劉族剛++萬(wàn)舒婷

盡管在新課程中《復(fù)數(shù)》僅安排4個(gè)課時(shí)，內(nèi)容只涉及四個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可以說內(nèi)容少、難度低，但復(fù)數(shù)與其他章節(jié)的知識(shí)聯(lián)系緊密，極易與三角、向量、解析幾何、極坐標(biāo)等交匯，滲透著豐富的數(shù)學(xué)思想方法. 本文從數(shù)學(xué)思想方法的角度，以列舉范例的形式，對(duì)復(fù)數(shù)的概念、幾何意義以及四則運(yùn)算進(jìn)行解讀，以便幫助讀者更加深入地理解、掌握復(fù)數(shù)知識(shí).

類比的數(shù)學(xué)思想

例1 下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

①設(shè)，則是的充要條件；

②，；

③，或；

④若二次方程有實(shí)數(shù)根，則由可得，.

A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)

解析 由知，，所以；但由，不能得到，進(jìn)而不能得到，如，但不成立，故①錯(cuò)誤. 當(dāng)時(shí)，顯然；但當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，可能為負(fù)，也可能無(wú)大小，如，是虛數(shù)，從而無(wú)大小，故②③都錯(cuò)誤. 對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，其根的虛實(shí)及個(gè)數(shù)可以用判別式的符號(hào)來判斷；但當(dāng)時(shí)，其根的虛實(shí)及個(gè)數(shù)不能用判別式的符號(hào)來判斷，例如方程有實(shí)根，但，故④錯(cuò)誤.

答案 A

點(diǎn)評(píng) 不做類比，難知區(qū)別與聯(lián)系！學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)，務(wù)必要強(qiáng)化復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)與向量等的類比，尤其是它們的“不同”，避免出現(xiàn)知識(shí)性的低級(jí)錯(cuò)誤.

函數(shù)與方程思想

例2 已知（其中是的共軛復(fù)數(shù)），，求的值.

分析 函數(shù)是自變量由實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的推廣，盡管定義域變了，但函數(shù)的最核心要素（對(duì)應(yīng)法則）沒變，本函數(shù)的法則是自變量的倍與自變量的共軛復(fù)數(shù)之和減去.

解 設(shè)，則，

顯然，易于驗(yàn)證.

∵，

∴.

又，

∴，即.

由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得，

∴.

故.

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)是高中課程的主線，函數(shù)思想、方程思想滲透于各個(gè)模塊和各個(gè)章節(jié). 在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的過程中，一定要注意知識(shí)之間的聯(lián)系，習(xí)慣于用函數(shù)與方程的眼光“打量”復(fù)數(shù).

分類討論思想

例3 已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根分別為，且，求實(shí)數(shù)的值.

分析 本題是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的根的問題. 由題意知，要用到“根與系數(shù)的關(guān)系”，但在求解時(shí)要注意根的虛實(shí)，不可想當(dāng)然.

解 因?yàn)槭堑母?/p>

所以. （*）

又因?yàn)椋?/p>

（1）當(dāng)，即時(shí)，，

，

將（*）代入得，.

（2）當(dāng)，即時(shí)，為共軛虛數(shù)，

不妨設(shè)，則.

則，從而.

再由知，.

故此時(shí)，或此時(shí)

綜上所述，，或.

評(píng)注 實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)后，實(shí)數(shù)中的有些結(jié)論推廣到復(fù)數(shù)集后不一定成立，此時(shí)分類討論是解決問題的突破口.

化歸轉(zhuǎn)化思想

例4 設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則為 .

分析 本題要計(jì)算復(fù)數(shù)，必然涉及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的知識(shí).

解 設(shè)，

則，即為.

亦即.

由復(fù)數(shù)相等得，

則或

所以，或.

點(diǎn)評(píng) 復(fù)數(shù)（往往多指虛數(shù)）問題，一般都是先通過設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，后化歸轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)（函數(shù)、方程、不等式等）問題進(jìn)行求解. 值得注意的是，你能看透本題答案的本質(zhì)嗎？若將本題改為求復(fù)數(shù)的平方根，你會(huì)做嗎？

數(shù)形結(jié)合思想

例5 已知復(fù)數(shù)滿足，，求值.

分析 復(fù)數(shù)的模的幾何意義、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示等，使得復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)、復(fù)數(shù)與復(fù)平面的向量建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，這些為在知識(shí)交匯處命題搭建了平臺(tái)，也為用數(shù)形結(jié)合解題提供了思路. 從幾何角度入手分析這個(gè)題，因?yàn)?，所以所?duì)應(yīng)的點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上. 再結(jié)合的實(shí)部、虛部的特殊性，不難從圖中直接觀察出復(fù)數(shù)或.

解 由得，均在單位圓上（如下圖）.

由不難找出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，

且對(duì)應(yīng)于“和向量”，

又，

故平行四邊形為菱形，且圖中.

所以由圖可看出，，或.

故或

點(diǎn)評(píng) 在本題求解過程中，若設(shè)則；再根據(jù)，又可以得到兩個(gè)方程. 這樣一來，就必須解一個(gè)四元二次方程組，變量設(shè)的太多，且為二次，顯然不利于問題的解決. 所以我們?cè)诮忸}時(shí)，應(yīng)注意巧設(shè)，盡可能減少變量. 本題若由復(fù)數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合求解，是一種很重要的思維方法.

復(fù)數(shù)集是實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充，涉及復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算的常規(guī)題型對(duì)大家來說較為容易. 但“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂”，“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，不如說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法”. 在學(xué)習(xí)時(shí)，如能從數(shù)學(xué)思想的高度審視復(fù)數(shù)，解題時(shí)，你便會(huì)發(fā)現(xiàn)你自己有更多的“套路”，便會(huì)有“一覽眾山小”的感覺.