丁學(xué)利 李玉葉

(1. 阜陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部， 安徽 阜陽(yáng) 236031；2. 赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

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基于曲線擬合的電池剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)研究

丁學(xué)利1李玉葉2

(1. 阜陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部， 安徽 阜陽(yáng) 236031；2. 赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

為解決鉛酸電池的放電時(shí)間預(yù)測(cè)問(wèn)題，利用最小二乘擬合將電池放電曲線分成2個(gè)非線性段進(jìn)行曲線擬合，建立了整體的放電曲線模型。預(yù)測(cè)了電池剩余放電時(shí)間，最后用平均相對(duì)誤差MRE評(píng)估了模型的精度。該模型可為研究電池放電特性提供借鑒，也為鉛酸電池的生產(chǎn)和使用提供參考。

曲線擬合； 放電曲線； 剩余放電時(shí)間； 平均相對(duì)誤差

鉛酸電池作為電源在軍事、工業(yè)和日常生活中被廣泛應(yīng)用。電池在當(dāng)前負(fù)荷下還能供電多長(zhǎng)時(shí)間(即以當(dāng)前電流強(qiáng)度放電到額定的最低保護(hù)電壓Umin時(shí)的剩余放電時(shí)間)是使用中必須了解的。鉛酸電池從充滿電開(kāi)始放電，電池電壓隨時(shí)間變化的關(guān)系稱為放電曲線。關(guān)于電池放電曲線的研究，文獻(xiàn)[1-6]提出了多種電池放電模型。文獻(xiàn)[4]建立了三階等效電路模型，文獻(xiàn)[5]利用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)估計(jì)電池放電曲線，文獻(xiàn)[6]將電池放電曲線分成線性段和非線性段，從而建立了統(tǒng)一的電池放電曲線模型。

此次研究是在文獻(xiàn)[6]中電池放電曲線模型的基礎(chǔ)上，以2016年“高教社杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題[7]為例，將電池放電曲線分成2個(gè)非線性段進(jìn)行曲線擬合，建立了整體的放電曲線模型。利用該模型可以較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)電池剩余放電時(shí)間。為研究電池放電特性和電池放電實(shí)驗(yàn)提供參考。

1 數(shù)據(jù)分析

根據(jù)2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件1[7]中的數(shù)據(jù)可作出各電流強(qiáng)度下電池的放電曲線，如圖1(a)所示。電池開(kāi)始放電時(shí)電池電壓快速下降，處于不穩(wěn)定狀態(tài)，放電一段時(shí)間后，電池處于穩(wěn)定放電狀態(tài)，最后電池電即將放完時(shí)，電壓隨時(shí)間快速下降。由于電池在開(kāi)始放電時(shí)不穩(wěn)定，稱為暫態(tài)階段，因此可以將圖1(a)中的不穩(wěn)定放電數(shù)據(jù)刪除，不會(huì)影響電池放電的整體趨勢(shì)。研究將數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件1中電流強(qiáng)度為20 A的前200 min的數(shù)據(jù)，以及電流強(qiáng)度在30～100 A的前50 min的數(shù)據(jù)刪除。刪除數(shù)據(jù)之后的放電曲線如圖1(b)所示。擬合精度采用平均相對(duì)誤差MRE，即在附件1表中從額定的最低保護(hù)電壓(Umin，文中為9 V)開(kāi)始按不超過(guò)0.005 V的最大間隔提取231個(gè)電壓樣本點(diǎn)。這些電壓值對(duì)應(yīng)的模型已放電時(shí)間與采樣已放電時(shí)間的平均相對(duì)誤差即為MRE[7]。

