楊 鵬，惠小健

(1.西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123；2.西京學(xué)院智能控制技術(shù)研發(fā)中心，陜西 西安 710123)

Vasicek利率下基于隨機微分博弈的最優(yōu)再保險和投資

楊 鵬1，2，惠小健1

(1.西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安 710123；2.西京學(xué)院智能控制技術(shù)研發(fā)中心，陜西 西安 710123)

研究了保險公司和金融市場之間的零和隨機微分博弈.在無風(fēng)險資產(chǎn)利率滿足Vasicek隨機利率情形下，通過保險公司和金融市場之間的博弈，尋找最優(yōu)策略使得終止時刻財富的期望效用達(dá)到最大.在冪效用函數(shù)下，運用隨機控制理論求得了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解，解釋了所研究的結(jié)果在經(jīng)濟學(xué)上的意義，并通過數(shù)值計算分析了一些參數(shù)對最優(yōu)策略的影響.

隨機微分博弈；隨機控制；再保險；投資

0 引言

再保險和投資策略選擇是數(shù)理金融中一個非常重要的問題.Markowitz[1]以終止時刻財富的均值最大、方差最小為目標(biāo)，研究了投資組合策略選擇問題.其在研究中以均值代表收益，以方差代表風(fēng)險，該問題被稱為均值-方差投資策略選擇問題.此后，很多學(xué)者推廣了Markowitz的研究工作.例如：文獻(xiàn)[2]討論了多階段、連續(xù)時間的均值-方差投資策略選擇問題；文獻(xiàn)[3]把均值-方差投資策略選擇問題推廣到了具有Markov調(diào)制的情形，即用Markov鏈表示隨機金融環(huán)境.

Browne[4]研究了保險公司最優(yōu)投資策略選擇問題，討論了最大化終止時刻財富的期望效用.Browne運用隨機控制理論構(gòu)造出值函數(shù)所滿足的方程，進(jìn)而通過解方程求得了最優(yōu)投資策略.近年來，也有很多學(xué)者研究Browne提出的投資策略選擇問題.如：文獻(xiàn)[5]把Browne的工作推廣到了帶跳擴散保險市場；文獻(xiàn)[6]將之推廣到了風(fēng)險資產(chǎn)帶跳的情形；文獻(xiàn)[7]則將之推廣到了具有交易費用的情形.

在保險市場上研究Markowitz的再保險和投資策略選擇問題也非常有意義.通過該問題的研究，可以指導(dǎo)保險公司進(jìn)行合理的再保險和投資，從而使自身面臨的風(fēng)險最小而收益最大.文獻(xiàn)[8]研究了很多這種問題，文獻(xiàn)[9]把這種問題推廣到了復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險過程，文獻(xiàn)[10]將之推廣到了金融市場滿足CEV模型的情形.

然而上面提到的再保險和投資策略選擇問題，沒有考慮到投資者和金融市場之間的二者博弈.在經(jīng)濟活動中，投資者和金融市場之間的博弈無時不在，通過二者博弈求得最優(yōu)策略很有意義.文獻(xiàn)[11]研究了擴散保險市場中的博弈問題，文獻(xiàn)[12]將之推廣到了帶跳擴散保險市場，文獻(xiàn)[13]以Markowitz提出的均值-方差為目標(biāo)研究了博弈問題.

本文致力于研究Vasicek隨機利率下的投資者和金融市場之間的隨機微分博弈.由于受到政府政策、通貨膨脹等一些不確定性因素的影響，利率有時是隨機的，因此用隨機利率模型描述金融市場更符合實際.與其他模型相比，Vasicek模型就是一種隨機利率模型，近年有許多學(xué)者研究Vasicek模型.[14-16]

本文在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，研究了無風(fēng)險資產(chǎn)的利率在滿足Vasicek隨機利率的條件下，保險公司和金融市場之間的零和隨機微分博弈.運用隨機控制理論，求得了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式解，并解釋了所研究的結(jié)果在經(jīng)濟學(xué)中的意義，最后通過數(shù)值計算分析了一些參數(shù)對最優(yōu)策略的影響.本文與以往基于隨機微分博弈的最優(yōu)投資類文獻(xiàn)[11-13]相比，考慮了無風(fēng)險資產(chǎn)的利率滿足Vasicek隨機利率模型；與以往最優(yōu)投資類的文獻(xiàn)[4-6]相比，本文考慮了保險公司和金融市場之間的隨機博弈.

