步領(lǐng)悟，理解和掌握。

1.運(yùn)用或聯(lián)想實物。

2.畫圖。畫圖的形式很多，包括畫線段圖、畫圖形、畫示意圖、畫面積圖、畫點子圖、集合圖等等。

3.利用數(shù)軸。數(shù)軸是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的一個重要方法。利用數(shù)軸，找到實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系，讓數(shù)與數(shù)軸這個“形”，緊密融合在一起。

例如，教學(xué)《小數(shù)大小比較》時，由于學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容之前只是初步的認(rèn)識了小數(shù)，還沒有深入的學(xué)習(xí)小數(shù)的意義，因此學(xué)生在總結(jié)比較的方法時用抽象的數(shù)學(xué)語言比較困難。當(dāng)文字的表述有困難時，利用數(shù)軸能很好的解決這一問題。因為對于每一個小數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點與它對應(yīng)，因此，兩個小數(shù)的大小比較，是通過這兩個小數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置關(guān)系進(jìn)行的。借助數(shù)軸讓學(xué)生理解小數(shù)的大小，知道在數(shù)軸上越往后這個數(shù)越大，越往前這個數(shù)就越小。

再比如， 0.4 > （ ） > （ ） > （ ） > （ ）>0.3，一個這樣的練習(xí)我們應(yīng)該如何去引導(dǎo)學(xué)生呢？

同樣可以借助數(shù)軸，在數(shù)軸上找出小于0.4大于0.3的小數(shù)以及能找出幾個這樣的小數(shù)。這個練習(xí)借助數(shù)軸，讓抽象的數(shù)學(xué)就變得具體、形象了。

4.幾何模型。例如，教學(xué)“1-1/2-1/4-1/8-1/16=”，對于小學(xué)生來說由于邏輯推理有一定的難度，一批中下學(xué)生不容易明白，如果采用幾何模型進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生都輕松的掌握了。將上面的算式構(gòu)造成下面的幾何模型圖，把一個大正方形看成單位“1”，一次又一次地進(jìn)行平均分，通過觀察幾何模型圖很容易看出1-1/2-1/4-1/8-1/16=？，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法可以把代數(shù)與幾何溝通了，使形直觀地反映數(shù)內(nèi)在的聯(lián)系，拓寬思路，把復(fù)雜問題簡單化，從而順利且快速的解決問題，使數(shù)學(xué)知識變的更有生命力，讓人回味無窮。我們提倡多種方式來滲透數(shù)形結(jié)合思想，要培養(yǎng)學(xué)生胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓學(xué)生的思維視野。

在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)過程中，應(yīng)該慎重考慮“先數(shù)后形”還是“先形后數(shù)” 兩者呈現(xiàn)的結(jié)果是不一樣的，要把握好。數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)生思維更形象，數(shù)形結(jié)合思想的方法不是萬能妙藥，提高學(xué)生的抽象邏輯思維能力也是非常重要的，兩者之間應(yīng)平衡。

數(shù)學(xué)課堂上有許多抽象的知識，學(xué)生很難憑空建立感性認(rèn)識，借助數(shù)形結(jié)合，便可以為數(shù)學(xué)課堂插上隱形的翅膀，幫助學(xué)生遨游在數(shù)學(xué)王國！