2 模型的建立

根據(jù)圖1(b)的放電趨勢(shì)，以電流強(qiáng)度為20 A的放電曲線為例，若將放電曲線的開(kāi)始段用直線擬合，則誤差太大，如圖2中虛線所示。因此考慮放電開(kāi)始段采用二次多項(xiàng)式擬合，如圖2中粗實(shí)線所示，擬合效果較好。由于放電結(jié)束段曲線呈指數(shù)快速衰減，因此考慮放電結(jié)束段用指數(shù)型函數(shù)進(jìn)行曲線擬合。擬合效果可以用原始數(shù)值與擬合數(shù)值之間的相對(duì)誤差的絕對(duì)值來(lái)描述，即相對(duì)誤差的絕對(duì)值=∣原始數(shù)值-擬合數(shù)值∣/原始數(shù)值。放電開(kāi)始段取的太短或太長(zhǎng)都會(huì)使相對(duì)誤差的絕對(duì)值變大。因此，放電開(kāi)始段必然存在最佳的擬合時(shí)刻點(diǎn)，使相對(duì)誤差的絕對(duì)值達(dá)到最小。圖3是電流強(qiáng)度為20 A時(shí)，放電開(kāi)始段的放電時(shí)間百分比與相對(duì)誤差的絕對(duì)值的關(guān)系圖?？梢钥闯龃蠹s在放電總時(shí)間的55%處相對(duì)誤差的絕對(duì)值達(dá)到最小(圖中箭頭所示)。因此，放電開(kāi)始段的終止時(shí)間大約選取在放電總時(shí)間的55%處。電流強(qiáng)度為30～100 A時(shí)，有類似結(jié)論，在此就不一一闡述。

圖1 不同電流強(qiáng)度下電池放電曲線

圖2 電池(電流強(qiáng)度為20 A)放電開(kāi)始段的擬合效果

圖3 電流強(qiáng)度為20 A時(shí)放電時(shí)間百分比與相對(duì)誤差的絕對(duì)值的關(guān)系

根據(jù)上述分析，可將放電曲線分成放電開(kāi)始段和放電結(jié)束段進(jìn)行曲線擬合。放電開(kāi)始段采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合，放電結(jié)束段采用指數(shù)型函數(shù)進(jìn)行曲線擬合。建立模型如下：

V(t)=a0+a1t+a2t2-exp[b(t-t0)+c]

(1)

式中：a0,a1，a2—— 二次多項(xiàng)式的擬合系數(shù)，均為常數(shù)；

b，c—— 指數(shù)型函數(shù)的擬合系數(shù)，均為常數(shù)；

t0—— 放電開(kāi)始段的終止時(shí)間，t0取放電總時(shí)間的55%。

為了建立電池以20A到100A之間任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線的數(shù)學(xué)模型，將模型(1)中的擬合系數(shù)a0,a1,a2,b,c和t0分別看成關(guān)于電流強(qiáng)度I的函數(shù)，再對(duì)其進(jìn)行曲線擬合。建立模型如下：

V(t,I)=a0(I)+a1(I)t+a2(I)t2- exp[b(I)(t-t0(I))+c(I)]

(2)

其中，

a0(I)=a00+a01Ia1(I)=a10+a11I

a2(I)=a20+a21I+a22I2

b(I)=b00+b01Ic(I)=c00+c01I

3 模型的求解

利用模型(1)可以擬合不同電流強(qiáng)度下的放電曲線。表1中t0取放電總時(shí)間的55%，其余參數(shù)則是根據(jù)模型(1)采用最小二乘擬合得到的在不同電流強(qiáng)度下的擬合系數(shù)，其擬合曲線如圖4所示。計(jì)算不同電流強(qiáng)度下的MRE值，如表2所示，其值均未超過(guò)1‰，擬合效果較好。根據(jù)模型(1)，當(dāng)電池分別在30、40、50、60、70A電流強(qiáng)度下放電，測(cè)得電壓都為9.8V時(shí)，電池的剩余放電時(shí)間分別約為610、441、339、281、257min。

表1 不同電流強(qiáng)度下的擬合系數(shù)

圖4 不同電流強(qiáng)度下的放電電壓隨時(shí)間變化的擬合曲線

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，t0(I)用指數(shù)型函數(shù)擬合，a2(I)用二次多項(xiàng)式擬合，a0(I),a1(I),b(I)和c(I)都用直線擬合，其擬合系數(shù)見(jiàn)表3。圖5是t0(I),a0(I),a1(I),a2(I),b(I)和c(I)的擬合結(jié)果。除系數(shù)c擬合效果較差之外，其余的擬合效果較好。但系數(shù)c(I)對(duì)擬合曲線不起決定作用，因此對(duì)模型(2)的影響較小。

