陜西省鎮(zhèn)巴中學(723600) 劉再平

特殊探路、類比解題的思維模式與運用

陜西省鎮(zhèn)巴中學(723600) 劉再平

在數(shù)學解題中,對一時難以入手的一般問題,一種簡單易行的化歸途徑就是將原問題向它的特殊形式轉(zhuǎn)化,這就是特殊化法.特殊化法就是把數(shù)學問題中包含的數(shù)量、形狀、位置等關(guān)系,加以簡單化、具體化、單一化、邊緣化,也就是華羅庚先生所說的:“先足夠地退到我們最容易看清楚的地方,認透了,鉆透了,然后再上去.”我們通過解決退化后的問題,探尋解題的起點,用處理此退化問題的方法類比解決原題.特殊化法是解決很多疑難問題的有效方法.此文結(jié)合具體實例,重點介紹“特殊探路、類比解題”的思維邏輯模式與其運用.

思維邏輯模式:

說明

1.在問題特殊化時,通常將原問題視為一般性問題,從特殊的數(shù)、形和位置關(guān)系等入手,按照增加約束條件,取其局部或個別情形,得到特殊問題;

2.通過對特殊問題的分析與解決,去尋求一般問題的屬性,從而獲得關(guān)于原一般問題研究對象的性質(zhì)或關(guān)系的認識,從中找到解題方法和解題的起點;

3.上述思維模式滲透著類比思想和程序化思想,這兩種數(shù)學思想將原來買的一般性問題化繁為簡,并使得解題過程變得更為自然.

例1(《數(shù)學通報》2017年第1期2341征解題)已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=3,求證:a+ab+abc+abcd≤4.

思維過程(1)問題特殊化.考慮到原不等式有4個元,不宜直接證明,于是不妨通過減少未知數(shù),將其特殊化如下:

已知a,b,c≥0,a+b+c=3,求證:a+ab+abc≤4.

(2)解決特殊化問題.由a+b+c=3得c=3?a?b,即

則函數(shù)f(a)在[0,2]上單調(diào)遞增,在(2,3]上單調(diào)遞減,即f(a)≤f(2)=4,所以a+ab+abc≤4得證.

即abcd≤d≤d+bd+bcd所以

a+ab+abc+abcd≤(a+ab+abc)+(d+bd+bcd)≤4.故a+ab+abc+abcd≤4得證.

點評上述證法的巧妙之處在于將四元條件不等式特殊化為三元不等式證明之后,又將其中的一個元代換為兩個元達到證明原不等式的目的,看似思維迂回,實則曲徑通幽.

例2凸n面體的n個面的面積記為si(i=1,2,···,n),P為n面體內(nèi)任意一點,且P到各面的距離為hi(i= 1,2,···,n).若s1:s2:···:sn=1:2:···:n,證明:為定值.

思維過程(1)問題特殊化.要證的是一個n維空間的一般性結(jié)論,而凸n面體的空間思維難度較大,我們自然可以將其先退化到二維的平面幾何問題:

(2)解決特殊化問題.由面積法,證明如下:

(3)類比解決原問題.類比上述特殊問題的證法,行云流水般的可證原多維空間問題.

點評學生習慣于解決二維與三維等低維幾何問題,對于n維幾何問題無疑有一定的思維推進障礙,此時轉(zhuǎn)變視角,在n維空間內(nèi)的一般性結(jié)論,那么可能在低維,甚至平面內(nèi)也會有類似結(jié)論,因而自然的將其退化到最特殊的平面幾何問題,再通過面積分割法將其解決,類比到n維空間即為體積分割法.

例3設(shè)0＜α1＜α2＜···＜αn＜其中n≥2.證明:

思維過程(1)問題特殊化.題意n≥2,于是將原問題退化為n=2的情況,得到較為特殊的問題,如下:

(2)解決特殊化問題.要證上述特殊問題,即證

(3)類比解決原問題.特殊化問題得證,原題的解決起點已經(jīng)探得,下面類比上述放縮法解決原題:由題得

所以

點評此例要證不等式結(jié)構(gòu)繁瑣,初次審題過后想從正面直接證明難以入手,與其坐以待斃不妨特殊化去探探路,特殊化后不等式變得很簡潔,可用放縮通法快速證明,此時再回過頭來斟酌原題,便柳暗花明.

例4證明:當n＞2時,任意直角三角形斜邊長的n次冪大于直角邊的n次冪之和.

思維過程(1)問題特殊化.由題n＞2,可考慮將其退化為n=3和n=4時的特殊情況,如下:

證明:當n=3時,任意直角三角形斜邊長的3次冪大于直角邊的3次冪之和.

證明:當n=4時,任意直角三角形斜邊長的4次冪大于直角邊的4次冪之和.

(2)解決特殊化問題.當n=3時,c3=c2·c= (a2+b2)c=a2c+b2c＞a3+b3(c為斜邊).當n=4時,c4=c2·c2=(a2+b2)c2=a2c2+b2c2＞a4+b4.

(3)類比解決原問題.cn=c2·cn?2=(a2+b2)cn?2=a2cn?2+b2cn?2＞an+bn,即原題得證.

點評此道競賽題看似短小精悍,實際別有意境,是人們對勾股定理思考的一個延續(xù),直接證明n無窮大的情況無疑不太明智,將n特殊化為3和4后,勾股定理便順手拈來,放縮證明才有了更好的鋪墊.

例5設(shè)三角形的三邊長分別為m2?1,2m+1,m2+m+1,試求此三角形的最大角.

思維過程(1)問題特殊化.由題m2?1,2m+1,m2+m+1為三角形的三邊,即有解得m＞1.

然而,要求三角形的最大角,需要先找到三角形的最大邊.不放特殊化探路,令m=2,則m2?1=3,2m+1= 5,m2+m+1=7.

(3)類比解決原問題.于是,我們猜測m2+m+1(m＞1)可能是最大邊,作差證明如下:

m2+m+1?(m2?1)=m+2＞0,m2+m+1?(2m+1)=m(m?1)＞0,所以長度為m2+m+1的邊所對的角最大,由余弦定理

即最大內(nèi)角為120°.

點評如果不將原問題特殊化,那么我們需要多次嘗試探索三角形的最大邊,然而特殊化之后,我們僅僅只需要一次便能找到三角形的最大邊,從而用余弦定理求出最大角,極大的縮短了解題長度,優(yōu)化解題過程.

G波利亞在其解題表的核心環(huán)節(jié)陸續(xù)追問道:“如果你不能解所提的題目,先嘗試去解某道有關(guān)的題目.你能否想到一道更容易著手的相關(guān)題目?一道類似的題目?一道更為特殊化的題目?”短短的幾句反問實則蘊含著特殊化法解題的大智慧.特殊化法的首要環(huán)節(jié)就是退,退可以從一般退到特殊、從復雜退到簡單、從抽象退到具體、從整體退到部分、從較強的結(jié)論退到較弱的結(jié)論,從高維退到低維,退到保持特征的最簡單情況、退到最小獨立完全系,先解決簡單的情況、先處理特殊的對象,在歸納、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)一般性.特殊化法解題不僅能透過問題的表面挖掘其數(shù)學本質(zhì),還體現(xiàn)著數(shù)學的簡潔美,畢竟數(shù)學解題是一種思維活動,數(shù)學解題的本質(zhì)終究是簡潔的.

[1]波利亞(G.Polya)著;涂泓,馮承天譯.怎樣解題:數(shù)學思維的新方法[M].上海:上海科技教育出版社,2007.5.

[2]羅增儒.數(shù)學解題學引論(第二版)[M].西安:陜西師范大學出版社, 2008.9.