趙勝

摘 要 函數(shù)思想是最基本的數(shù)學(xué)思想之一，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它貫穿整個(gè)中學(xué)階段。了解與掌握函數(shù)思想，能讓學(xué)習(xí)者領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，增強(qiáng)學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，幫助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；同時(shí)也是新一輪課程改革的基本要求。文章通過(guò)對(duì)函數(shù)思想的重要性進(jìn)行了分析，從函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用、數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透函數(shù)思想進(jìn)行論述，從而達(dá)到對(duì)函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的全面認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞 中學(xué)數(shù)學(xué) 函數(shù) 函數(shù)思想

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.04.052

An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School

ZHAO Sheng

（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）

Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.

Key words middle school mathematics； function； function thought

函數(shù)思想是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中形成的，它是人們對(duì)函數(shù)知識(shí)的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，來(lái)源于函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，它在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著重要的作用，是教材體系的靈魂。在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，加強(qiáng)函數(shù)思想教學(xué)可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)知識(shí)、形成正確的教學(xué)觀念和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)精神；它是落實(shí)素質(zhì)教育的有效途徑和重要手段；還可以提高教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)水平；有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義能力與函數(shù)應(yīng)用能力。隨著數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)思想日趨凸顯，從事數(shù)學(xué)教育以及一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者越來(lái)越認(rèn)識(shí)到函數(shù)思想的重要性。函數(shù)是支撐中學(xué)數(shù)學(xué)的骨架，是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，貫穿整個(gè)中學(xué)階段。從歷年中考、高考的情況來(lái)看，以函數(shù)為核心編制的題目立意新穎，知識(shí)覆蓋面廣，靈活性較強(qiáng)，有比較理想的選拔功能。所以函數(shù)思想有極高的研究?jī)r(jià)值。作為數(shù)學(xué)教育工作者了解函數(shù)思想的產(chǎn)生、發(fā)展和特點(diǎn)，掌握函數(shù)運(yùn)動(dòng)的發(fā)展規(guī)律，形成正確的教學(xué)觀，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的駕馭能力。本文通過(guò)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)思想的研究來(lái)指導(dǎo)教育工作者更加有效地進(jìn)行教學(xué)，同時(shí)也為新課改提供有力依據(jù)，給學(xué)生的學(xué)習(xí)指引正確的方向。

1 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)是數(shù)集之間的特殊映射，反映事物的內(nèi)部聯(lián)系，縱觀整個(gè)中學(xué)階段，函數(shù)將大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)緊扣在一起，形成一個(gè)以函數(shù)為中心向四周擴(kuò)散的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，而函數(shù)思想則是形成這個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的靈魂。函數(shù)思想的應(yīng)用就是對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題、數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)建一個(gè)函數(shù)模型，應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)更快更好地解決問(wèn)題，而構(gòu)造函數(shù)模型是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)。接下來(lái)筆者將從以下幾個(gè)方面闡述函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

1.1 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的宏觀應(yīng)用

函數(shù)思想的宏觀應(yīng)用也就是函數(shù)性質(zhì)的直接應(yīng)用，即應(yīng)用初等函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域、值領(lǐng)、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、連續(xù)性、對(duì)稱性、圖像等）求解有關(guān)的值、討論參數(shù)的取值等問(wèn)題，只要掌握函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，直接對(duì)其加以簡(jiǎn)單應(yīng)用就行，直觀明了，同樣也是函數(shù)思想的簡(jiǎn)單體現(xiàn)。

例1 函數(shù) （） = + 3 + 有極值，又在其曲線上極大和極小的點(diǎn)分別為、，若線段（不含端點(diǎn)）與曲線交于點(diǎn)（1，0），求的值。

分析：首先弄清已知條件，已知①一個(gè)含參數(shù)的三次函數(shù)；②函數(shù)有極值；③有極大和極小點(diǎn)，；④線段（不含端點(diǎn)）與曲線交于點(diǎn)（1，0）。解題目標(biāo)是求的值。

