范瑛

數(shù)學(xué)是一門(mén)特別的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的模仿和記憶只占微小的部分，更多地需要學(xué)生的理解，需要學(xué)生在不斷的探索中，打破固有認(rèn)識(shí)，形成新的穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純依靠模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探究和合作交流也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式?！睆倪@個(gè)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生的主動(dòng)性，突出學(xué)生的主體地位，讓他們?cè)诓粩嗟膰L試和探究中去發(fā)現(xiàn)，去獲取，去主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，達(dá)成深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要注重給學(xué)生探索的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生建立在比較和發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上去主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)領(lǐng)悟，達(dá)成深度學(xué)習(xí)。具體可以從以下幾個(gè)方面來(lái)展開(kāi)：依托生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，達(dá)成概念的清晰化；依托探索比較來(lái)推升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進(jìn)認(rèn)識(shí)的深入化；依托數(shù)學(xué)本質(zhì)來(lái)推動(dòng)學(xué)生領(lǐng)悟，形成方法的自然化；依托操作活動(dòng)來(lái)凸顯數(shù)學(xué)規(guī)律，助力建構(gòu)的真實(shí)化。

依托生活經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念

學(xué)生在走進(jìn)課堂時(shí)并非一無(wú)所有，他們的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都會(huì)在學(xué)習(xí)過(guò)程中起作用。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中首先要考慮教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生過(guò)往生活之間的聯(lián)系，考慮到影響學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)概念的因素，然后制訂相應(yīng)的策略，引導(dǎo)學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上發(fā)掘概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，達(dá)成概念的清晰化。當(dāng)然，生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生的概念建構(gòu)有兩種方向不同的影響：一種是正向促進(jìn)作用，另一種是負(fù)向干擾作用。在學(xué)習(xí)中，我們要有所甄別，有選擇地利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。

例如：在“平移和旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)中，筆者首先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)游樂(lè)場(chǎng)的情境，將學(xué)生帶入不同的項(xiàng)目中，讓學(xué)生一邊看圖一邊做動(dòng)作，想象一下在玩這個(gè)項(xiàng)目時(shí)人會(huì)做什么樣的運(yùn)用——在看到摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬等項(xiàng)目的時(shí)候，學(xué)生不由自主地將手圈動(dòng)起來(lái)；而在看到彈簧床、火箭升空等項(xiàng)目的時(shí)候，學(xué)生做了很夸張的上下運(yùn)動(dòng)的手勢(shì)。所有的項(xiàng)目呈現(xiàn)完畢后，筆者將這些項(xiàng)目做一個(gè)定型，讓學(xué)生面對(duì)這些項(xiàng)目，回憶剛才的手勢(shì)，嘗試根據(jù)不同項(xiàng)目中運(yùn)動(dòng)方式的不同來(lái)將這些項(xiàng)目分類(lèi)。學(xué)生們很自然地將這些運(yùn)動(dòng)方式分成了旋轉(zhuǎn)和移動(dòng)兩種。在這樣的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，筆者再讓學(xué)生自己給這兩種不同的運(yùn)動(dòng)方式取個(gè)名字，在生活中找一找哪些物體的運(yùn)動(dòng)形式跟這些運(yùn)動(dòng)方式是一致的，學(xué)生就深入到生活實(shí)際中去找到很多的例子。在這個(gè)案例的學(xué)習(xí)中，筆者沒(méi)有給學(xué)生定義怎樣的運(yùn)動(dòng)叫作平移，怎樣的運(yùn)動(dòng)叫作旋轉(zhuǎn)，而是給學(xué)生一個(gè)熟悉的生活情境，讓他們自己用眼睛去觀察，用手勢(shì)去模仿，用大腦去思考，這樣自己抽象出兩種不同運(yùn)動(dòng)方式來(lái)，之后再讓學(xué)生走進(jìn)更廣闊的生活天地去豐富已有的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)這兩種運(yùn)動(dòng)形式的認(rèn)識(shí)就足夠清晰了。

