李 亞，趙文峰

(中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082)

多種方法計算水中薄板的固有振動頻率

李 亞，趙文峰

(中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082)

針對薄板在水中的振動，采用 Abaqus，Ansys Workbench，Virtual lab 等軟件進(jìn)行數(shù)值計算。幾種軟件在操作流程上基本一致，與實驗結(jié)果比較表明，各個軟件在計算前幾階模態(tài)頻率均十分接近。在高頻計算時，有些方法可能會存在一些局限性。文中方法可作為水下結(jié)構(gòu)聲輻射性能研究有力的手段。

薄板；固有頻率；聲固耦合

0 引 言

固體能夠貯存剪切和壓縮能量，所以會保持所有形式的波，即壓縮波、彎曲波、剪切波和扭轉(zhuǎn)波；流體只能貯存壓縮能量，所以它僅能維持壓縮波。緊鄰固體表面的壓力波動將在該表面上產(chǎn)生聲輻射載荷。如果流體介質(zhì)為空氣，那么聲輻射載荷通常非常之??；如果流體介質(zhì)為液體，那么聲輻射載荷可能變得很大，在流體和結(jié)構(gòu)之間會建立起流固耦合。

求解流固耦合問題涉及到結(jié)構(gòu)力學(xué)與流體力學(xué)兩大力學(xué)體系，難度很大。在當(dāng)今的國際學(xué)術(shù)界和工程界，這類流體-結(jié)構(gòu)-聲的耦合系統(tǒng)振動與聲的研究，仍然十分活躍。

由于固體形狀不規(guī)則、邊界約束復(fù)雜，一般采用有限元對耦合方程進(jìn)行求解。目前商用軟件應(yīng)用較為普遍，本文針對一個試驗測量結(jié)果，采用 3 種軟件進(jìn)行計算，從而為工程應(yīng)用提供一種參考。

1 水中模態(tài)法的一般表述

板在液體中振動時，流體介質(zhì)“阻擋”了彈性結(jié)構(gòu)的振動，增加了結(jié)構(gòu)的慣性質(zhì)量，另外，結(jié)構(gòu)振動的一部分能量泄漏到流體介質(zhì)中轉(zhuǎn)換成聲能量，產(chǎn)生聲輻射[1]。

1.1 結(jié)構(gòu)在水下時振動和聲的耦合

矩形板在簡支情況下無限介質(zhì)中的自由振動與聲[2]，可以采用模態(tài)疊加的方法研究，稍微復(fù)雜的板、邊界約束，可能尚且無法采用理論分析，但數(shù)值計算卻可行有效。

對于靜態(tài)流體介質(zhì)中聲波波動方程為：

其中： φ 為速度勢函數(shù)；v=(vx,vy,vz)=??φ 為速度。

在沒有外力時，彈性結(jié)構(gòu)體中密度為 ρ 的介質(zhì)微元的運(yùn)動方程為：

其中λ ，μ 為拉米（Lame）常數(shù)。任一向量可以表示成，這樣向量波動方程可分解為：

這樣成為了表示縱、橫波傳播的波動方程[3]。

彈性體與流體接觸的界面上滿足的條件是：切向應(yīng)力等于 0；法向應(yīng)力相等（連續(xù)）；法向位移相等（連續(xù)）。對于有限長的板，存在的波是流固耦合作用下結(jié)構(gòu)的固定（共振）頻率下的輻射聲。需要指出的是，在低于符合頻率時也會輻射聲。

在采用有限元辦法來求解時，首先要形成結(jié)構(gòu)的有限元方程，表達(dá)式為：

其中： M，C 及 K 分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{P}為介質(zhì)聲壓形成的脈動壓力。而在流體與物面上滿足[4]：

1.2 根據(jù)附加質(zhì)量的低頻振動頻率計算

Junger 分析了物體在水中的振動，指出如果一物體是前后緩慢地前后移動，流體幾乎不可壓縮，這里僅有局部前后區(qū)域的往復(fù)運(yùn)動[2]；如果運(yùn)動加快，流體的壓縮和稀疏就會變得明顯。

根據(jù)這個說法，可以先求出附加質(zhì)量，然后將附加質(zhì)量附在結(jié)構(gòu)上，再進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動頻率計算。

對于不可壓縮無旋流體，速度勢函數(shù) φ 滿足拉普拉斯方程為：對于一些規(guī)則物體的簡單運(yùn)動，可理論求解，復(fù)雜的可用數(shù)值求解。在獲得附加質(zhì)量后，將之均勻附在結(jié)構(gòu)表面節(jié)點(diǎn)上，然后進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力計算[5]。