1 數(shù)理模型

1.1 保險模型

與文獻(xiàn)[17]類似，假設(shè)保險公司理賠過程滿足隨機微分方程dC(t)=αdt-β1dW1(t).其中常數(shù)α>0表示單位時間平均索賠，β1>0表示索賠波動率，W1(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.保險費通過連續(xù)利率支付為dc(t)=(1+v)αdt，其中v>0為保險公司的安全負(fù)載.從而保險公司的盈余過程滿足隨機微分方程

dX(t)=dc(t)-dC(t)=vαdt+β1dW1(t).

對保險公司的盈余過程選取比例再保險，再保險水平為a(t)≤1.0≤a(t)≤1意味著公司分出保險，a(t)=1時表示完全分保，a(t)=0表示分保比例為零；a(t)<0意味著公司接受新的分保，此時保險公司充當(dāng)再保險人的角色.設(shè)再保險的安全負(fù)載為η，滿足η>v，再保險的保費按照期望值原理計算.進(jìn)行再保險后，保險公司的盈余過程變?yōu)?/p>

dX(t，a(t))=(v-ηa(t))αdt+(1-a(t))β1dW1(t).

1.2 金融市場模型

金融市場的金融資產(chǎn)可分為兩類：一類為無風(fēng)險資產(chǎn)(現(xiàn)金、債券、銀行存款等)，另一類為風(fēng)險資產(chǎn)(股票、股票以外的證券等).無風(fēng)險資產(chǎn)在t時刻的價格{B(t)|t≥0}滿足 dB(t)=r(t)B(t)dt.其中r(t)為t時刻的瞬間利率，其滿足Vasicek模型

dr(t)=[δ-αr(t)]dt+β2dW2(t).

這里δ，α與β2為正常數(shù)，W2(t)是一標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.風(fēng)險資產(chǎn)在t時刻的價格S(t)滿足隨機微分方程dS(t)=S(t)[μdt+σdW3(t)].其中：μ，σ>0為常數(shù)，分別表示風(fēng)險資產(chǎn)的平均收益率和波動率；W3(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.W2(t)和W3(t)的相關(guān)系數(shù)為ρ，即〈W2(t)，W3(t)〉=ρt，W1(t)和W2(t)、W3(t)相互獨立.

保險公司不但可以進(jìn)行再保險，還可以進(jìn)行投資.設(shè)π(t)為t時刻風(fēng)險資產(chǎn)的投資額，則在無風(fēng)險資產(chǎn)上投資額為X(t，u(t))-π(t).這里X(t，u(t))為進(jìn)行再保險和投資后保險公司的盈余過程，策略為u(t)=(a(t)，π(t)).因此進(jìn)行投資和再保險后，保險公司的盈余過程X(t，u(t))滿足隨機微分方程

dX(t，u)=[r(t)X(t，u)+π(t)(μ-r(t))+(v-ηa(t))α]dt+
(1-a(t))β1dW1(t)+π(t)σdW3(t).

(1)

1.3 零和隨機微分博弈

設(shè){Ft}是由布朗運動W1(t)，W2(t)和W3(t)生成的右連續(xù)且完備的自然流，對應(yīng)的完備概率空間為(Ω，F(xiàn)t，P)，P為概率測度.

設(shè){θ(t)|t≥0}是定義在(Ω，F(xiàn)t，P)上實值且滿足下列條件的隨機過程：

對每個{θ(t)|t≥0}∈Θ，定義

則

dZθ(t)=-Zθ(t)θ(t)[dW1(t)+dW2(t)+dW3(t)]，

(2)

投資者與金融市場之間的零和隨機微分博弈的目標(biāo)是：投資者選擇一個策略u(·)來最大化終止時刻財富的期望效用；金融市場選擇一個概率測度Pθ所代表的經(jīng)濟環(huán)境θ最小化投資者終止時刻財富的期望效用.即

(3)

其中u*，θ*為最優(yōu)策略.該問題是投資者與市場之間的零和隨機微分博弈問題，解決該問題就要找到最優(yōu)的策略u*，θ*和相應(yīng)的值函數(shù)V(t，x).

2 最優(yōu)策略與值函數(shù)

易知下面引理成立：

引理1 設(shè)h(t)滿足常微分方程

(4)

則

(5)

引理2 設(shè)f=f(t，r)滿足偏微分方程

(6)

則

f(t，r)=A(t)eB(t)r+C(t)r2.