另外一個(gè)教學(xué)實(shí)例是“角的認(rèn)識(shí)”。因?yàn)閷W(xué)生在生活中認(rèn)識(shí)的角是立體的、多元的，而數(shù)學(xué)概念中的角是比較規(guī)范的，所以，筆者在教學(xué)中力圖讓學(xué)生自己來(lái)抽象出“數(shù)學(xué)角”。實(shí)際教學(xué)時(shí)，筆者以這樣一個(gè)情境來(lái)引入：兩只河馬在比誰(shuí)的嘴張開(kāi)得更大，你能來(lái)做個(gè)公正的裁判嗎？在情境中，筆者請(qǐng)用兩只手來(lái)比劃一下兩只河馬嘴張開(kāi)的樣子，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)判斷河馬的嘴張開(kāi)的大小就是要看兩只手張開(kāi)的程度。如果我們把河馬嘴張開(kāi)的樣子畫(huà)出來(lái)，只要用兩條一端相連的線即可，當(dāng)然，我們還可以運(yùn)用學(xué)具盒中的活動(dòng)小棒來(lái)做成一個(gè)“角”。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)角的第一認(rèn)識(shí)就建立了，也感知到判斷角的大小就是看兩條線張開(kāi)的程度。之后，筆者再引導(dǎo)學(xué)生來(lái)觀察角，認(rèn)識(shí)到角的各部分名稱，學(xué)生腦海中的“數(shù)學(xué)角”的概念就初步建立了。很顯然，這樣的角是有別于生活中的一些角的，比如動(dòng)物的角，當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到一定的火候時(shí)，筆者再將這樣的角拿出來(lái)讓學(xué)生比較，學(xué)生就建立了生活中的角是個(gè)物體，數(shù)學(xué)上的角是反映兩條邊張開(kāi)的程度的概念。在這樣的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了三個(gè)過(guò)程，從河馬的嘴張開(kāi)的樣子到用手來(lái)模擬再到將決定河馬的嘴張開(kāi)的程度的關(guān)鍵因素畫(huà)出來(lái)，學(xué)生一步步接近了角的數(shù)學(xué)概念，經(jīng)歷這樣三個(gè)過(guò)程，學(xué)生的認(rèn)識(shí)就從生活中遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，形成了清晰的認(rèn)識(shí)。

這兩個(gè)案例中的數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)都沒(méi)有離開(kāi)生活經(jīng)驗(yàn)，不同的是，第一個(gè)案例的學(xué)習(xí)更多的是生活經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)化，而第二個(gè)案例中的生活經(jīng)驗(yàn)是“取其精華，去其糟粕”。在實(shí)際教學(xué)的時(shí)候，我們要讓學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)識(shí)來(lái)逐步將生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化，建立嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念，這樣的學(xué)習(xí)會(huì)讓學(xué)生獲益匪淺。

依托探索比較，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)

很多數(shù)學(xué)知識(shí)是彼此關(guān)聯(lián)的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們不能將知識(shí)孤立開(kāi)來(lái)，而是要將新問(wèn)題放到學(xué)生熟悉的環(huán)境中，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)尋找獲取新知識(shí)的突破口，這樣學(xué)生起來(lái)會(huì)事半功倍，會(huì)更加得心應(yīng)手。同時(shí)，學(xué)生在探索與比較的過(guò)程中能夠發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)間的相同和不同，能夠抓住兩者的本質(zhì)特征來(lái)區(qū)分他們，這對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)的深入起到至關(guān)重要的作用。

