福建省泉州第五中學(xué)(362000)

楊蒼洲●

試題是怎樣煉成的
——一類基于合情推理的圓錐曲線試題命制

福建省泉州第五中學(xué)(362000)

楊蒼洲●

合情推理有“歸納”和“類比”兩種推理模式，這種推理是建立在觀察、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)“類比”來(lái)產(chǎn)生“聯(lián)想”，或者通過(guò)“歸納”來(lái)進(jìn)行“猜想”，是一種“發(fā)現(xiàn)未知”的思維形式.

在解析幾何的某些問(wèn)題中，我們常?？梢酝ㄟ^(guò)類比、歸納，從中發(fā)現(xiàn)“圓、橢圓、雙曲線、拋物線”的一些共同性質(zhì).因此，基于“圓錐曲線”，交匯考查“合情推理”成為命制“解析幾何”試題的一種常見命題手法.這樣的試題設(shè)計(jì)精彩紛呈，往往成為一份試卷的亮點(diǎn)所在.下面筆者略舉數(shù)例，與讀者共賞.

(Ⅰ)求軌跡C的方程；

分析與解 本小題主要考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．

(Ⅰ)易得曲線C的方程為y2=4x．

(Ⅰ)求曲線Γ的方程；

分析與解 本小題主要考查圓的方程與性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．

(Ⅱ)設(shè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在圓O的圓周上的點(diǎn)N(a,b)處，則a2+b2=2，又設(shè)三角板的另一條直角邊所在直線為l′．

(ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，l′與曲線Γ有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

(Ⅰ)拖動(dòng)點(diǎn)S，發(fā)現(xiàn)當(dāng)xS=4時(shí)，yS=4，試求拋物線E的方程；

(Ⅱ)設(shè)拋物線E的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，構(gòu)造直線SF交拋物線E于不同兩點(diǎn)S、T，構(gòu)造直線AS、AT分別交準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，構(gòu)造直線MT、NS．經(jīng)觀察得：沿著拋物線E，無(wú)論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)S，恒有MT∥NS．請(qǐng)你證明這一結(jié)論．

分析與解 本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等．

(Ⅰ)易得拋物線E的方程y2=4x．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1,A2的一點(diǎn)，直線A1P,A2P分別交直線l：x=t(t為常數(shù))于不同兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)Q在直線l上.若直線PQ與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則Q為線段MN的中點(diǎn)”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明;

(Ⅲ)試研究(Ⅱ)的結(jié)論，根據(jù)你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)S的直線m，并寫出作圖步驟(注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行) .

分析與解 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．

(Ⅱ)逆命題：“已知P是橢圓E上一點(diǎn)，直線A1P、A2P分別交直線l：x=t(t為常數(shù))于M、N兩點(diǎn)，若Q為線段MN的中點(diǎn)，則直線PQ與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P”，為真命題．

(Ⅲ)如圖，①任作一條直線n垂直于實(shí)軸；②作直線A1S、A2S分別交直線n于I、J兩點(diǎn)；③作線段IJ的中點(diǎn)V，則直線SV即為所求的直線m．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅲ)試推廣(Ⅱ)中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)統(tǒng)一的一般性命題(不必證明)．

分析與解 本小題主要考查合情推理、直線、橢圓、雙曲線、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想．

上述幾個(gè)試題的求解過(guò)程，要求學(xué)生經(jīng)歷逆向思維、類比推理、直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，度量計(jì)算的心路歷程.雖然試題情境新穎，但是其本質(zhì)依然是研究曲線軌跡，求解直線與拋物線位置關(guān)系等問(wèn)題.因此在復(fù)習(xí)中，我們要深化對(duì)圓錐曲線方程的理解，進(jìn)一步熟練掌握待定系數(shù)法、定義法等求軌跡的常規(guī)方法，進(jìn)一步掌握直線與拋物線位置關(guān)系的一般解題方法，要注意總結(jié)試題的規(guī)律，如：直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的相交弦問(wèn)題在高考中經(jīng)常被設(shè)計(jì)成考題，在解決此類問(wèn)題時(shí)，我們常聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，進(jìn)行“設(shè)而不解”來(lái)解題.

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