王 晶 晶

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽 宿州 234000)

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帶固定利息力風(fēng)險(xiǎn)模型下的累積分紅現(xiàn)值

王 晶 晶

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽 宿州 234000)

研究帶有固定利息力風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題，將理賠過(guò)程從齊次Poisson過(guò)程推廣到對(duì)現(xiàn)實(shí)描述能力更強(qiáng)的更新過(guò)程，進(jìn)而得到累積分紅現(xiàn)值的矩母函數(shù)及其所滿足的積分-微分方程。

利息力； 風(fēng)險(xiǎn)模型； 矩母函數(shù)； 積分-微分方程

風(fēng)險(xiǎn)理論是精算數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容，它是研究和處理保險(xiǎn)實(shí)務(wù)經(jīng)營(yíng)中的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型，從定量的角度來(lái)研究保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的安全性。近年來(lái)，具有分紅策略的風(fēng)險(xiǎn)模型受到越來(lái)越多的關(guān)注。自1957年De Finetti在風(fēng)險(xiǎn)模型中提出分紅策略以來(lái)，很多學(xué)者開(kāi)始研究分紅策略下的風(fēng)險(xiǎn)模型，相比經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型而言，可以更真實(shí)地刻畫(huà)保險(xiǎn)公司的營(yíng)運(yùn)狀況。

破產(chǎn)理論是金融和保險(xiǎn)領(lǐng)域中的風(fēng)險(xiǎn)理論的重要組成部分，破產(chǎn)理論的研究是在基于風(fēng)險(xiǎn)模型分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。破產(chǎn)理論中的核心問(wèn)題之一就是將盈余過(guò)程小于0的時(shí)刻定義為破產(chǎn)時(shí)刻，進(jìn)而考慮其破產(chǎn)概率或Gerber-Shiu罰金函數(shù)等破產(chǎn)問(wèn)題。 研究考慮門(mén)限分紅策略下，資產(chǎn)盈余具有利息收入的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型，其累積分紅現(xiàn)值的均值及矩母函數(shù)作為進(jìn)一步研究Gerber-Shiu罰金函數(shù)的依據(jù)。

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

式中：u—— 保險(xiǎn)公司的初始盈余；

c—— 單位時(shí)間的保費(fèi)收入；

δ—— 保險(xiǎn)公司將盈余投資于證券或銀行所獲得的固定利息力，δ>0。

在此基礎(chǔ)上，我們考慮門(mén)限分紅策略下資產(chǎn)盈余具有利息力收入的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型：

(2)

模型(2)表示：當(dāng)盈余小于門(mén)限值a時(shí)，其保費(fèi)收取率為c1；當(dāng)盈余超過(guò)a時(shí)，保費(fèi)收取率為c2(0

定義破產(chǎn)時(shí)刻T=inf{t≥0,Uδ(t)≤0}。

D(t)表示[0,t]內(nèi)的所有累積分紅，用α(α>0)表示分紅折現(xiàn)因子，則到破產(chǎn)時(shí)刻T的所有累積分紅現(xiàn)值為

由于不同的取值范圍其表達(dá)式不同，有

(3)

假設(shè)式(3)在其定義域上連續(xù)可微。

2 M(u,y,a)滿足的積分-微分方程

定理1 在模型(2)中，到破產(chǎn)時(shí)刻所有累積分紅現(xiàn)值的矩母函數(shù)滿足下面的方程：

(4)

(5)

證明 由于盈余過(guò)程{Uδ(t),t≥0}的Markov性，有

M(u,y,a)=E[M(Uδ(t),ye-αt,a)]+o(t)

(1-λt)M1(m1,ye-αt,a)+o(t)

(6)

由泰勒定理知

M1(m,ye-αt,a)=M1(u,y,a)+(δu+c2)t·

(7)

將式(7)代入式(6)，得

兩邊同時(shí)除以t，并令t→0，有m1→u，M1(m1-x,ye-αt,a)→M1(u-x,y,a)，M2(m1-x,ye-αt,a)→M2(u-x,y,a)，化簡(jiǎn)即為式(1)。

(8)

類(lèi)似于式(4)的證明，可證得式(5)。

3 Vn(u,a)滿足的積分-微分方程

定理2 在模型(2)中，到破產(chǎn)時(shí)刻所有累積分紅現(xiàn)值Du,a的n階原點(diǎn)矩滿足下面的積分-微分方程：

u≥a

(9)

(λ+nα)Vn2(u,a) = 0

0

(10)

當(dāng)n=1時(shí)，可得到累積分紅均值V(u,b)=E[Du,a]。

4 結(jié) 語(yǔ)

為了得到與現(xiàn)實(shí)更為接近的風(fēng)險(xiǎn)模型，許多學(xué)者開(kāi)始考慮其他分紅策略下的風(fēng)險(xiǎn)模型，如線性紅利界策略下的風(fēng)險(xiǎn)模型、非線性紅利界策略下的風(fēng)險(xiǎn)模型、多重門(mén)限分紅策略下的風(fēng)險(xiǎn)模型等。此次研究在門(mén)限分紅策略下的風(fēng)險(xiǎn)模型問(wèn)題，模型相對(duì)來(lái)說(shuō)對(duì)保險(xiǎn)公司實(shí)際的運(yùn)營(yíng)情況描述并不是十分全面，有待進(jìn)一步完善。

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The Discounted Dividend Payments in the Risk Model With Constant Force of Interest

WANGJingjing

(School of Mathematics and Statistics,Suzhou University, Suzhou Anhui 234000, China)

In this paper, we consider the ruin problems in the risk model with constant force of interest. We will extend the claim process from the homogeneous Poisson process to a more realistic description of the renewal process. Furthermore, we derive the moment generating function and integro-differential equations of the discounted dividend payments.

interest force; risk model; moment generating function; integro-differential equations

2016-11-02

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371029)；安徽省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2016A770)；安徽省優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(gxyqZD2016340)

王晶晶(1987 — )，女，宿州學(xué)院助教，研究方向?yàn)楸ｋU(xiǎn)精算。

O211.6

A

1673-1980(2017)03-0123-02