由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。

（0，），（， + ）

再由點(diǎn)（1，0）在曲線上以及三點(diǎn)共線，解得

這個(gè)結(jié)果是否正確？還是要注意題目的條件，即條件④中有一點(diǎn)容易被忽略，這就是點(diǎn)應(yīng)在線段的內(nèi)部，因此應(yīng)滿足0<1<，<，于是第二組解應(yīng)舍去?；蛘哒f(shuō)，若 = ，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）與（1，0）重合，這時(shí)候，成為線段的端點(diǎn)，與題意不符。

1.2 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的微觀應(yīng)用

函數(shù)與方程、不等式、角、數(shù)列等均有不同程度的內(nèi)在聯(lián)系，將一些非函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題、構(gòu)建函數(shù)模型就是函數(shù)思想的微觀應(yīng)用，也就是函數(shù)的間接應(yīng)用，此類題型可以鍛煉學(xué)習(xí)者的發(fā)散思維和邏輯推理能力。接下來(lái)將以幾個(gè)實(shí)例加以說(shuō)明。

1.2.1 活躍在方程、不等式中的函數(shù)思想

函數(shù)與方程、不等式有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，絕大多數(shù)方程與不等式的研究需要依靠函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，而函數(shù)性質(zhì)的研究則又需要依賴方程與不等式來(lái)完成，所以他們是相輔相成的。比若說(shuō)求定義域、函數(shù)單調(diào)性證明都需要借助不等式來(lái)完成；而解方程又是求函數(shù)的零點(diǎn)。所以在解關(guān)于方程與不等式這類題的過(guò)程中應(yīng)該考慮以函數(shù)為工具，加強(qiáng)函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用能力，系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)各個(gè)模塊的知識(shí)。

例2 證明不等式<，（>0）。

分析：證明不等式有很多種方法，可以通過(guò)作差、作商、反證、放縮、構(gòu)造等不同方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，根據(jù)不同題目選擇合理方法可以達(dá)到事半功倍的效果。通過(guò)觀察，本題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)證明，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性來(lái)實(shí)現(xiàn)不等式大小，既方便又快捷。

證明：要證<（>0），即證<0。

令 = ，（>0）

當(dāng)>0時(shí)， = 1 / （1 + ）即<0

∴ = 在（0，）上為單調(diào)遞減函數(shù)

那么就有<（0）=0，（>0）

即 = <0，<恒成立。

小結(jié)：本題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明該不等式，是應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求解問(wèn)題的典型例題，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式，思路清楚，方法簡(jiǎn)單易懂。

1.2.2 三角函數(shù)思想的呈現(xiàn)

例3 已知為銳角，且，求的值。

分析：由的構(gòu)成特點(diǎn)，本題的化簡(jiǎn)變形，不宜按常規(guī)對(duì)的三角函數(shù)都采用降次的作法，而需把已知表達(dá)式中的含的三角函數(shù)升次，含的三角函數(shù)降次，即湊出和的表達(dá)式出來(lái)。

解：由（1），得3 = 2 （3）

由（2），得3 = 2 （4）

（3）€鰨？），得 = （） = 0，

因?yàn)闉殇J角，所以0<<，故知 = 。

1.2.3 實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到很多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接求解會(huì)非常困難或者是直接解不出來(lái)，這是我們應(yīng)該充分應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，試著應(yīng)用函數(shù)的思想去考慮，試著建立函數(shù)關(guān)系式，讓抽象、復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題，再應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)將它求解出來(lái)，這就是應(yīng)用函數(shù)思想求解數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的基本套路。

例4 （2012浙江省嘉興市）某汽車租賃公司擁有20輛汽車。據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的日租金為400元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項(xiàng)支出共4800元。設(shè)公司每日租出輛車時(shí)，日收益為元。（日收益=日租金收入平均每日各項(xiàng)支出）

