劉長建

(信息工程大學地理空間信息學院，河南 鄭州 450052)

關于誤差橢圓教學內容設計的新思考

劉長建

(信息工程大學地理空間信息學院，河南 鄭州 450052)

誤差橢圓既具有重要的實用價值又具有重要的理論基礎意義。近些年來，誤差橢圓的應用范圍不斷拓展，該部分內容在誤差理論與數據處理課程中更加值得重視。為適應新的發(fā)展，本文對誤差橢圓教學內容進行了新的思考與設計，從點位精度與誤差橢圓、誤差橢圓的概率意義、參數向量的假設檢驗3大部分進行了闡述。

誤差橢圓；教學內容設計；新思考

誤差橢圓一直是誤差理論與數據處理教材中比較獨立的章節(jié)[1-3]。傳統(tǒng)的控制網優(yōu)化設計與質量分析中，常常需要關注控制點的點位精度和某些特殊方向的點位精度，這一應用背景是教材中引入誤差橢圓內容的一般出發(fā)點，基本教學內容如圖1所示。

圖1 誤差橢圓基本教學內容

近些年來，誤差橢圓除繼續(xù)用于傳統(tǒng)控制網優(yōu)化設計與質量分析外[4]，還用于GIS基本幾何要素置信域與可視化研究[5]、衛(wèi)星導航系統(tǒng)精度評估[6]、飛機導航性能實時評估與監(jiān)視[7]、戰(zhàn)場目標位置不確定性研究與可視化[8]、雷達定位精度分析和圖形描述[9]、導彈落點誤差分析[10]等多種場合，維數也拓展到三維甚至更高維。

誤差橢圓既具有重要的實用價值，又具有理論基礎意義。為適應新的發(fā)展，對誤差橢圓教學內容進行了新的設計，分為點位精度與誤差橢圓、誤差橢圓的概率意義、參數向量的假設檢驗3大部分，下面分別加以闡述。

1 點位精度與誤差橢圓

1.1 點位精度

主要內容可見文獻[1—3]，建議對點位方差的定義進行引申。點位方差的定義為

(1)

實際等價于

(2)

1.2 任意方向點位精度及其極值

為了便于向三維誤差橢球乃至超橢球過渡，建議采用條件極值法推導任意方向點位精度及其極值，以下給出具體內容。

(3)

其中

(4)

(5)

對式(3)應用誤差傳播律，可得

(6)

其中

(7)

以上兩式展開后即

(8)

(9)

圖2 任意方向α上的點位誤差

由式(5)可知，向量s代表了α方向，是待求的方向向量。s的分量為α方向與x軸、y軸夾角的余弦，因此有

sTs=1

(10)

在滿足此條件的前提下，求式(7)表示的quα的極值，可組成函數

式中，λ為未知聯系數。令

可得

(11)

左乘sT，得

(12)

式(12)表明，quα的極值就是聯系數λ。

可解得

λ為二重根。令

(13)

取

(14)

(15)

(16)

將解出的λ1、λ2回代到式(11)中，顧及式(5)，便可解得σu的最大值、最小值方向及它們的方向向量，即

(17)

(18)

(19)

(20)

另外，由式(17)、式(19)還可以得出

(21)

式(21)是關于α1、α2的另外一種求法，但角度的象限判斷比較麻煩。

以上就是按求條件極值的方法，推導任意方向點位精度極值的過程。要強調的是，向量s1、s2既是對應λ1、λ2的單位特征向量，又是使得任意方向點位精度取得最大值、最小值的方向向量。

另外，為討論需要，對矩陣

(22)

作一簡單分析。由線性代數可知，S為正交矩陣，且有

(23)

或

(24)

因s1、s2相互垂直，取α2=α1+90°并代入式(22)，S還可以表示為

(25)

以上關于推導過程的建議，進一步加強了線性代數在本課程中的應用，如式(23)形式的矩陣譜分解，在近代平差理論中經常遇到。

1.3 誤差橢圓及其方程

這部分通常先介紹誤差曲線，再引入誤差橢圓。建議：給出橢圓方程；規(guī)定長軸方向角的取值范圍。

1.3.1 橢圓方程

在圖3所示的ξPη坐標系中，誤差橢圓方程形式最為簡單，其標準形式為

(26)