例如：在“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，因?yàn)閷W(xué)生在生活中已經(jīng)接觸過(guò)不少百分?jǐn)?shù)，在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也有碰到百分?jǐn)?shù)的情形，所以，筆者在實(shí)際教學(xué)中就直接讓學(xué)生來(lái)說(shuō)自己找到的百分?jǐn)?shù)表示的含義。幾位學(xué)生分別走上前來(lái)介紹自己找到的百分?jǐn)?shù)：衣服的標(biāo)簽上寫(xiě)著“棉：40%”，學(xué)生很容易套用分?jǐn)?shù)的意義來(lái)解釋這個(gè)百分?jǐn)?shù)——衣服中棉的成分占所有材料100份中的40份；“全班學(xué)生的30%會(huì)游泳”，學(xué)生很快說(shuō)出“會(huì)游泳的學(xué)生占全班人數(shù)100份中的30份”。在他們習(xí)慣性套用分?jǐn)?shù)的意義來(lái)嘗試解釋百分?jǐn)?shù)的含義后，筆者提出更高的要求：“能不能換種形式讓我們一目了然地知道你帶來(lái)的百分?jǐn)?shù)表示什么含義？”在經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考和小組交流之后，學(xué)生們展示了自己的認(rèn)識(shí)：有的用線段圖來(lái)表示出簡(jiǎn)單的百分?jǐn)?shù)；有的提出可以用一個(gè)有100格的正方形來(lái)表示百分?jǐn)?shù)。筆者肯定了他們的做法，并補(bǔ)充了利用圓來(lái)表示百分?jǐn)?shù)的方法，讓學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的感知由語(yǔ)言層面上升到直觀形象上。在此之后，筆者讓學(xué)生們比較百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與不同，學(xué)生們的發(fā)現(xiàn)就多樣了。有的學(xué)生表示：百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)表示的意義是相同的，都是將單位“1”平均分成若干份，表示其中的幾份來(lái)，不同的是百分?jǐn)?shù)規(guī)定了將單位“1”分成的分?jǐn)?shù)只能是100，而普通的分?jǐn)?shù)不一定。有的學(xué)生表示：百分?jǐn)?shù)其實(shí)就是一種特殊的分?jǐn)?shù)。還有的學(xué)生認(rèn)識(shí)到：兩者最大的區(qū)別就是分?jǐn)?shù)既可以表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，又可以是一個(gè)具體的數(shù)量，而百分?jǐn)?shù)只能表示兩者之間的關(guān)系，不能表示一個(gè)具體的量。筆者認(rèn)為：學(xué)生們之所以有這樣深刻的認(rèn)識(shí)，過(guò)往的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是不容忽視的，建立在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上，學(xué)生不但搞清楚了百分?jǐn)?shù)的含義，而且充分認(rèn)識(shí)到兩者的聯(lián)系和區(qū)別，這為他們深刻的認(rèn)識(shí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

依托數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行再創(chuàng)造。”這樣的說(shuō)法指出了學(xué)生自己領(lǐng)悟的重要性，好的教師不是強(qiáng)行將自己知道的東西灌輸給學(xué)生，而是有能力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的研究和思考總結(jié)出規(guī)律，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)在自己的理解之上，這樣的學(xué)習(xí)也會(huì)更加真實(shí)更加自然。

例如：在教學(xué)“用方程解決實(shí)際問(wèn)題”的時(shí)候，教學(xué)的障礙在于不少學(xué)生的方程思想比較淡薄，他們習(xí)慣于用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題。所以，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷探索問(wèn)題的過(guò)程，自己發(fā)現(xiàn)用方程解決問(wèn)題的好處，從而自然地選用方程來(lái)促進(jìn)問(wèn)題的解決。在實(shí)際教學(xué)時(shí)，筆者給出了這樣一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題：“小明和小華各收集了一些郵票，小華的郵票有72張，比小明的兩倍少18張，求小明原來(lái)各有多少?gòu)堗]票？”學(xué)生獨(dú)立嘗試后列出算式來(lái)計(jì)算，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)近半的學(xué)生犯了錯(cuò)，有的用72÷2-18，有的用（72-18）÷2，還有的用72÷2+18。在一些學(xué)生將自己的線段圖展示出來(lái)之后，其中一些學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的算法是錯(cuò)誤的。于是，筆者請(qǐng)出錯(cuò)的學(xué)生說(shuō)一說(shuō)自己錯(cuò)誤的原因。很多學(xué)生談到一點(diǎn)，就是沒(méi)有先求出小明郵票的兩倍是多少，而是根據(jù)兩倍的關(guān)系首先用72除以2，分析學(xué)生這個(gè)思路，其實(shí)是缺乏整體認(rèn)知，沒(méi)有能夠?qū)ⅰ靶∶鬣]票的兩倍”看成一個(gè)整體，先行求出這個(gè)整體是多少。在這樣的背景下，筆者引導(dǎo)學(xué)生用未知數(shù)來(lái)代表小明，把小明的郵票數(shù)和小華的郵票數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，學(xué)生很快找到X×2=72+18或者X×2-18=72這樣的等式。交流這種方法的時(shí)候，學(xué)生們認(rèn)為列式計(jì)算和用方程來(lái)解決問(wèn)題各有好處：用方程來(lái)解決這樣的問(wèn)題的時(shí)候很容易找到等量關(guān)系，可以直接根據(jù)“誰(shuí)比誰(shuí)的幾倍多（少）多少”來(lái)確定做比較的兩個(gè)量，所以列出方程比較輕松；而列式計(jì)算的計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)單，列的式子容易犯錯(cuò)誤。在對(duì)比兩種方法的時(shí)候，大部分學(xué)生還是選擇了方程。這樣的學(xué)習(xí)，不需要教師將方程的方法強(qiáng)加給學(xué)生，只要引導(dǎo)他們自己去回味兩種方法的思考過(guò)程，學(xué)生自然會(huì)做出選擇，這樣的領(lǐng)悟比別人給予的方法要有效得多。我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中就是要讓學(xué)生自己在一定的背景中認(rèn)識(shí)到問(wèn)題，自己選擇適合自己的方法，建構(gòu)專(zhuān)屬于自我的知識(shí)體系。