（1）公司每日租出輛車時(shí)，每輛車的日租金為_______元（用含的代數(shù)式表示）；

分析：本題為綜合性題目，主要考查二次函數(shù)實(shí)際問(wèn)題，怎樣建立函數(shù)關(guān)系式與找等量關(guān)系，函數(shù)關(guān)系建立好之后結(jié)合實(shí)際函數(shù)圖像做出解答。

解析：?jiǎn)屋v車日租金為：50（20）+400 = 140050

2 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想的途徑

中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)最重要的目的就是打開學(xué)生的函數(shù)思維，提升學(xué)生們的函數(shù)素養(yǎng)，新一輪課程改革中，將函數(shù)思想作為必須掌握的教學(xué)要求，所以函數(shù)教學(xué)過(guò)程中不再一味地讓學(xué)生吸收理論知識(shí)與概念性內(nèi)容，而是讓學(xué)生獨(dú)立思考，老師引導(dǎo)，建立一定的函數(shù)思想基礎(chǔ)，從根本上提升自己的函數(shù)應(yīng)用能力。教學(xué)過(guò)程中滲透函數(shù)思想的途徑很多，接下來(lái)介紹三種滲透方式。

2.1 應(yīng)用函數(shù)思想探究數(shù)學(xué)知識(shí)

新的教育背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生培養(yǎng)知識(shí)形成的過(guò)程，在數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過(guò)程中（比如說(shuō)一些公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程）就是數(shù)學(xué)思想方法的最佳體現(xiàn)時(shí)刻，因此教師在教學(xué)中，要重視公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程，盡量凸顯其相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生掌握基本知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦。下面我們以函數(shù)思想為實(shí)例，演示探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中滲透函數(shù)思想。

2.2 在數(shù)學(xué)解題中滲透函數(shù)思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常出現(xiàn)課堂上學(xué)生聽(tīng)懂了，但是課后做同類型的題目是就無(wú)從下手，其原因就是在教學(xué)過(guò)程中，教師就題論題，拿到題目就草率地解答出來(lái)，遇到此類題時(shí)照葫蘆畫瓢，機(jī)械操作，學(xué)生感到厭煩，學(xué)生沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到題目的出處，沒(méi)有領(lǐng)略到數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中滲透函數(shù)思想也就是在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中應(yīng)用函數(shù)的思想方法去求解繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如說(shuō)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等等基本性質(zhì)將其復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例5 設(shè)不等式 + 2 + >0的解集為全體實(shí)數(shù)，求的取值范圍。

分析：題設(shè)不等式的系數(shù)比較復(fù)雜，可通過(guò)另設(shè)變?cè)姆椒?，使此題解題過(guò)程簡(jiǎn)化。

解：設(shè) = ，則 = ， = ，

而原不等式化成（） + 2>0

由題意知，

解得<0，即<0，所以0<<1，從而解得的取值范圍是0<<1。

2.3 及時(shí)小結(jié)，逐步內(nèi)化函數(shù)思想

函數(shù)思想是無(wú)形的，隱藏在教材體系中函數(shù)知識(shí)的靈魂，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中都可以見(jiàn)到函數(shù)的影子，特別是解題過(guò)程中，函數(shù)思想相當(dāng)明顯，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，作為教育工作者，重視函數(shù)思想，落到實(shí)處是相當(dāng)必要的。教師在講完某一道或者某一類型用到函數(shù)思想的題目之后，要揭示其解題思路，涉及的知識(shí)點(diǎn)，用到的思想方法等等，也可以讓學(xué)生自我反思回顧用到哪些知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)再出同類型的題目讓學(xué)生訓(xùn)練，及時(shí)鞏固，強(qiáng)化刺激，讓學(xué)生學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，有意識(shí)地內(nèi)化函數(shù)思想，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從感性到理性的飛躍。