(7)

其中

這里

證明 方程(6)是非線性偏微分方程，直接求解比較困難.受已有文獻(xiàn)的啟發(fā)，根據(jù)邊界條件f(T，r)=1，設(shè)解的形式為f(t，r)=A(t)eB(t)r+C(t)r2，且滿足A(T)=1，B(T)=0，C(T)=0，從而

(8)

將(8)式代入(6)式，整理得

從而

(9)

(10)

(11)

首先由(9)式求得C(t).(9)式可變形為

(12)

(13)

將(13)式兩端從t到T求積分，注意C(T)=0，從而可解得C(t).

其次由(10)式求得B(t).(10)式可變形為

(14)

因為C(t)已求出，所以(14)式為一階線性常微分方程，利用常數(shù)變易法可求得B(t).

最后通過求解(11)式得到A(t).(11)式變形為

(15)

因為B(t)，C(t)已求出，所以(13)式為可分離變量一階常微分方程，可解得A(t).引理得證.

定理1 隨機微分博弈問題(3)的最優(yōu)投資策略為

(16)

(17)

最優(yōu)的市場策略為

(18)

值函數(shù)為

(19)

其中h(t)，f(t，r)分別滿足(5)式和(7)式.

(20)

因此：

最優(yōu)市場策略為

最優(yōu)再保險策略為

(21)

最優(yōu)的投資策略為

(22)

結(jié)論得證.

注1 因為p<1，所以從(21)式可得出：隨著金融市場策略θ的增大，再保險策略a增大.也就是說，隨著金融市場變的惡劣，投資者會把更大的風(fēng)險轉(zhuǎn)移給再保險公司.

注2 因為p<1，所以從(22)式可得出：隨著金融市場策略θ的增大，投資策略π增大.也就是說，隨著金融市場變的惡劣，投資者不會冒風(fēng)險在金融市場上投資.

注3 通過注1和注2的分析，可以得到結(jié)論：隨著金融市場的惡化，投資者主要是通過再保險來規(guī)避風(fēng)險從而使自身財富最大化，而不是通過在風(fēng)險資產(chǎn)上投資使自身財富最大化.

3 算例分析

通過具體例子，分析一些參數(shù)對最優(yōu)再保險策略、最優(yōu)投資策略、最優(yōu)市場策略的影響，并分析研究結(jié)果在經(jīng)濟上的一些意義.

例1 設(shè)α=0.02，μ=0.05，σ=0.15，ρ=0.3，x=100，t=0，T=1，r(0)=r=0.05，η=0.1，v=0.09，β1=0.03，p=-1，β2∈[0.05，0.09].把它們分別代入(16)、(17)和(18)式，得到π*、a*與θ*關(guān)于β2的依賴關(guān)系，見圖1—3.

經(jīng)濟意義分析.從圖1可以看出最優(yōu)投資策略π*關(guān)于β2遞減；從圖2可以看出最優(yōu)再保險策略a*關(guān)于β2遞增；從圖3可以看出最優(yōu)市場策略θ*關(guān)于β2遞增.本文研究的是保險公司投資者和金融市場之間的零和隨機微分博弈，所以β2對投資策略和市場策略的影響相反.當(dāng)參數(shù)β2增加時，利率期望值增加，這時投資者為了增加收益而將更多資金投資于無風(fēng)險資產(chǎn)，因此最優(yōu)投資策略π*關(guān)于β2遞減.此時，為了規(guī)避不確定因素β2帶來的風(fēng)險，保險公司會提高再保險比例，所以最優(yōu)再保險策略a*關(guān)于β2遞增.

例2 設(shè)β2=0.02，μ=0.05，σ=0.15，ρ=0.3，x=100，t=0，T=1，r(0)=r=0.05，η=0.1，v=0.09，β1=0.03，p=-1，α∈[0.05，0.09].把它們分別代入(16)、(17)和(18)式，得到π*、a*與θ*關(guān)于α的依賴關(guān)系，見圖4—6.

經(jīng)濟意義分析.從圖4可以看出最優(yōu)投資策略π*關(guān)于α遞增；從圖5可以看出最優(yōu)再保險策略a*關(guān)于α遞增；從圖6可以看出最優(yōu)市場策略θ*關(guān)于α遞減.本文研究的是保險公司投資者和金融市場之間的零和隨機微分博弈，所以α對投資策略和市場策略的影響相反.當(dāng)參數(shù)α增加時，利率期望值遞減，這時投資者為了增加收益而將更多資金投資于風(fēng)險資產(chǎn)，因此最優(yōu)投資策略π*關(guān)于α遞增.此時，為了規(guī)避利率期望值降低帶來的風(fēng)險，保險公司會提高再保險比例，所以最優(yōu)再保險策略a*關(guān)于α遞增.