2 計算模型介紹

薄板的尺寸：長度 20 mm，寬度 5.5 mm，高度373 mm；水域：長度 120 mm，寬度 33 mm，高度 400 mm。底面尺寸如圖 1 所示，模型示意圖如 2 所示，其中底面在 XOY 平面上，薄板在 XOY 平面的端面固定。

薄板參數(shù)：彈性模量為 210 GPa，密度為 7 850 kg/m3，泊松比為 0.3；水參數(shù)：密度為 998.2 kg/m3，聲速為：1 460 m/s[6]。

3 數(shù)值計算

對于上述計算模型，在不同軟件中進(jìn)行計算，為了與實驗結(jié)果對比，只取在 YOZ 平面的振動。

3.1 采用 Abaqus 計算

1）在 Abaqus 建模。其中板采用草圖直接拉伸形成。水域形成時，先用草圖拉伸形成，再用剪切拉伸，并且將水體按圖 3 所示剖分，以便將來將來繪制結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。

2）定義材料、截面屬性。截面屬性除了鋼板、水的之外，還要有聲學(xué)無限屬性，并將截面屬性分配到相應(yīng)部件。

3）裝配。將板和水體裝配在一起，并且設(shè)置板與水接觸的外表面，以及相應(yīng)的水的外表面。

4）繪制網(wǎng)格。在各個部件中分別繪制網(wǎng)格。板網(wǎng)格采用 3D Stress 類型，幾何階次選擇二階。

5）水的網(wǎng)格類型選擇 Acoustic，幾何階次選擇二階[7]。板的網(wǎng)格數(shù)為 240 個，水的網(wǎng)格數(shù)為 13 140 個。

6）設(shè)置分析步。過程類型為線性攝動，選擇頻率分析類型。輸出變量選擇應(yīng)力、位移/速度/加速度、聲。

7）進(jìn)入 Interaction 模塊。創(chuàng)建約束，約束類型為Tie，分別將板的外表面與水的外面表設(shè)為主表面和從表面，共設(shè) 5 對。形成聲阻抗面，表面為水的外表面，定義為無反射面，無反射類型為 Planar。

8）進(jìn)入 Load 模塊，設(shè)置邊界條件。在板的底端設(shè)置固定支撐。

9）結(jié)果處理。運(yùn)算結(jié)束后，頻率為 27.249、170.85、479.41，其中一階 Von Mises 應(yīng)力云圖如圖 4 所示。

3.2 采用 Ansys 計算

1）安裝 Ansys Workbench 的插件 ACT_Acoustics. wbex。

2）建立 Modal 分析項目。

3）建立流體單元的實體模型，其中薄板與水是分開的部件。

4）標(biāo)記流固耦合界面。薄板與水接觸的面是除底面之外的 5 個面，因此接觸面選此 5 個面，目標(biāo)物體選為水，接觸面是與薄板接觸的 5 個面。

5）網(wǎng)格劃分。由于網(wǎng)格難以使用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，所以這里采用四面體網(wǎng)格劃分。

6）計算設(shè)置。不設(shè)置阻尼，求解類型為程序控制；將薄板在 XOY 平面上的端面設(shè)為固定支撐；采用工具中的根據(jù)接觸自動生成 FSI（Fluid-solid interaction）條件。設(shè)置水域為聲學(xué)體。

7）提交計算并查看結(jié)果。前三階 Y 方面的固有頻率為 27.912 Hz，175.04 Hz，491.66Hz。其中二階總變形圖如圖 5 所示。

3.3 Ansys 中帶附加質(zhì)量計算

1）板在水中運(yùn)動時的附加質(zhì)量。板在水中運(yùn)動時會產(chǎn)生附加質(zhì)量，用 CFD 軟件 Ansys Fluent，運(yùn)用其 中的動態(tài)網(wǎng)格技術(shù)，基于粘性流理論的 RANS 方程求解[9]，計算模型中的薄板在 YOZ 平面的附加質(zhì)量，計算結(jié)果為 0.126 6 kg。

2）網(wǎng)格與求解設(shè)置。進(jìn)入 Ansys Workbench 的Modal 模塊，在幾何中，將附加質(zhì)量均勻加在薄板的 6個面上，六面體網(wǎng)格個數(shù)為 5 610。在 XOY 平面內(nèi)的薄板的端面約束設(shè)為固定支撐。