依托操作活動(dòng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)體系

有效的數(shù)學(xué)建構(gòu)不能停留在猜想上，需要讓學(xué)生帶著問(wèn)題深入實(shí)際，自己去操作和探索，從而找到問(wèn)題的關(guān)鍵，并以此為開(kāi)端來(lái)挖掘數(shù)學(xué)規(guī)律，完善認(rèn)知體系。這樣的學(xué)習(xí)，可以給學(xué)生更真實(shí)的體驗(yàn)，更多樣的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生更接近真實(shí)的數(shù)學(xué)，為數(shù)學(xué)建構(gòu)過(guò)程助力。

例如：在“圓柱的表面積”的計(jì)算中，筆者直接出示一個(gè)圓柱體，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)它的表面積包括哪些部分，然后提出問(wèn)題：“想要計(jì)算出圓柱體的表面積，我們可以怎樣做？”有學(xué)生很快回答：“只要算出圓柱上下兩個(gè)底面的圓的面積，再加上圓柱的側(cè)面的面積就可以了?！痹谶@個(gè)回答的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生去思考哪種面積是我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握的，哪種面積需要我們?nèi)ヌ剿鳎瑥亩鴮W(xué)生的注意力牽引到求圓柱體的側(cè)面積的問(wèn)題上；之后的學(xué)生交給學(xué)生自己去探索。在行間巡視的時(shí)候，筆者發(fā)現(xiàn)很多小組的學(xué)生通過(guò)合作將圓柱體分解來(lái)開(kāi)，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)來(lái)研究，雖然他們展開(kāi)的方式不盡相同，但是在交流中學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論是將這個(gè)側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)長(zhǎng)方形還是展開(kāi)成一個(gè)平行四邊形，都可以用底乘高來(lái)計(jì)算面積，而兩個(gè)平面圖形的底都等于圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)，高等于圓柱體的高。至此，求圓柱表面積的問(wèn)題水落石出。這樣的學(xué)習(xí)完全放權(quán)給學(xué)生，讓他們根據(jù)自己的猜想去嘗試，去挖掘，讓他們?cè)谧约旱幕顒?dòng)中來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，學(xué)生在這樣的過(guò)程中收獲的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，而且有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，有寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，這對(duì)于學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有幫助的。

結(jié)束語(yǔ)

高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)依賴于學(xué)生主體，需要激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓他們?cè)谡J(rèn)識(shí)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，完成認(rèn)識(shí)的推進(jìn)和知識(shí)的建構(gòu)，這樣的學(xué)習(xí)更加有意義，并能促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，引領(lǐng)數(shù)學(xué)課堂走向深入。

參考文獻(xiàn)

[1]李慶奎.數(shù)學(xué)學(xué)與教的建構(gòu)主義視角研究[D].遼寧師范大學(xué)，2001.

[2]張慧萍.建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2007.

[3]李滿倉(cāng).淺論新課程改革背景下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)生活化[J].吉林省教育學(xué)院學(xué) 報(bào)，2010（2）：4-6.

[4]皮連生.學(xué)與教的心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

（作者單位：江蘇省海門(mén)市湯家中心小學(xué)）