圖1 例1中β2對最優(yōu)投資策略π*的影響

圖2 例1中β2對最優(yōu)再保險策略a*的影響

圖3 例1中β2對最優(yōu)市場策略θ*的影響

圖4 例2中α對最優(yōu)投資策略π*的影響

圖5 例2中α對最優(yōu)再保險策略a*的影響

圖6 例2中α對最優(yōu)市場策略θ*的影響

[1] MARKOWITZ H M.Portfolio section [J].Journal of Finance，1952，7(1)：77-91.

[2] LI DUAN，NG WANLUNG.Optimal dynamic portfolio selection：multi-period mean-variance formulation [J].Mathematical Finance，2000，10(3)：387-406.

[3] XIE SHU XIANG.Continuous-time portfolio selection with liability and regime switching [J].Insurance：Mathematical and Economics，2009，45(1)：148-155.

[4] BROWNE S.Optimal investment policies for a firm with a random risk process：exponential utility and minimizing the probability of ruin [J].Mathematics Methods Operator Research，1995，20(4)：937-957.

[5] YANG HAI LIANG，ZHANG LI LONG.Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process [J].Insurance：Mathematical and Economics，2005，35：21-51.

[6] LIN XIANG，YANG PENG.Optimal investment and reinsurance in a jump diffusion risk model [J].ANZIAMJ Journal，2011，52：250-262.

[7] ZHANG XIN LI，ZHANG KE CUN，YU XING JIANG.Optimal proportional reinsurance and investment with transaction cost maximizing the terminal wealth [J].Insurance：Mathematical and Economics，2009，44(3)：473-478.

[8] 畢俊娜.保險和行為金融中的均值-方差最優(yōu)控制問題[D].天津：南開大學(xué)，2011.

[9] 楊鵬，林祥，王獻(xiàn)鋒.復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險過程下最優(yōu)再保險-投資組合選擇[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2015，38(1)：174-182.

[10] 楊鵬.均值-方差準(zhǔn)則下CEV模型的最優(yōu)投資和再保險[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2014，34(9)：1100-1107.

[11] 羅琰，楊招軍.基于隨機微分博弈的保險公司最優(yōu)決策模型[J].保險研究，2010，8：48-52.

[12] LIN XIANG，ZHANG CHUN HONG，SIU T K.Stochastic differential portfolio games for an insurer in a jump diffusion risk process [J].Mathematical Methods of Operations Research，2012，75：83-100.

[13] 楊鵬.基于確定繳費型養(yǎng)老金最優(yōu)投資的隨機微分博弈[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015，38(2)：194-200.

[14] 常浩.Vasicek利率模型下多種風(fēng)險資產(chǎn)的動態(tài)資產(chǎn)分配[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2014，32(12)：14-20.

[15] VASICEK O.An equilibrium characterization of the term structure [J].The Journal of Finance，1977，5(4)：177-188.

[16] 謝赤，吳雄偉.基于Vasicek和CIR模型中的中國貨幣市場利率行為實證分析[J].中國管理科學(xué)，2002，3：23-26.

[17] PROMISLOW D S，YOUNG V R.Minimizing the probability of ruin when claims follow Brownian motion with drift[J].North American Actuarial Journal，2005，9(3)：109-128.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Optimal reinsurance and investment based on stochastic differential games with Vasicek interest rate

YANG Peng1，2，XI Xiao-jian1

(1.School of Science，Xijing University，Xi’an 710123，China；2.Intelligent Control Technology Research and Development Center，Xijing University，Xi’an 710123，China)

Zero-sum stochastic differential games between insurance company and financial market are considered.The goal is to obtain optimal strategies to maximize the expected utility of the terminal wealth by the game between insurance company and financial market.Under power utility function，by using stochastic control theory，the closed-form solutions for the value function as well as the strategies is obtained.Finally，the research results are explained in the economic sense and the influence of some parameters on the optimal strategies is given through numerical calculation.

stochastic differential games；stochastic control；reinsurance；investment

1000-1832(2017)02-0034-07

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.008

2016-01-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(11271375)；西京學(xué)院科研基金資助項目(XJ160144).

楊鵬(1983—)，男，碩士，講師，主要從事數(shù)理金融和隨機微分博弈研究.

O 211.6 [學(xué)科代碼] 110·74

A