3）提交計算并查看結(jié)果。前三階Y方面的固有頻率為 28.013 Hz，175.35 Hz，490.16Hz。其中三階總變形如圖 6 所示。

3.4 采用 Virtual lab 計算

1）網(wǎng)格繪制。在 UG NX 中建模，導(dǎo)入 ICEM中，在 ICEM 中繪制結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，其中板的網(wǎng)格個數(shù)為 4 998，水的網(wǎng)格數(shù)為 116 552。

2）網(wǎng)格導(dǎo)入。導(dǎo)入聲學(xué)網(wǎng)格，導(dǎo)入時選擇將網(wǎng)格分成多塊，導(dǎo)入后水域的面包絡(luò)網(wǎng)格自動形成。

3）設(shè)置材料并賦予相應(yīng)的網(wǎng)格。

4）單元組。包括設(shè)置板底部端面，水域外表面（用來設(shè)置 AML 層，實現(xiàn)無反射邊界條件的模擬），結(jié)構(gòu)的外表面（共 5 個面），與結(jié)構(gòu)外表面接觸的水的表面。

5）建立約束。在板的底端建立固定支撐。

6）建立耦合面。將單元組中的結(jié)構(gòu)外表面與水域外表面定義成 Coupling Surface。

7）插入力源。插入 Load Function Set，力的位置頂端，方向為 Y 方向，如圖 7 所示。

8）求解。插入 Direct Vibro-acoustic Reponse analysis case，采用此模塊直接進(jìn)行聲振耦合計算[8]。頻率范圍設(shè)為 15～600 Hz，步長為 5 Hz。

9）結(jié)果查看。插入 Vector to Function Conversion Case，輸出點(diǎn)采用聲學(xué)網(wǎng)格上的任意一點(diǎn)，格式采用 dB（RMS）[8]。其中頻率分別為 29.977，175.911，494.668。

4 計算結(jié)果討論

將上述計算結(jié)果集中到表 1 中，可以看出，對于1階、2 階結(jié)果，各軟件結(jié)果相差不大，對于第 3 階，最大相差 4.6%

表1 數(shù)值計算的結(jié)果Tab. 1 The result by the numerical calculation

由于數(shù)值模擬中是理想的狀態(tài)：水域無窮大、底部完全固定支撐，計算原理、耦合處理、網(wǎng)格類型、網(wǎng)格個數(shù)、數(shù)值計算中自身的誤差，這些對計算結(jié)果都有一些影響。

5 結(jié) 語

利用多個軟件對同一物理模型進(jìn)行了數(shù)值計算，根據(jù)上面的分析可以得出以下結(jié)論：

1）計算的整體思路基本一致，除了常規(guī)的屬性設(shè)置外，都要設(shè)置耦合面，以及水體外表面的無反射邊界條件。

2）幾種計算軟件的計算結(jié)果比較接近，滿足工程使用需要。

3）在數(shù)值計算時，水域外表而是無限元；但實驗中水在一個箱體里，這個箱體內(nèi)的混響場對聲固耦合理應(yīng)有一定影響。在這種情況下，兩者結(jié)果接近，很有可能說明頻率計算準(zhǔn)確。

4）采用附加質(zhì)量的思路是沒考慮聲固耦合，這也說明在 500 Hz 以下時還算是低頻，物體仍算是“緩慢”地前后移動，流體幾乎不可壓縮。

5）采用此例不是在比較各軟件，因為這個計算內(nèi)容只是其強(qiáng)大功能的一方面，只是為從事相關(guān)研究的人員提供一些計算方法。

[1]趙玫. 結(jié)構(gòu)振動噪聲源[D]. 上海: 上海交通大學(xué). 2002年.

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[8]詹福良, 徐俊偉. Virtual. Lab Acoustics聲學(xué)仿真計算從入門到精通[M]. 西安: 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2013.

The calculation for the natural frequency of thin plate by various methods

LI Ya, ZHAO Wen-feng
(China Ship Scientific Research Center, Wuxi 214082, China)

In order to study the vibration of thin plate in the water, various software, such as ABAQUS, ANSYS Workbench and Virtual lab, are adopted to carry out the numerical calculation. The operation procedures of the software are almost the same. The calculated results show that the several ex-frequencies agree well with the experiment result. When high frequency is calculated, some methods may exhibit some limit. The methods in the text can be used to study the noise radiation of underwater structure.

thin plate；nature frequency；fluid-structure coupling

U661.14

A

1672–7619(2017)05–0006–04

10.3404/j.issn.1672–7619.2017.05.002

2016–11–29；

2017–01–09

李亞(1979–)，男，博士，高級工程師，主要從事推進(jìn)器噪聲研究。