圖3 誤差曲線與誤差橢圓

(27)

(28)

式中，S矩陣即式(25)表示的S。

考慮到式(24)，式(27)的左端還可以表示為

(29)

因此，xoy坐標系中誤差橢圓方程為

(30)

類似的，誤差橢圓也可以擴展到三維，即誤差橢球。

1.3.2 長軸方向角的規(guī)定

高斯平面坐標由x軸方向到y(tǒng)軸方向的旋轉構成左手坐標系，圖3中ξ軸(長軸)方向到η軸(短軸)方向的旋轉最好也采用左手坐標系?？紤]到任意方向點位方差對稱于P點，建議將α1限制在小于180°的范圍內，短軸方向取為α1+90°，這樣在利用式(17)求長軸方向時就規(guī)避了多值性問題，且不影響實際應用。

此外，由于數字化程度的提高，誤差曲線的繪制不再是問題，建議將從誤差橢圓量取有關量中誤差的內容加以弱化，僅簡要介紹做法。

以上建議體現了高等數學、線性代數相關內容在專業(yè)中的具體化應用，特別是對式(30)二次型表示的橢圓方程的理解，同時，也通過式(28)引入了坐標變換這一重要的基本知識點。

1.4 相對誤差橢圓

這部分內容建議弱化從相對誤差橢圓量取有關量中誤差的內容，僅簡要介紹做法。

2 誤差橢圓的概率意義

2.1 置信橢圓

誤差橢圓是圖4中xoy面上同族的置信橢圓之一，平差點落入置信橢圓內的概率推導，可見文獻[1—2]。在得出概率計算式

(31)

(32)

圖4 二維正態(tài)分布密度曲面與置信橢圓

2.2 圓概率誤差

在導航、軍事等應用領域，經常使用圓概率誤差(circular error probable,CEP)[13]。所謂圓概率誤差，是以真實位置為圓心，隨機點落入其中概率為β%的圓的半徑，記為Rβ，常用的有R50、R90、R95等。

采用ξPη坐標系，圓概率誤差可以描述為

(33)

類似的，圓概率誤差的概念也可以擴展到三維，即球概率誤差。

3 參數向量的假設檢驗

有了前述內容作基礎，可以很容易理解式(30)的擴展含義。以間接平差為例，t維參數的超橢球為

(34)

點位落入超橢球內的概率表達式為

(35)

(36)

(37)

(38)

4 結 語

誤差橢圓既具有重要的實用價值又具有重要的理論基礎意義，是誤差理論與數據處理課程的重點和難點之一。近年來，誤差橢圓的應用范圍仍在不斷拓展，該部分內容在誤差理論與數據處理課程中更加應該受到重視。

為適應新的發(fā)展，對誤差橢圓教學內容設計進行了新的思考，主要有：更加突出了誤差橢圓概率意義的講解；采用了更易于向三維乃至多維擴展的推導方法；加強了橢圓二次型方程與標準二次型方程的轉換與理解；引入了其他領域常用的圓概率誤差；對從圖上量取有關中誤差的講解進行了弱化；對誤差橢圓長軸方向角的規(guī)定給出了建議。從知識的系統(tǒng)性角度，新的設計更加注重了概率論、線性代數、高等數學等課程知識在本課程中的應用，同時也考慮了向近代平差內容的過渡及與其他專業(yè)課程知識點的聯系。

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New Thinking about the Design of Error Ellipse Teaching Contents

LIU Changjian

(School of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China)

Error ellipse is of important practical value and the theoretical basis of significance. In recent years, the application range of error ellipse is expanding, and the part in the error theory and data processing course is more worthy of attention. In order to adapt to the new development, new thinking on the error ellipse of teaching content and design are elaborated, from the positional accuracy and error ellipse, the meaning of the probability of error ellipse and the parameter vector of hypothesis test.

error ellipse; design of teaching contents; new thinking

劉長建.關于誤差橢圓教學內容設計的新思考[J].測繪通報，2017(5)：143-146.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0175.

2016-05-06

國家自然科學基金(41374041)

劉長建(1973—)，男，博士，副教授，主要從事誤差理論和數據處理研究。E-mail: chxycj@163.com

G64

A

0494-0911(2017)05-0143-04