熊峰，黃文韜,2

(1. 桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004； 2. 桂林航天工業(yè)學院理學部，廣西 桂林 541004)

兩類Liénard系統(tǒng)的小振幅極限環(huán)*

熊峰1，黃文韜1,2

(1. 桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004； 2. 桂林航天工業(yè)學院理學部，廣西 桂林 541004)

Liénard系統(tǒng)；奇點量；細焦點；極限環(huán)

Liénard 系統(tǒng)是微分方程中一類經(jīng)典的系統(tǒng)。Liénard方程最早被發(fā)現(xiàn)于20世紀20年代。1928年，法國數(shù)學家Liénard將其一般形式推廣總結(jié)出來，有如下二階微分方程形式：

(1)

它有幾類等價的微分方程組，其中一類有如下形式：

(2)

(3)

(4)

其中a2,a3,a4,a5,a6,a7,b3,b5,b6∈R,下面給出本文研究中需要的一些基礎(chǔ)知識。

考慮如下實多項式系統(tǒng)

引理1[9-10]

(5)

通過變換

(6)

系統(tǒng)(5)被轉(zhuǎn)化成下面的復系統(tǒng)

(7)

其中z,w,T是復變量，對于系統(tǒng)(7)可以逐項確定形式級數(shù)

(8)

(9)

(10)

定義1 引理1中的μm稱為系統(tǒng)(7)原點的第m個奇點量。若

則稱原點為系統(tǒng)的k階細奇點，如果所有的μk=0,則稱原點為(7)的中心。歸納文[3-5]等的結(jié)論有如下結(jié)果。

引理2 對系統(tǒng)(5)，其伴隨復系統(tǒng)(7)原點的奇點量μi(i=1,…,k)有k個獨立的參數(shù)θ=(θ1,…,θk),若θ=θ0時，系統(tǒng)(7)原點為k階細奇點(相應(yīng)地系統(tǒng)(5)的原點為k階細焦點)，且雅克比行列式滿足

則系統(tǒng)(5)在原點的充分小鄰域內(nèi)可擾動出k個小振幅極限環(huán)。

1 系統(tǒng)(3)的奇點量與極限環(huán)

通過變換(6)，系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為其伴隨復系統(tǒng)：

(11)

根據(jù)引理1的遞推公式，經(jīng)過仔細計算，得系統(tǒng)(11)原點的前九階奇點量如下：

其中

F1= 490a2+ 2 646a6-2 205b3-8 82a2b5+

F2= -8 575 + 6 174a2-3 430a2b3+

15 435b5+ 4 900a2b6-11 025b3b6-4 410a2b5b6+

F3= 27 783 + 2 450a2-11 025b3-

4 410a2b5-7 875b6-2 268a2b6+

F4=-1 323-350a2+210a2b5+108a2b6,

76 919 220b5+ 138 454 596b6+

F6= 112 185 067 078 287 + 81 668 445 324 984a2+

定理1 對于系統(tǒng)(3)或者系統(tǒng)(11)，原點均不是系統(tǒng)的中心。

證明 若原點是系統(tǒng)(11)的中心，則至少滿足μi=0(i=1,…,9)成立。用Mathematica軟件可算得μi的Groebner基，有

GroebnerBasis[(μ1,μ2,…,μ9),

從而得到μi(i=1,…,9)無公共實根，則μi不可能同時為0。證明完畢。

由奇點量表達式及定理1，經(jīng)過仔細計算，有：

定理2 系統(tǒng)(11)的原點是9階細奇點(相應(yīng)的系統(tǒng)(3)的原點是9階細焦點)當且僅當下列條件成立：

(12)

為了方便應(yīng)用，取條件(12)的一組近似解如下：a2=-8.687 902 695 280 310 386 372 535 561→ ←267 497 861 887 667 656 914 8…

a3=0

a4=-7.819 112 425 752 279 347 735 282 005 → ←140 748 075 698 900 891 223 4…

a5=-3.475 161 078 112 124 154 549 014 224 → ←506 999 144 755 067 062 765 9…

a6=2.609 695 557 098 913 111 090 399 849 → ←304 541 527 966 817 539 057 8…

(13)

b3=2.332 203 415 494 509 727 338 816 257 094→ ←152 243 605 177 452 566 5…

b5=0.765 518 605 288 184 783 012 543 178 560→ ←337 250 998 721 644 575 5…

b6=0.342 225 757 741 530 933 853 094 928 710→ ←726 629 724 412 789 848 47…

定理3 對于系統(tǒng)(3)，當系數(shù)滿足條件(12)時，通過微擾在原點鄰域可分支出九個極限環(huán)。

證明 由定理2知，原點是系統(tǒng)(3)的9階細焦點。將系統(tǒng)(11)中奇點量表達式與式(13)代入雅克比行列式有：

0.007 957 122 583 684 067 743 343 108→

←392 562 154 328 468 624i≠0

(14)

由引理2知，系統(tǒng)(3)在原點的充分小鄰域可分支出9個極限環(huán)。

2 系統(tǒng)(4)原點處的極限環(huán)

對復系統(tǒng)原點的奇點量進行計算，根據(jù)引理1，可算得復系統(tǒng)原點的前八階奇點量。

定理4 對于系統(tǒng)(4)的伴隨復系統(tǒng)，原點的前八階奇點量為：

其中

與前述一致的討論，我們有

定理5 系統(tǒng)(4)的伴隨復系統(tǒng)原點是8階細奇點(相應(yīng)的系統(tǒng)(4)是8階細焦點)，當且僅當下列條件成立：

(15)

為了方便應(yīng)用，取(15)式的一組近似解如下

a3=0,

a4=1.066 199 745 897 643 024 480 300 234→ ←879 325 174 247 617 416 339 2…

a5=0,

a6=2.499 999 999 999 999 999 999 999 999 → ←894 591 005 342 125 416 194…

a7=0.852 959 796 718 114 419 584 240 136→ ←842 496 399 959 665 416 154 5…

(16)

b3=3.059 062 112 534 832 064 433 729 022→ ←782 908 032 703 145 369 381 4…

b5=0.801 673 224 169 897 089 309 161 039→ ←794 232 564 336 279 331 615 5…

定理6 對于系統(tǒng)(4)，當系數(shù)滿足式(16)時，通過微擾在原點鄰域可分支出八個極限環(huán)。

證明 由定理5知當式(16)成立時，原點是系統(tǒng)(4)的8階細焦點，將式(16)以及定理5中的奇點量表達式代入雅克比行列式

0.007 957 122 583 684 067 743 343 102→

←619 368 852 012 419 584 579 936i≠0

(17)

由引理2知，系統(tǒng)(4)在原點鄰域可分支出8個極限環(huán)。

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Small amplitude limit cycles for two classes of Liénard systems

XIONGFeng1,HUANGWentao1,2

(1. School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China; 2. School of Science, Guilin University of Aerospace Technology, Guilin 541004, China)

Liénard system; singular point; fine focus; limit cycles

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.03.010

2016-08-05 基金項目：國家自然科學基金 (11261013，11361017)；廣西省自然科學基金重點項目(2016GXNSFDA380031)

熊峰(1990年生)，男；研究方向：微分方程定性理論及其應(yīng)用；E-mail:1073620114@qq.com

黃文韜(1966年生)，男；研究方向：微分方程定性理論及其應(yīng)用；E-mail: huangwentao@163.com

O

A

0529-6579(2017)03-0066-05