由表3的擬合系數(shù)可得t0(I),a0(I),a1(I),a2(I),b(I)和c(I)的函數(shù)表達(dá)式，從而利用模型(2)可計(jì)算電池從20A到100A之間以任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線。表4是電流強(qiáng)度為 55A時(shí)模型(2)的各個(gè)系數(shù)值，其放電曲線如圖6所示。圖6中粗實(shí)線是電流強(qiáng)度為55A的預(yù)測(cè)曲線，細(xì)實(shí)線和點(diǎn)線分別是電流強(qiáng)度為50A和60A的實(shí)測(cè)曲線。電流強(qiáng)度為55A的放電曲線在10V、9.8V、9.5V、9V對(duì)應(yīng)的已放電時(shí)間約為682、868、1 056、1 178min；相應(yīng)的剩余放電時(shí)間分別為496、310、122、0min。

表2 不同電流強(qiáng)度下的平均相對(duì)誤差MRE

表3 各擬合系數(shù)

圖5 各系數(shù)擬合結(jié)果

表4 電流強(qiáng)度為55 A時(shí)模型(2)的各系數(shù)值

圖6 電池電壓隨放電時(shí)間的變化曲線

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)最小二乘擬合建立鉛酸電池放電時(shí)間預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型，得到了電池從20 A到100 A之間以任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線。該模型可較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)電池剩余放電時(shí)間。但由于t0(I),a0(I),a1(I),a2(I),b(I)和c(I)是通過(guò)最小二乘擬合得到的，所以在擬合的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，從而會(huì)影響模型(2)的預(yù)測(cè)精度，因此模型(2)的擬合效果還有進(jìn)一步提升的空間。

[1]CHENM,RINCON-MORAGA.AccurateElectricalBatteryModelCapableofPredictingRuntimeandIVPerformance[J].EnergyConversion,IEEETransactionson, 2006,21(2):504-511.

[2]TIANS,HONGM,OUYANGM.AnExperimentalStudyandNonlinearModelingofDischargeI-VBehaviorofValve-regulatedLead-acidBatteries[J].EnergyConversion,IEEETransactionson,2009,24(2):452-458.

[3]PAPICI.SimulationModelforDischargingaLead-acidBatteryEnergyStorageSystemforLoadLeveling[J].EnergyConversion,IEEETransactionson,2006,21(2):608-615.

[4]CERAOLOM.NewDynamicalModelsofLead-acidBatteries[J].PowerSystems,IEEETransactionson,2000,15(4):1184-1190.

[5]CAPIZZIG,BONANNOF,TINAGM.RecurrentNeuralNetwork-basedModelingandSimulationofLead-acidBatteriesCharge-discharge[J].EnergyConversion,IEEETransactionson,2011,26(2):435-443.

[6] 王占江. 閥控式鉛酸蓄電池實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的設(shè)計(jì)與建模方法的研究[D]. 秦皇島：燕山大學(xué)，2014:10-20.

[7] 2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽.http://www.shumo.com/home/(2016-10-25).

Research on the Prediction of Residual Discharge Time of Battery Based on Curve Fitting

DINGXueli1LIYuye2

(1.Department of Basic Education, Fuyang Institute of Technology, Fuyang Anhui 236031, China; 2.Mathematics and Statistics Institute of Chifeng University, Chifeng Inner Mongolia 024000, China)

In order to predict the discharge time of the lead acid battery, the discharge curve is divided into two nonlinear sections and fitted by the least squares fitting; thus, the whole discharge curve model is established. The discharge time of the battery is predicted on the basis of discharge curve model. Finally, the accuracy of the model is evaluated by the average relative error MRE. The model not only provides a theoretical basis for the study of battery discharge characteristics, but also offers an important basis for the production and use of lead-acid batteries.

curve fitting; discharge curve; residual discharge time; mean relative error

2016-11-15

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目“具有共存行為的神經(jīng)元所組成網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)行為研究”(11402039)；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“基于化學(xué)自突觸組成的視皮層神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)行為研究”(2016MS0101)；安徽省自然科學(xué)一般項(xiàng)目“神經(jīng)系統(tǒng)產(chǎn)生螺旋波的動(dòng)力學(xué)機(jī)制研究”(KJ2015B008)

丁學(xué)利(1982 — )，男，碩士，阜陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)與數(shù)學(xué)建模。

O241.2

A

1673-1980(2017)03-0125-05