喬建基

專題策劃：你會解答這些高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題嗎

編者按：創(chuàng)新題具有極好的區(qū)分度和選拔功能，是考查數(shù)學(xué)能力的絕佳題型，從近幾年全國卷的命題來看，高考對創(chuàng)新題的考查具有一脈相承、整體穩(wěn)定和適度創(chuàng)新的特征，本專題通過總結(jié)近年高考數(shù)學(xué)卷中的一些創(chuàng)新題，以退為進尋找創(chuàng)新題的突破口。并分類導(dǎo)析近年來的考查熱點——閱讀理解型創(chuàng)新題，以期幫助考生輕松解答好高考創(chuàng)新題。

一、形式上創(chuàng)新

1.引入較陌生的圖形元素，如2016年高考全國新課標(biāo)卷一的柱狀圖、卷三的折線圖等，

例1（2016年高考全國新課標(biāo)卷一理科卷第19題）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時?？梢灶~外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)。得到柱狀圖如圖1所示。

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)。n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)。

（I）求X的分布列，

（Ⅱ）若要求P（x≤n）≥0，5，確定n的最小值，

（Ⅲ）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個？

分析

第（I）問先根據(jù)柱狀圖確定x的所有可能取值，然后利用獨立事件概率模型求出相應(yīng)的概率，可得x的分布列；第（Ⅱ）問對概率大小進行比較；第（Ⅲ）問分別求出n=19與n=20的期望，比較即可。

小結(jié)

考生需在讀圖時弄清橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的含義、圖中的數(shù)量關(guān)系、數(shù)形間的變化趨勢等，在解題時善于全面分析和解決問題_在本題中，考生要注意將復(fù)雜事件拆分為簡單的互斥事件之和的形式求解。

2.引入多個數(shù)表元素，如2015年高考全國新課標(biāo)卷一文科卷和理科卷第19題、2016年高考全國新課標(biāo)卷二文科卷和理科卷第18題等。

例2（2016年高考全國新課標(biāo)卷二理科卷第18題）某險種的基本保費為。（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

（I）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率。

（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率，

（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值。

分析第（I）問可利用互斥事件的加法公式求解；第（Ⅱ）問可根據(jù)條件概率的公式進行求解；第（Ⅲ）問寫出保費的分布列，計算出其均值EX來解決問題。

小結(jié)讀數(shù)表時考生需弄清各表中的對應(yīng)關(guān)系，挖掘出各表對應(yīng)關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，這是解這類題的突破口與關(guān)鍵。

二、內(nèi)容上創(chuàng)新

1.引入數(shù)學(xué)文化，如2015年高考全國新課標(biāo)卷一文科卷和理科卷第6題、2016年高考全國新課標(biāo)卷二文科卷第9題和理科卷第8題等，

例3（2015年高考全國新課標(biāo)卷一文科卷和理科卷第6題）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖2，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有。

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

分析根據(jù)圓錐的體積公式進行計算，

參考答案B

小結(jié)考生需深刻理解數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，理清數(shù)量關(guān)系、運算關(guān)系等，并運用相關(guān)知識進行求解，

2.設(shè)計新定義情境，如2016年高考全國新課標(biāo)卷二文科卷第17題、卷三理科卷第12題等。

分析

先理解“規(guī)范01數(shù)列”。然后利用分類加法計數(shù)原理，結(jié)合新定義進行計數(shù)。

參考答案C

小結(jié)運用新定義的關(guān)鍵在于抓住新定義中的數(shù)量關(guān)系以及制約條件，以此為解題的切入點，在本題中，按前四項0的分布情況進行分類，遵循不重不漏的原則進行計數(shù)。

分析僅利用偶函數(shù)的性質(zhì)和特殊點驗證法不能確定答案時，需在此基礎(chǔ)上嫁接導(dǎo)數(shù)法求解。

參考答案D

小結(jié)邏輯推理方法與特殊驗證排除法相嫁接，用于解決客觀題；數(shù)學(xué)思想與方法的交融嫁接，用于解決主觀題，突出理性思維，彰顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2，打破常規(guī)，注重探究，如2015年高考全國新課標(biāo)卷一理科卷第16題等。

分析找出交點間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，因此，需從條件入手探究兩個函數(shù)圖像的整體性質(zhì)。

參考答案B

小結(jié)考生在解題時，要綜合、靈活地利用所學(xué)知識，打破常規(guī)，積極探究數(shù)量關(guān)系、變化趨勢和整體性質(zhì)等，本題探究出兩函數(shù)圖像的整體對稱性，從而可利用整體對稱性來解決問題。